ভাজ্য ; ভাজক ; ভাগফল ; ভাগশেষ এই শব্দ গুলি সবই এসেছে ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে । এই শব্দ গুলি ভাগ প্রক্রিয়াতে ব্যাবহৃত হয়ে থাকে ।
আমরা জেনেছি অংকশাস্ত্রে চারটি মৌলিক ক্রিয়ার মধ্যে একটি হলো ভাগ বা বিভাজন ( Division) ।
বিভাজন হল পাটিগণিতের চারটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপের মধ্যে একটি, যেভাবে সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করে নতুন সংখ্যা তৈরি করা হয়। অন্যান্য ক্রিয়াকলাপগুলি হল যোগ, বিয়োগ এবং গুণ।
একটি প্রাথমিক স্তরে দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজন হল, অন্যান্য সম্ভাব্য ব্যাখ্যার মধ্যে, একটি সংখ্যার মধ্যে আরেকটি সংখ্যা কতবার রয়েছে তা গণনা করার প্রক্রিয়া। উদাহরণস্বরূপ, যদি 20টি আপেল 4 জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা হয়, প্রত্যেকে 5টি আপেল পায় (ছবি দেখুন)।
দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশ বা ইউক্লিডীয় বিভাজন একটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল প্রদান করে, যা প্রথম সংখ্যাটিতে দ্বিতীয় সংখ্যাটি সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সংখ্যা এবং একটি অবশিষ্টাংশ, যা প্রথম সংখ্যার অংশ যা অবশিষ্ট থাকে, যখন ভাগফল গণনা করার সময়, দ্বিতীয় সংখ্যার আকারের আর কোনও সম্পূর্ণ অংশ বরাদ্দ করা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি 21টি আপেল 4 জনের মধ্যে ভাগ করা হয়, প্রত্যেকে আবার 5টি আপেল পায় এবং 1টি আপেল অবশিষ্ট থাকে।
ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের পরিবর্তে সর্বদা একটি সংখ্যা প্রদান করার জন্য, স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে মূলদ সংখ্যা বা বাস্তব সংখ্যাগুলিতে প্রসারিত করতে হবে। এই বর্ধিত সংখ্যা পদ্ধতিতে, ভাগ হল গুণের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, যা a = c / b মানে a × b = c, যতক্ষণ না b শূন্য হয়। যদি b = 0 হয়, তাহলে এটি শূন্য দ্বারা একটি বিভাজন, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়নি।
বিভাজনের উভয় রূপই বিভিন্ন বীজগাণিতিক কাঠামোতে, গাণিতিক কাঠামো সংজ্ঞায়িত করার বিভিন্ন উপায়ে উপস্থিত হয়। যেগুলিতে একটি ইউক্লিডীয় বিভাজন (অবশিষ্ট সহ) সংজ্ঞায়িত করা হয় সেগুলিকে ইউক্লিডীয় ডোমেইন বলা হয় এবং একটি অনির্ধারিত বহুপদী রিং অন্তর্ভুক্ত করে (যা একক-পরিবর্তনশীল সূত্রের উপর গুণ এবং যোগকে সংজ্ঞায়িত করে)। যে সমস্ত অশূন্য উপাদান দ্বারা একটি বিভাজন (একক ফলাফল সহ) সংজ্ঞায়িত করা হয় তাকে ক্ষেত্র এবং বিভাজন রিং বলে। একটি বলয়ে যে উপাদানগুলির দ্বারা বিভাজন সর্বদা সম্ভব হয় সেগুলিকে একক বলা হয় (উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার বলয়ে 1 এবং −1)। বীজগণিতীয় কাঠামোতে ভাগের আরেকটি সাধারণীকরণ হল ভাগফল গোষ্ঠী, যেখানে “বিভাগ” এর ফলাফল একটি সংখ্যার পরিবর্তে একটি গোষ্ঠী।
>ভাজ্য কাকে বলে ? | What is Dividend ?
সংজ্ঞাঃ- কোনো ভাগ অংকে যে সংখ্যাকে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য বলে ।
উদাহরণ – আমরা যদি ১৯ কে ৫ দ্বারা ভাগ করি তাহলে এখানে ভাজ্য= ১৯ ।
অতএব , আমরা দেখছি ভাজ্য মানে সেই সংখ্যা যা থেকে অপর একটি সংখ্যাকে বিয়োগ করা হবে । উপরের উদাহরণে আমরা বুঝলাম ভাজ্য= ১৯ মানে হলো ১৯ থেকে ৫ কে বিয়োগ করা হবে এবং কতবার হবে ।
এখানে আমি ভাগ অংকে বার বার বিয়োগ করার কথা কেনো বলছি সেটা তোমরা আমার ভাগ বিষয় টি একবার দেখে নিও – 
> ভাজক কাকে বলে ? | What is Divisor ?
সংজ্ঞাঃ- কোনো ভাগ অংকে যে সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে ।
উদাহরণ – আমরা যদি ১৯ কে ৫ দ্বারা ভাগ করি তাহলে এখানে ভাজক = ৫ ।
অতএব , আমরা দেখছি ভাজক মানে সেই সংখ্যা যাকে ভাজ্য থেকে বিয়োগ করতে হবে । উপরের উদাহরণে আমরা বুঝলাম ভাজক=৫ মানে হলো এখানে ভাজ্য=১৯ থেকে ৫ কে বিয়োগ করতে হবে ।
এখানে আমি ভাগ অংকে বার বার বিয়োগ করার কথা কেনো বলছি সেটা তোমরা আমার ভাগ বিষয় টি একবার দেখে নিও –
>ভাগফল কাকে বলে? | What is Quotient ?
সংজ্ঞাঃ- কোনো ভাগ অংকে ভাজক কে ভাজ্য থেকে সর্বাধিক যতবার বিয়োগ করা যাবে সেই সংখ্যা টাকে ভাগফল বলে ।
উদাহরণ– আমরা যদি ১৯ কে ৫ দ্বারা ভাগ করি তাহলে আমরা দেখবো যে ১৯ থেকে ৫ কে ৩ বারের বেশী বিয়োগ করা যাবেনা। সুতরাং , এখানে ভাগফল হচ্ছে ৩ ।
এখানে আমি ভাগ অংকে বার বার বিয়োগ করার কথা কেনো বলছি সেটা তোমরা আমার ভাগ বিষয় টি একবার দেখে নিও –
ভাগশেষ কাকে বলে ? | What is Remainder ?
সংজ্ঞাঃ- কোনো ভাগ অংকে ভাজক কে ভাজ্য থেকে সর্বাধিক সংখ্যায় বিয়োগ করার পরে যে সংখ্যাটি অবশিষ্ট থাকে তাকে ভাগশেষ বলে ।
উদাহরণ – আমরা ১৯ কে ৫ দ্বারা ভাগ করি তাহলে ১৯ থেকে ৫ কে সর্বাধিক বার বিয়োগ করার পরে ৪ অবশিষ্ট থাকবে । সুতরাং, এখানে অবশিষ্ট = ৪
এখানে আমি ভাগ অংকে বার বার বিয়োগ করার কথা কেনো বলছি সেটা তোমরা আমার ভাগ বিষয় টি একবার দেখে নিও –
>ভাজ্য ,ভাজক,ভাগফল ও ভাগশেষ এর মধ্যে সম্পর্কঃ
আমরা এতক্ষণ জেনে ফেলেছি যে-
( i ) ভাজ্য কাকে বলে?
( ii ) ভাজক কাকে বলে?
( iii ) ভাগফল কাকে বলে?
( iv ) ভাগশেষ কাকে বলে?
এদের মধ্যে একটা গাণিতিক সম্পর্ক আছে সেটি হলো –
| ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ |
এখান থেকে আমরা ভাজক নির্ণয়ের সূত্র বের করতে পারবো। যেমন-
ভাজক নির্ণয়ের সূত্র
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
বা, ভাজক × ভাগফল = ভাজ্য – ভাগশেষ
বা, ভাজক = \(\frac{ভাজ্য – ভাগশেষ}{ভাগফল}\)
Frequently Asked Questions:
ভাজ্য ভাজক ও ভাগফল সমান হলে ভাগশেষ কত হবে?
উত্তর- কোনো ভাগ অংকে ভাজ্য ভাজক ও ভাগফল সমান হতে হলে ভাজ্য=1, ভাগফল=1 ও ভাজক= 1 হতে হবে। সুতরাং, সেক্ষেত্রে ভাগশেষ=0 হবে।
যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় তাকে কি বলে?
উত্তর- যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে।
ভাগ প্রক্রিয়ার বিপরীত প্রক্রিয়া কি?
উত্তর- ভাগ প্রক্রিয়ার বিপরীত প্রক্রিয়া হলো গুণ।
ভাজ্য ভাজক ভাগফল ভাগশেষ এর সূত্র
উত্তর- ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজ্য ভাজক ভাগফল ভাগশেষ in english
উত্তর- ভাজ্য-Dividend ; ভাজক-Divisor ; ভাগফল-Quotient ; ভাগশেষ-Remainder
ভাজক ভাগফল ও ভাগশেষ সম্পর্ক
উত্তর- ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজক নির্ণয়ের সূত্র
উত্তর- ভাজক = ( ভাজ্য – ভাগশেষ )/ভাগফল ।
ভাজ্য 0 হলে ভাগফল কত?
উত্তর- ভাজ্য 0 হলে ভাগফল 0 হবে।
ভাজ্য=?
উত্তর- ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাগশেষ কাকে বলে উদাহরণ
উত্তর- কোনো ভাগ অংকে ভাজক কে ভাজ্য থেকে সর্বাধিক সংখ্যায় বিয়োগ করার পরে যে সংখ্যাটি অবশিষ্ট থাকে তাকে ভাগশেষ বলে ।
যেমন- আমরা ১৯ কে ৫ দ্বারা ভাগ করি তাহলে ১৯ থেকে ৫ কে সর্বাধিক বার বিয়োগ করার পরে ৪ অবশিষ্ট থাকবে । সুতরাং, এখানে অবশিষ্ট = ৪
ভাজক কাকে বলে উত্তর
উত্তর- কোনো ভাগ অংকে যে সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে ।
ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল, ভাগশেষ সম্পর্কে আমার এই লেখা যদি ভালো লাগে তাহলে আমার লেখা আরো বিষয়গুলি দেখতে পারেন-
Helpful
শুকরিয়া
ধন্যবাদ স্যার এমন বেসিক বিষয় জাতি জানতে চাই। আশা করি গনিত, ইংরেজি, বাংলা ব্যাকরণ ইত্যাদি বিষয় আরো বেসিক জানাবেন।
ঠিক আছে।