শ্রেণী – অষ্টম ; অধ্যায় – ঘনফল নির্ণয় ; অধ্যায়ের সারাংশ
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের অন্তর্গত অষ্টম শ্রেণীর একটি অধ্যায় হলো – ঘনফল নির্ণয় । ঘনফল সম্পর্কে জানার সাথে সাথে আমাদের কিছু প্রাথমিক বিষয়ে জ্ঞান অর্জন করা জরুরি ।যেগুলি আমাদের ঘনফল নির্ণয় অধ্যায় থেকে কষে দেখি সমাধান করার সময় খুবই কাজে লাগবে। সেগুলি হলো –
- ঘনক কি ?
- ঘনফল কাকে বলে?
- পূর্ণঘনসংখ্যা কি?
- ঘনমূল কি?
ঘনক
ঘনক কাকে বলে ?
ছয় তলবিশিষ্ট যে সমস্ত ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য,প্রস্থ, উচ্চতা তিনটি মাত্রাই পরষ্পর সমান তাদের ঘনক বলে।
ঘনকের উদাহরণ
যেমন- লুডুর ছক্কা ।
ঘনকের ছবি
ঘনফল কাকে বলে?
কোনো একটি সংখ্যাকে পরপর তিনবার গুণ করার পর সেই গুণফল কেই ঐ সংখ্যার ঘনফল বলে।
যেমন-
| 3 এর ঘনফল = | 3×3×3=33=27 |
এটাকে জ্যামিতিক ভাবে দেখলে এভাবে হবে-
3 সেমি বাহু বিশিষ্ট ঘনক তৈরি করতে আমাদের 27 টি এক সেমি দৈর্ঘ্যের ঘনক লাগবে
ঘনকের আয়তনের সূত্র কী?/ঘনকের ঘনফলের সূত্র
কোনো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ধরি a .
তাহলে ঘনকটির আয়তন হবে a3
| ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য | ঘনকের আয়তন |
| 2 একক | 8 ঘন একক |
পূর্ণঘনসংখ্যা কাকে বলে?
যে সংখ্যা কোনো একটি পূর্ণসংখ্যাকে ঘন করে পাওয়া যায় , তাকে পূর্ণঘন সংখ্যা বলে।
উদাহরণ-
যেমন –
| 27 একটি পূর্ণঘনসংখ্যা | কারণ- 27 = 23 |
| 64 একটি পূর্ণঘনসংখ্যা | কারণ – 64 = 43 |
| 65 একটি পূর্ণঘনসংখ্যা নয় | কারণ – 65 ≠ ( কোনো পূর্ণসংখ্যা)3 |
ঘনমূল
যে সংখ্যাকে ঘন করে পূর্ণঘনসংখ্যা পাওয়া যায় তাকে ঐ পূর্ণঘনসংখ্যার ঘনমূল বলে ।
উদাহরণ-
যেমন-
| 27 একটি পূর্ণঘনসংখ্যা । তাহলে 27 এর ঘনমূল = 3 | কারণ- 27 = 23 |
| 64 একটি পূর্ণঘনসংখ্যা । তাহোলে 64 এর ঘনমূল = 4 | কারণ – 64 = 43 |
( বীজগাণিতিক সংখ্যা )3 এর বীজগাণিতিক সূত্রাবলী / ঘনফল এর সূত্র
1.
(i) ( a + b )3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
আমরা সকলে সূত্র কে মুখস্ত করে থাকি , কিন্তু বুঝিনা যে সূত্র টি কি করে এলো ।
এখানে আমরা বুঝবো এই সূত্রটি কি করে আসছে ।
প্রমাণ-
| ( a + b )3 |
| = (a + b ) × (a + b )2 |
| = ( a + b )×( a2 + 2ab + b2 ) |
| = ( a + b )(a2) + ( a + b )(2ab) +( a + b )(b2) |
| = a1+2 + a2b + 2a1+1b + 2ab1+1 + ab2 + b1+2 |
| = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 |
| = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
এখানে গুণ বুঝতে অসুবিধে হলে এটা দেখে নাও – 
বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ
(ii) ( a + b )3= a3 + b3 + 3ab ( a + b )
প্রমাণ-
আমরা পেয়েছি , ( a + b )3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
| a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 |
| = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) |
∴ ( a + b )3= a3 + b3 + 3ab ( a + b )
2.
(i) ( a – b )3= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
আমরা সকলে সূত্র কে মুখস্ত করে থাকি , কিন্তু বুঝিনা যে সূত্র টি কি করে এলো ।
এখানে আমরা বুঝবো এই সূত্রটি কি করে আসছে ।
প্রমাণ-
| ( a – b )3 |
| = (a – b ) × (a + b )2 |
| = ( a – b )×( a2 – 2ab + b2 ) |
| = ( a – b )(a2) + ( a – b )(- 2ab) +( a – b )(b2) |
| = a1+2 – a2b – 2a1+1b + 2ab1+1 + ab2 – b1+2 |
| = a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 |
| = a3 – 3a2b – 3ab2 + b3 |
এখানে গুণ বুঝতে অসুবিধে হলে এটা দেখে নাও – বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ
(ii) ( a – b )3= a3 – b3 – 3ab ( a – b )
প্রমাণ-
আমরা পেয়েছি , ( a – b )3= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
| a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 |
| = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 |
| = a3 – b3 – 3ab ( a – b ) |
∴ ( a – b )3= a3 – b3 – 3ab ( a – b )
বীজগাণিতিক সংখ্যার উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্র
(i) a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2 )
আমরা সকলে সূত্র কে মুখস্ত করে থাকি , কিন্তু বুঝিনা যে সূত্র টি কি করে এলো ।
এখানে আমরা বুঝবো এই সূত্রটি কি করে আসছে ।
প্রমাণ-
আমরা পেয়েছি , ( a + b )3= a3 + b3 + 3ab ( a + b )
| ( a + b )3= a3 + b3 + 3ab ( a + b ) |
| a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = ( a + b )3 |
| a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab ( a + b ) |
| a3 + b3 = ( a + b ){ ( a + b )2 – 3ab } |
| a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 + 2ab + b2 – 3ab ) |
| a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) |
(ii) a3 – b3 = ( a – b ) ( a2 + ab + b2 )
আমরা সকলে সূত্র কে মুখস্ত করে থাকি , কিন্তু বুঝিনা যে সূত্র টি কি করে এলো ।
এখানে আমরা বুঝবো এই সূত্রটি কি করে আসছে ।
প্রমাণ-
আমরা পেয়েছি , ( a + b )3= a3 + b3 + 3ab ( a + b )
| ( a – b )3= a3 – b3 – 3ab ( a – b ) |
| a3 – b3 – 3ab ( a – b ) = ( a – b )3 |
| a3 – b3 = ( a – b )3 + 3ab ( a – b ) |
| a3 + b3 = ( a – b ){ ( a – b )2 + 3ab } |
| a3 + b3 = ( a – b ) ( a2 – 2ab + b2 + 3ab ) |
| a3 + b3 = ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) |
FAQs
1. ঘনক কাকে বলে?
উত্তর-
ছয় তলবিশিষ্ট যে সমস্ত ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য,প্রস্থ, উচ্চতা তিনটি মাত্রাই পরষ্পর সমান তাদের ঘনক বলে।
2. ঘনকের উদাহরণ
উত্তর-
লুডুর ছক্কা ।
3. ঘনফল কাকে বলে?
কোনো একটি সংখ্যাকে পরপর তিনবার গুণ করার পর সেই গুণফল কেই ঐ সংখ্যার ঘনফল বলে।
4. ঘনমূল কাকে বলে?
যে সংখ্যাকে ঘন করে পূর্ণঘনসংখ্যা পাওয়া যায় তাকে ঐ পূর্ণঘনসংখ্যার ঘনমূল বলে ।
5.পূর্ণঘনসংখ্যা কাকে বলে?
যে সংখ্যা কোনো একটি পূর্ণসংখ্যাকে ঘন করে পাওয়া যায় , তাকে পূর্ণঘন সংখ্যা বলে।
6. ঘনকের আয়তনের সূত্র কী?/ঘনকের ঘনফলের সূত্র
কোনো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ধরি a .
তাহলে ঘনকটির আয়তন হবে a3
সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
| এই অধ্যায়টি থেকে ঘনফল এবং ঘনমূল নির্ণয় করা অনেকের কাছে খুব জটিল মনে হয় ! কিন্তু তোমরা যদি সঠিক পদ্ধতি মেনে ঘনফল নির্ণয় এর কষে দেখি তে যে সমস্ত অংক গুলি আছে সেগুলি করো তাহলে কোথাও বুঝতে অসুবিধে হবেনা । সেজন্যে তোমাদের বলবো তোমরা ঘনফল ও ঘনমূল করার সঠিক পদ্ধতিটি জানো এবং তারপর কষে দেখি এর অংক গুলি করলে নিশ্চয় কিছু পার্থক্য বুঝতে পারবে । কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3 |
তোমাদের জন্যে অষ্টম শ্রেণীর সমস্ত অধ্যায় এর গণিত এবং অধ্যায়টি কিভাবে আয়ত্ত করতে হবে তা খুব সুন্দর করে লেখা হয়েছে যাতে তোমরা খুব সহজেই প্রতিটি অধ্যায় বুঝতে পারো এবং প্রতিটি অংক বুঝে করতে পারো ।  অষ্টম শ্রেণীর গণিতের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান এবং অধ্যায়ের খুঁটিনাটি |
এখানে তোমরা তোমাদের অষ্টম শ্রেণীতে কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের অষ্টম শ্রেণীর সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।