কষে দেখি 13.1 Class 8।বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ | Kose Dekhi 13.1 Class 8 WBBSE

অষ্টম শ্রেণীর বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ অধ্যায় থেকে এখানে কষে দেখি 13.1 এর সমস্ত অংক এর সমাধান করা হয়েছে। যেগুলি তোমাদের বোঝার সুবিধার্থে সহজ, সরল, এবং কোনো step jump ছাড়া প্রতিটা লাইন ধরে করা হয়েছে।

(i) বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ মানে আমাদের খেয়াল রাখতে হবে যে, x²+(p + q)x+pq এই রকম সংখ্যামালাকে (x + p)(x + q) আকারে প্রকাশ করতে হবে।

(ii) বীজগাণিতিক সংখ্যামালার শেষে যে p×q থাকবে সেটাকে মাথায় রেখে p+q আমাকে তৈরি করতে হবে ।

(iii) কষে দেখি 13.1 এর কিছু কিছু অংকে একসাথে দুটো চলরাশি আছে যেগুলো দেখে ঘাবড়ানোর কোনো কারন নেই। ওই দুটো চলরাশিকে একটি চলরাশি হিসাবে ধরে অংক গুলি করতে হবে।

যেমন- a + b, x³y³, p² – 3q²

(iv) বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ point যেটার জন্যে অনেকের পুরো অংকটি বাতিল হয়ে যায় সেটি হলো- p×q এর আগে যে চিহ্ন থাকে সেটি খেয়াল না করা। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার সময় অবশ্যই এই চিহ্ন টি খেয়াল রাখতে হবে।

(v) কিছু অংকের ক্ষেত্রে আমরা অধ্যায় 5 ঘনফল নির্ণয় এ যে অভেদের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি তা এখানে লাগবে।

যেমন- a³ + b³ = ( a + b ) (a² -ab + b² )

কষে দেখি 13.1 | Koshe Dekhi 13.1

1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি x²+(p + q)x+pq = (x + p)(x + q) অভেদের সাথে তুলনা করে p ও q এর মান খুঁজে লিখি ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা	p ও q –এর  মান	উৎপাদকে বিশ্লেষণ
x2-8x+15	p=-5 ,q =-3	(x-5)(x-3)
x2-40x-129	p = 3 ,q = -43	= (x+3) (x-43)
m2+19m+60	p = 15 , q = 4	= (m+15) (m+4)
x2-x-6	p = -3 , q= 2	= (x-3) (x+2)
(a+b)2 -4(a+b)-12	p =-6 , q= 2	=(a+b-6) (a+b+2)
(x-y)2 –x+y-2	p = -2 , q = 1`	= (x-y-2) (x-y+1)

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা x² – 40x – 129

x² – 40x – 129
= x² – ( 43 – 3)x – 43×3
= x² – 43x + 3x – 43×3|
= x (x – 43) + 3 (x – 43)
= (x – 43) (x + 3)

p ও q এর মান –

p = – 43, q = 3

উৎপাদকে বিশ্লেষণ–

(x – 43)(x + 3)

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা- m² + 19m +60

m² + 19m +60

= m² + (15 + 4)m + 15×4
= m² + 15m + 4m + 15×4
= m ( m + 15) + 4 (m + 15)
= (m +15) (m + 4)

p ও q এর মান –

p=15, q=4

উৎপাদকে বিশ্লেষণ–

(m + 15)(m + 4)

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা- x² – x – 6

x² – x – 6

= x² – ( 3 – 2)x – 3×2

= x² – 3x + 2x – 3×2
= x (x – 3) + 2 (x – 3)
= (x – 3) (x + 2)

p ও q এর মান –

p = – 3, = 2;

উৎপাদকে বিশ্লেষণ–

(x – 3)(x + 2)

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা- ( a + b )² – 4( a + b ) – 12

( a + b )² – 4( a + b ) – 12

= (a + b)² – ( 6 – 2 )(a + b) – 6×2
= (a + b)² – 6(a+b) + 2(a+b) – 6×2
= (a+b) (a+b-6) + 2 (a+b-6)
= (a+b-6) (a+b+2)

p ও q এর মান –

p = – 6, q = 2;

উৎপাদকে বিশ্লেষণ–

(a + b -6)(a + b + 2)

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা- ( x – y )² – x + y – 2

(x – y)² – x + y – 2

= (x-y)² –(x-y) -2

= (x-y)² – (2-1)(x-y) -2

= (x-y)² -2(x-y) + 1(x-y) – 2

= (x-y) (x-y-2) +1 (x-y-2)

= (x-y-2) (x-y+1)

p ও q এর মান –

p = – 2 , q = 1;

উৎপাদকে বিশ্লেষণ–

(x – y -2) (x – y + 1)

2. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করিঃ

( i ) (a + b)² – 5 (a + b) – 6

= (a + b)² – 5 (a + b) – 6

= (a + b)² + (- 6 + 1)(a + b) – 6

= (a + b)² – 6(a + b) + (a + b) -6

= (a + b)(a + b -6) + 1(a + b -6)

= (a + b + 1)(a + b – 6)

( ii ) (x² – 2x)² + 5(x² – 2x) – 36

= (x² – 2x)² + 5(x² – 2x) – 36

= (x² – 2x)² + (9 – 4) (x² – 2x) – 36

= (x² – 2x)² + 9 (x² – 2x) – 4 (x² – 2x) – 36

= (x² – 2x)( x² – 2x + 9) – 4 (x² – 2x + 9)

= (x² – 2x + 9) (x² – 2x – 4)

( iii ) (p² – 3q²)² – 16(p² – 3q²) + 63

= (p² – 3q²)² – 16(p² – 3q²) + 63

= (p² – 3q²)² – (9 + 7 ) (p² – 3q²) + 63

= (p² – 3q²)² – 9 (p² – 3q²) – 7 (p² – 3q²) + 63

= (p² – 3q²) (p² – 3q² – 9) – 7 (p² – 3q² – 9)

= (p² – 3q² – 9)(p² – 3q² – 7)

( iv ) a⁴ + 4a² – 5

= a⁴ + (5 – 1)a² – 5

= a⁴ + 5a² – a² – 5

= a² (a² + 5) – (a² + 5)

= (a² + 5) (a² – 1)

( v ) x²y² + 23xy – 420

= x²y² + (35 -12) xy – 420

= x²y² + 35xy – 12xy – 420

= xy (xy + 35) – 12 (xy + 35)

= ( xy + 35) (xy – 12)

( vi ) x⁴ – 7x² + 12

= x⁴ – (4 + 3) x² + 12

= x⁴ – 4x² – 3x² + 12

= x² (x² – 4) – 3 (x² – 4)

= (x² – 4) (x² – 3)

= (x + 2) (x – 2) (x² – 3)

( vii ) a² + ab – 12b²

= a² + (4 – 3) ab – 12b²

= a² + 4ab – 3ab – 12b²

= a (a + 4b) – 3b (a + 4b)

= (a + 4b) (a – 3b)

( viii ) p² + 31pq + 108q²

= p² + (27 + 4) pq + 108q²

= p² +27pq + 4pq + 108q²

= p (p + 27q) + 4q (p + 27q)

= (p + 27q) (p + 4q)

( ix ) a⁶ + 3a³b³ – 40b⁶

= a⁶ + (8 – 5) a³b³ – 40b⁶

= a⁶ + 8a³b³ – 5a³b³ – 40b⁶

= a³ (a³ + 8b3) – 5b³ (a³ + 8b³)

= (a³ + 8b³) (a³ – 5b³)

= {a³ + (2b)³} (a³ – 5b³)

= (a + 2b) (a² – 2ab + 4b²) (a³ – 5b³ )

= [ a³ + b³ = (a + b) (a² -ab + b²) ]

( x ) (x + 1)(x + 3)(x – 4)(x – 6) + 24

= (x + 1) (x – 4) (x + 3) (x – 6) + 24

= (x² + x – 4x – 4) (x² + 3x – 6x – 18) + 24

= (x² – 3x – 4) (x² – 3x – 18) + 24

x² – 3x = a ধরে পাই

(a – 4) (a – 18) + 24

= a² – 4a – 18a + 72 + 24

= a² – 22a + 96

= a² – (16 + 6) a + 96

= a² – 16a – 6a + 96

= a (a – 16) – 6(a – 16)

= (a – 16) (a – 6)

a এর মান বসিয়ে পাই,

(x² – 3x – 16) (x² – 3x – 6)

( xi ) (x + 1)(x + 9)(x + 5)² + 63

= (x² x + 9x + 9) (x² + 10x + 25) + 63

= (x² + 10x + 9) (x² + 10x + 25) + 63

x² + 10x = a ধরে পাই,

(a + 9) (a + 25) + 63

= (a² + 9a + 25a + 225) + 63

= a² + 34a + 225 +63

= a² + 34a + 288

= a² + (18 + 16) a + 288

= a² + 18a + 16a + 288

= a (a + 18) + 16 (a + 18)

= (a + 18)(a + 16)

a এর মান বসিয়ে পাই,

= (x² + 10x + 18) (x² + 10x + 16)

= (x² + 10x + 18) {x² + (8 + 2) x + 16}

= (x² + 10x + 18) (x² + 8x + 2x + 16)

= ( x² + 10x + 18 ){ x(x + 8) + 2(x + 8)}

= (x² + 10x + 18) ( x + 8) (x + 2)

( xii ) x (x + 3) (x + 6) (x + 9) + 56

= x (x + 9) (x + 3) (x + 6) + 56

= (x² + 9x) (x² + 3x + 6x + 18) + 56

= (x² + 9x) (x² + 9x + 18) + 56

x² + 9x = a ধরে পাই,

= a (a +18) +56

= a² + 18a + 56

= a² + (14 + 4) a + 56

= a² + 14a + 4a + 56

= a (a + 14) + 4 (a + 14)

= (a + 14) (a + 4)

a এর মান বসিয়ে পাই,

= (x² + 9x + 14) (x² + 9x + 4)

= {x² + (7 + 2) x + 14} (x² + 9x + 4)

= (x² + 7x + 2x + 14) (x² + 9x + 4)

= {x (x + 7) + 2 (x + 7)} (x² + 9x +4)

= (x + 7) (x + 2) (x² + 9x + 4)

( xiii ) x² – 2ax + (a + b) (a – b)

= x² – {(a + b) + (a – b)} x + (a + b) (a – b)

= x² – (a + b) x – (a – b) x + (a + b) (a – b)

= {x – (a + b)} {x – (a – b)}

= (x – a – b) (x – a + b)

( xiv ) x² – bx – (a + 3b) (a + 2b)

= x² – {(a + 3b) – (a + 2b)} x – (a + 3b) (a + 2b)

= x² – (a + 3b) x + (a + 2b) x – (a + 3b) (a + 2b)

= x {x – (a + 3b)} + (a + 2b) {x – (a + 3b)}

= {x – (a + 3b)} {x + (a + 2b)}

= (x – a – 3b) (x + a + 2b)

( xv ) (a + b)² – 5a – 5b + 6

= (a + b)² – 5 (a + b) + 6

= (a + b)² – (3 + 2) (a + b) + 6

= (a + b)² – 3(a + b) – 2(a + b) + 6

= (a + b) (a + b – 3) – 2 (a + b – 3)

= (a + b – 3) (a + b – 2)

( xvi ) x² + 4abx – (a² – b²)²

= x² + {(a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)}x – (a² + 2ab + b²) (a² – 2ab + b²)

= x² + {(a + b)² – (a – b)2} x – (a + b)² (a – b)²

= x² + (a + b)² x – (a – b)² x – (a + b)² (a – b)²

= x {x + (a + b)²} – (a – b)² {x + (a + b)²}

= {x + (a + b)²} {x – (a – b)²}

= (x + a² + 2ab + b²) {x – (a² – 2ab + b²)}

= (x + a² + 2ab + b²) (x – a² + 2ab – b²)

( xvii ) x² – (a + 1/a) x + 1

= x² – ax – (1/a) x + a.1/a

= x (x – a) – (1/a) (x – a)

= (x – a) (x – 1/a)

( xviii ) x⁶y⁶ – 9x³y³ + 8

= x⁶y⁶ – (8 + 1)x³y³ + 8

= x⁶y⁶ – 8x³y³ – x³y³ + 8

= x³y³ (x³y³ – 8) – (x³y³ – 8)

= (x³y³ – 1) (x³y³ – 8 )

= {(xy)³ – 1³} {(xy)³ – 2³}

= ( xy – 1) (x²y² +xy + 1) (xy – 2) (x²y² + 2xy + 4)