কষে দেখি 4 Class 9 । স্থানাঙ্ক জ্যামিতি কষে দেখি 4 | Koshe Dekhi 4 Class 9 WBBSE.

শ্রেণী-নবম ; অধ্যায় – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ; কষে দেখি 4

কষে দেখি 4 Class 9 এর সুচিপত্রঃ-

Table of Contents

কষে দেখি 4 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ

কষে দেখি 4|Koshe Dekhi 4 পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE বোর্ডের অন্তর্গত তোমাদের নবম শ্রেণী|Class 9 এর স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অধ্যায়ের অনুশীলনী। তোমাদের নবম শ্রেণী|Class 9 এ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সম্পর্কে খুবই সাধারণ ধারণা দেওয়া হয়েছে।

আমরা এর আগের অধ্যায়ে দেখেছি কিভাবে একটি রৈখিক সমীকরণ কে লেখচিত্র আকারে প্রকাশ করে তা থেকে সমাধান বের করা যায়। এই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি তে আমরা শিখবো এবং জানবো যে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা থাকলে ওই বিন্দু দুটির দূরত্ব কত হবে! এবং শুধু এই দূরত্ব নির্ণয় কে কাজে লাগিয়ে আমরা আরও কিছু বিষয় জানবো।

একাধিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা থাকলে সেগুলি যোগ করে বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র পাওয়া যায়। আবার বিভিন্ন বীজগাণিতিক দুই চল বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের জ্যামিতিক আঁকার সম্বধ্যেও ধারণা পাওয়া যায়।

এইভাবে বিজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি বলা হয়।

এই কষে দেখি 4|Koshe Dekhi 4 এর অংক গুলি করার জন্যে তোমাদের যে যে বিষয় গুলি মনে রাখতে হবে তা হল-

(i)	A(x,y) যেকোনো বিন্দুর মূলবিন্দু(0,0) থেকে দূরত্ব হবে- \(\sqrt{x^2+y^2}\)
(ii)	(x₁,y₁ ) ও (x₂, y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্য – = \(\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\)

আগামিতে এই কষে দেখি 4 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?

আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে?
কষে দেখি 4 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 4 Class 9 তারপর এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।

কষে দেখি 4 Class 9 এর Youtube Video-

প্রশ্ন নং 1 থেকে 8 – (Part 1)

প্রশ্ন নং 9 থেকে 16 – (Part 2)

কষে দেখি 4 | Koshe Dekhi 4

1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (7,-24) (ii) (3,-4) (iii) (a+b, a-b)

সমাধানঃ-

বিন্দু	মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব
(i) (7,-24)	\(\sqrt{7^2 + 24^2}\) = \(\sqrt{49+576}\) = \(\sqrt{625}\) = 25 একক
(ii) (3,-4)	\(\sqrt{3^2 + (-4)^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 একক
(iii) (a+b, a-b)	\(\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}\) = \(\sqrt{2(a^2 + b^2)}\) একক

2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (5, 7) এবং (8.3)

সমাধানঃ-

(5, 7) এবং (8.3) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{(5-8)^2+(7-3)^2}\)

= \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2}\)

= \(\sqrt{9+16}\)

= \(\sqrt{25}\)

= 5 একক

(ii) (7, 0) এবং (2,-12)

সমাধানঃ-

(7, 0) এবং (2,-12) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{(7-2)^2+[0-(-12)]^2}\)

= \(\sqrt{5^2 + 12^2}\)

= \(\sqrt{25+144}\)

= \(\sqrt{169}\)

= 13 একক

(iii) (- \(\frac{3}{2}\), 0) এবং (0, -2)

সমাধানঃ-

(- \(\frac{3}{2}\), 0) এবং (0,-2) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{(-\frac{3}{2})^2+[0-(-2)]^2}\)

= \(\sqrt{(\frac{3}{2}^2 + 2^2}\)

= \(\sqrt{\frac{9}{4}+4}\)

= \(\sqrt{\frac{16+9}{4}}\)

= \(\sqrt{\frac{25}{4}}\)

= \(\frac{5}{2}\)

= 2.5 একক

(iv) (3, 6) এবং (- 2, -6)

সমাধানঃ-

(3, 6) এবং (-2,-6) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{[3-(-2)]^2+[6-(-6)]^2}\)

= \(\sqrt{5^2 + 12^2}\)

= \(\sqrt{25+144}\)

= \(\sqrt{169}\)

= 13 একক

(v) ( 1, -3 ) এবং (8, 3)

সমাধানঃ-

(1, -3) এবং (8,3) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{(1-8)^2+(-3-3)^2}\)

= \(\sqrt{(-7)^2 + (-6)^2}\)

= \(\sqrt{49+36}\)

= \(\sqrt{85}\) একক

(vi) ( 5, 7 ) এবং (8,3)

সমাধানঃ-

(5, 7) এবং (8,3) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –

= \(\sqrt{(5-8)^2+(7-3)^2}\)

= \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2}\)

= \(\sqrt{9+16}\)

= \(\sqrt{25}\)

= 5 একক

3. প্রমাণ করি যে, (– 2, – 11 ) বিন্দুটি (-3, 7 ) ও ( 4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(– 2, – 11 )
B	(-3, 7 )
C	( 4, 6)

আমাদের দেখাতে হবে ,

AB = AC

এখন

A(-2, -11) এবং B(-3,7) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{[-2-(-3)]^2+(-11-7)^2}\)
= \(\sqrt{(-2+3)^2 + (18)^2}\)
= \(\sqrt{1+324}\)
= \(\sqrt{325}\) একক

আবার,

A(-2, -11) এবং C(4,6)বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(-2-4)^2+(-11-6)^2}\)
= \(\sqrt{(-6)^2 + (-17)^2}\)
= \(\sqrt{36+289}\)
= \(\sqrt{325}\) একক

সুতরাং , AB = AC

∴ (– 2, – 11 ) বিন্দুটি (-3, 7 ) ও ( 4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী ।

4. হিসাব করে দেখাই যে (7, 9), (3 – 7 ) এবং ( -3,3 ) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(7, 9)
B	(3 ,- 7 )
C	( -3,3 )

একটি সমকোণী ত্রিভুজ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে আমাদের এই অংক টি সমাধান হয়ে যাবে।
কারণ , একটি সমকোণী ত্রিবুজের শীর্ষবিন্দু যদি A,B ও C হয় এবঙ্গ AB যদি অতিভুজ হয় তাহলে উপপাদ্য অনুযায়ী-
AC² + BC² = AB²

AB²
= [(7-3)²+{9-(-7)}²]
= {(4)²+(9+7)²}
= {(4)²+(16)²}
= (16+256)
= (16+256)
= 272

BC²
= [{3-(-3)}²+(-7-3)²]
= {(3+3)²+(-10)²}
= {(6)²+(10)²}
= (36+100)
= 136

AC²
= {7-(-3)}²+(9-3)²
= (7+3)²+6²
= 6²+(10)²
= (36+100)
= 136

সুতরাং ,

AC² + BC²

= 136+136

=272

= AB²

∴ (7, 9), (3 – 7 ) এবং ( -3,3 ) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।

5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু :

(i) (1,4), (4, 1) (8,8)

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(1,4)
B	(4,1)
C	( 8,8 )

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহু সমান হবে। সুতরাং , আমাদের দেখাতে হবে উপরের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে যে কোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

A(1,4) এবং C(8,8) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(1-8)^2+(8-4)^2}\)
= \(\sqrt{(-7)^2+4^2}\)
= \(\sqrt{7^2+4^2}\)
= \(\sqrt{49+16}\)
= \(\sqrt{65}\) একক

B(4,1) এবং C(8,8) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(4-8)^2+(1-8)^2}\)
= \(\sqrt{(-4)^2+(-7)^2}\)
= \(\sqrt{7^2+4^2}\)
= \(\sqrt{49+16}\)
= \(\sqrt{65}\) একক

সুতরাং, AC = BC

∴ বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।

(ii) (-2,-2), (2, 2) (4,-4)

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(-2,-2)
B	(2,2)
C	( 4,-4 )

A(-2,-2) এবং C(4,-4) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(-2-4)^2+[-2-(-4)]^2}\)
= \(\sqrt{(-6)^2+(-2+4)^2}\)
= \(\sqrt{6^2+(-2)^2}\)
= \(\sqrt{36+4}\)
= \(\sqrt{40}\) একক

B(2,2) এবং C(4,-4) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(2-4)^2+[2-(-4)]^2}\)
= \(\sqrt{(-2)^2+(2+4)^2}\)
= \(\sqrt{2^2+6^2}\)
= \(\sqrt{4+36}\)
= \(\sqrt{40}\) একক

সুতরাং, AC = BC

∴ বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।

6. প্রমাণ করি যে, A (3, 3), B (8,-2) ও C (- 2 ,- 2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ▲ABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ-

একটি সমকোণী ত্রিভুজ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে আমাদের এই অংক টি সমাধান হয়ে যাবে।
কারণ , একটি সমকোণী ত্রিবুজের শীর্ষবিন্দু যদি A,B ও C হয় এবঙ্গ BC যদি অতিভুজ হয় তাহলে উপপাদ্য অনুযায়ী-
AC² + AB² = BC²

আবার,
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহু সমান হবে। সুতরাং , আমাদের দেখাতে হবে উপরের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে যে কোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(3,3)
B	(8,-2)
C	(-2,-2)

AC²
= {3-(-2)}²+{3-(-2)}²
= (3+2)²+(3+2)²
= 5²+5²
= 25+25
= 50
∴ AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{50}\) একক ।

BC²
= {8-(-2)}²+{-2-(-2)}²
= (8+2)²+(-2+2)²
= 10²
= 100
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{100}\) একক ।

AB²
= (3-8)²+{3-(-2)}²
= (-5)²+(3+2)²
= 5²+5²
= 25+25
= 50
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{50}\) একক ।

সুতরাং

AC² + AB²

= 50 + 50

= 100

= BC²

[ BC অতিভুজ ]

এবং

AB=AC

∴ A (3, 3), B (8,-2) ও C (- 2 ,- 2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ▲ABC-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য= \(\sqrt{100}\)=10 একক ।

7. হিসাব করে দেখাই যে, (2, 1), (0, 0), (- 1, 2 ) এবং (1, 3 ) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু।

সমাধানঃ-

একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়।

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(2,1 )
B	(0,0 )
C	( -1,2)
D	(1,3)

AB²
= (2-0)²+(1-0)²
= 2²+1²
=4 + 1
= 5
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = √5 একক ।

BC²
= {0-(-1)}²+(0-2)²
= 1²+2²
=4 + 1
= 5
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = √5 একক ।

CD²
= (-1-1)²+(2-3)²
= 2²+1²
=4 + 1
= 5
∴ CD বাহুর দৈর্ঘ্য = √5 একক ।

AD²
= (2-1)²+(1-3)²
= 1²+2²
= 1 + 4
= 5
∴ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = √5 একক ।

সুতরাং AB=BC=CD=AD

∴ (2, 1), (0, 0), (- 1, 2 ) এবং (1, 3 ) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু।

8. হিসাব করে দেখি, y-এর মান কী হলে (2, y) এবং ( 10, -9 ) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

সমাধানঃ-

(2, y) এবং (10,-9) বিন্দুযুগল এর দূরত্ব –
= \(\sqrt{(2-10)^2+[y-(-9)]^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2+(y+9)^2}\)
= \(\sqrt{8^2+(y+9)^2}\) একক

শর্তানুসারে,

\(\sqrt{8^2+(y+9)^2} = 10\)
বা, 8²+(y+9)² = 10²
বা, (y+9)² = 10² – 8²
বা, (y+9)² = (10+8)(10-8)
বা, (y+9)² =18×2
বা, (y+9)² =36
বা, (y+9) =\(\sqrt{36}\)
বা, (y+9) = ∓6
এখন
হয় y+9 = 6 বা, y = 6-9 বা, y = -3	নতুবা, y+9 = -6 বা, y = -6-9 বা, y = -15

∴y-এর মান -3 বা -15 হলে (2, y) এবং ( 10, -9 ) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা ( 3, 5 ) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ-

ধরি x-অক্ষের উপর (x,0) একটি বিন্দু।

এবং

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(x,0 )
B	(3,5)
C	(1,3)

AB²
= (x-3)²+(0-5)²
= (x-3)²+5²
= x² – 6x + 9+25
= x² – 6x + 34
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{x^2 – 6x + 34}\) একক ।

AC²
= (x-1)²+(0-3)²
= (x-1)²+3²
= x² – 2x + 1+9
= x² – 2x + 10
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{x^2 – 2x + 10}\) একক ।

শর্তানুসারে,

\(\sqrt{x^2 – 6x + 34} = \sqrt{x^2 – 2x + 10}\)

বা, x² – 6x + 34 = x² – 2x + 10

বা, – 6x + 34 = – 2x + 10

বা, – 2x + 6x = 34 – 10

বা, 4x = 24

বা, x = 6

সুতরাং, (x,0) = (6,0)

∴ x-অক্ষের উপর (6,0) এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা ( 3, 5 ) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

10. O(0, 0), A (4,3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

OA²
= (0-4)²+(0-3)²
= 4²+3²
= 16+9
= 25
∴ OA বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

AB²
= (4-8)²+(3-6)²
= 4²+3²
= 16+9
= 25
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

OB²
= (0-8)²+(0-6)²
= 8²+6²
= 64+36
= 100
∴ OB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{100}\) = 10 একক ।

সুতরাং,

OA + AB

= 5+5

= 10

=OB

∴O(0, 0), A (4,3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ ।

11. দেখাই যে, (2, 2), (−2, 2 ) এবং (- 2√3, 2√3 ) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ-

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়।

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(2,2)
B	(-2,2 )
C	(-2√3 , 2√3)

AB²
= {2-(-2)}²+{2-(-2)}²
= 4² + 4²
= 16 + 16
= 32
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{32}\) একক ।

BC²
= {-2-(-2√3)}²+(-2-2√3)²
= (-2+2√3)²+(-2-2√3)²
= 2{(-2)² + (2√3)²}
= 2(4+12)
= 32
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{32}\) একক ।

AC²
= {2-(-2√3)}²+(2-2√3)²
= (2+2√3)²+(2-2√3)²
= 2{(2)² + (2√3)²}
= 2(4+12)
= 32
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{32}\) একক ।

সুতরাং,

AB=BC=AC

∴ (2, 2), (−2, 2 ) এবং (- 2√3, 2√3 ) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

12. দেখাই যে, (- 7,12), (19, 18), (15 – 6) এবং (- 11 ,- 12 ) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(-7,12 )
B	(19,18 )
C	( 15,-6)
D	(-11,-12)

এবং

A, B, C ও D একটি চতুর্ভুজের কৌণিক বিন্দু।

এখন ,

AB²
= (-7-19)²+(12-18)²
= (-26)²+(6)²
= 676 + 36
= 712
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{712}\) একক ।

BC²
= (19-15)²+{18-(-6)}²
= 4²+(24)²
= 16 + 576
= 592
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{592}\) একক ।

CD²
= {15-(-11)}²+{-6-(-12)}²
= (15+11)²+(-6+12)²
= (26)²+6²
= 676 + 36
= 712
∴ CD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{712}\) একক ।

AD²
= {-7-(-11)}²+{12-(-12)}²
= 4²+(24)²
= 16 + 576
= 592
∴ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{592}\) একক ।

সুতরাং,

AB=CD

এবং

BC=AD

∴(- 7,12), (19, 18), (15 – 6) এবং (- 11 ,- 12 ) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

13. দেখাই যে, (2, – 2), (8, 4), ( 5,7 ) এবং (- 1, 1 ) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(2,-2 )
B	(8,4 )
C	( 5,7)
D	(-1,1)

এবং

A, B, C ও D একটি চতুর্ভুজের কৌণিক বিন্দু।

এখন ,

AB²
= (2-8)²+(-2-4)²
= (-6)²+(-6)²
= 36 + 36
= 72
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{72}\) একক ।

BC²
= (8-5)²+(4-7)²
= (-3)²+(-3)²
= 9 + 9
= 18
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{18}\) একক ।

CD²
= {5-(-1)}²+(7-1)²
= (5+1)²+(6)²
= 6²+6²
= 36 + 36
= 72
∴ CD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{72}\) একক ।

AD²
= {2-(-1)}²+(-2-1)²
= (2+1)²+(-3)²
= 3²+3²
= 9+9
= 18
∴ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{18}\) একক ।

আবার,

AC²
= (2-5)²+(-2-7)²
= (3)²+(-9)²
= 9+81
= 90
∴ AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{90}\) একক ।

BD²
= {8-(-1)}²+(4-1)²
= 9²+3²
= 81+9
= 90
∴ AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{90}\) একক ।

সুতরাং আমরা পেলাম A,B,C ও D বিন্দু গুলি একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু যার,

BC=AD, AB=CD। অর্থাৎ, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান

এবং

কর্ণ AC = কর্ণ BD

∴ (2, – 2), (8, 4), ( 5,7 ) এবং (- 1, 1 ) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

14. দেখাই যে, (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

সমাধানঃ-

ধরি,

বিন্দুর নাম	বিন্দুর স্থানাঙ্ক
A	(2,5)
B	(5,9)
C	(9,12)
D	(6,8)

এবং

A, B, C ও D একটি চতুর্ভুজের কৌণিক বিন্দু।

এখন ,

AB²
= (2-5)²+(5-9)²
= (-3)²+(-4)²
= 9 + 16
= 25
∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

BC²
= (5-9)²+(9-12)²
= (-4)²+(-3)²
= 16 + 9
= 25
∴ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

CD²
= (9-6)²+(12-8)²
= (3)²+(4)²
= 9 + 16
= 25
∴ CD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

AD²
= (2-6)²+(5-8)²
= (-4)²+(-3)²
= 16 + 9
= 25
∴ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{25}\) = 5 একক ।

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজের

AB=BC=CD=AD

∴ (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) (a + b, c + d) এবং (a – b, c – d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

উত্তরঃ- (b) \(2\sqrt{b^2+d^2}\)
সমাধানঃ-
(a + b, c + d) এবং (a – b, c – d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{[a+b-(a-b)]^2+[c+d-(c-d)]^2}\)
=\(\sqrt{(a+b-a+b)^2+(c+d-c+d)^2}\)
=\(\sqrt{(2b)^2+(2d)^2}\)
=\(\sqrt{4(b^2+d^2)}\)
= \(2\sqrt{b^2+d^2}\)

(ii) (x, –7) এবং (3, -3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x এর মানগুলি হলো

উত্তরঃ- (a) 0 অথবা 6
সমাধানঃ-
(x, –7) এবং (3, -3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{(x-3)^2+[-7-(-3)]^2}\)
= \(\sqrt{(x-3)^2+(-7+3)^2}\)
= \(\sqrt{(x-3)^2+(-4)^2}\)
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{(x-3)^2+(-4)^2}\) = 5
বা,(x-3)²+(-4)² = 25
বা, (x-3)² = 25-16
বা, (x-3)² = 9
বা, (x-3) = √9
বা, x-3 = ∓3
এখন,
x-3=3
বা, x=6
এবং
x-3=-3
বা, x=0

(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x এর মান

উত্তরঃ- (c) ∓3
সমাধানঃ-
(x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব
= \(\sqrt{x^2+4^2}\)
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{x^2+4^2}\) = 5
বা, x²+4² = 25
বা, x² = 25-16
বা, x = √9
বা, x = ∓3

(iv) (3, 0), (-3, 0 ) এবং (0, 3 ) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি

উত্তরঃ- (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
সমাধানঃ-
(3, 0), (-3, 0 ) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব
= \(\sqrt{[3-(-3)]^2}\)
= \(\sqrt{(3+3)^2}\)
= √6²
= 6 একক
(-3, 0 ) এবং (0, 3 ) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব
= \(\sqrt{(-3-0)^2 + (0-3)^2}\)
= \(\sqrt{3^2+3^2}\)
= \(\sqrt{9+9}\)
= \(\sqrt{18}\) একক
(0, 3) , (3 , 0) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব
= \(\sqrt{(0-3)^2+(3-0)^2}\)
= \(\sqrt{3^2+3^2}\)
= \(\sqrt{9+9}\)
= \(\sqrt{18}\) একক
আবার,
\((\sqrt{18})^2 + (\sqrt{18})^2\)
= 18 + 18
= 36
= 6²

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

উত্তরঃ- (a) 5 একক
সমাধানঃ-
এখানে মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির দূরত্বই হবে বৃত্তটির ব্যসার্ধ ।

সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) মূলবিন্দু থেকে (-4, y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y এর মান কত লিখি।

সমাধানঃ-

মূলবিন্দু থেকে (-4, y) বিন্দুর দূরত্ব
= \(\sqrt{(0-4)^2+(0-y)^2}\)
= \(\sqrt{4^2+y^2}\) একক

শর্তানুসারে,

\(\sqrt{4^2+y^2}\) = 5

বা, 4²+y² = 5²

বা, y² = 25 – 16

বা, y² = 9

বা, y = ∓3

∴ y = ∓3

(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (–1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

সমাধানঃ-

ধরি, (0,p) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দু যা (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটি থেকে দূরত্ব সমান।

শর্তানুসারে,

\(\sqrt{(0-2)^2+(p-3)^2} = \sqrt{[0-(-1)]^2+(p-2)^2}\)

বা, (0-2)²+(p-3)² = {0-(-1)}²+(p-2)²

বা, 2²+(p-3)² = 1² + (p-2)²

বা, 4 + p² -6p + 9 = 1 + p² – 4p + 4

বা, 6p – 4p = 13-5

বা, 2p = 8

বা, p = 4

∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক – (0,4)

(iii) x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।

সমাধানঃ-

x -অক্ষ এবং y -অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে, (2,0) এবং (0,2)

(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ-
[ x- অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান তখনই হবে যখন দুই বিন্দুর y-এর স্থানাঙ্ক মানে সমান হবে। ]
(4,6) ও (8,-6)
(2,3) ও (1,-3) ইত্যাদি।

(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

সমাধানঃ-
[ y- অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান তখনই হবে যখন দুই বিন্দুর x-এর স্থানাঙ্ক মানে সমান হবে। ]
(8,4) ও (-8,3)

WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান-
অধ্যায়	সমাধান
1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)	কষে দেখি 1.1
	কষে দেখি 1.2
	কষে দেখি 1.3
2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices)	কষে দেখি 2
3. লেখচিত্র (Graph)	কষে দেখি 3.1
3. লেখচিত্র (Graph)	কষে দেখি 3.2
4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula)	কষে দেখি 4
5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations)	কষে দেখি 5.1
	কষে দেখি 5.2
	কষে দেখি 5.3
	কষে দেখি 5.4
	কষে দেখি 5.5
	কষে দেখি 5.6
	কষে দেখি 5.7
6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram)	কষে দেখি 6
7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial)	কষে দেখি 7.1
	কষে দেখি 7.2
	কষে দেখি 7.3
	কষে দেখি 7.4
8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation)	কষে দেখি 8.1
	কষে দেখি 8.2
	কষে দেখি 8.3
	কষে দেখি 8.4
	কষে দেখি 8.5
9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem).	কষে দেখি 9
10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss)	কষে দেখি 10.1
10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss)	কষে দেখি 10.2
11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics)	কষে দেখি 11.1
11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics)	কষে দেখি 11.2
12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area)	কষে দেখি 12
13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন	কষে দেখি 13
14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন	কষে দেখি 14
15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral)	কষে দেখি 15.1
	কষে দেখি 15.2
	কষে দেখি 15.3
16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle)	কষে দেখি 16
17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence)	কষে দেখি 17
18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle)	কষে দেখি 18
19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment)	কষে দেখি 19
20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region)	কষে দেখি 20
21. লগারিদম (Logarithm)	কষে দেখি 21

এই কষে দেখি 4 Class 9|Koshe Dekhi 4 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।

এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে| Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী| Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।

নবম শ্রেণীর বই

নবম শ্রেণীর সিলেবাস

নবম শ্রেণীতে সরকারি সুবিধা

কষে দেখি 4 Class 9 এর সুচিপত্রঃ-

কষে দেখি 4 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ

আগামিতে এই কষে দেখি 4 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?

কষে দেখি 4 | Koshe Dekhi 4

1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (7,-24) (ii) (3,-4) (iii) (a+b, a-b)

2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি :

(i) (5, 7) এবং (8.3)

(ii) (7, 0) এবং (2,-12)

(iii) (- \(\frac{3}{2}\), 0) এবং (0, -2)

(iv) (3, 6) এবং (- 2, -6)

(v) ( 1, -3 ) এবং (8, 3)

(vi) ( 5, 7 ) এবং (8,3)

3. প্রমাণ করি যে, (– 2, – 11 ) বিন্দুটি (-3, 7 ) ও ( 4, 6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।

4. হিসাব করে দেখাই যে (7, 9), (3 – 7 ) এবং ( -3,3 ) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু :

(i) (1,4), (4, 1) (8,8)

(ii) (-2,-2), (2, 2) (4,-4)

7. হিসাব করে দেখাই যে, (2, 1), (0, 0), (- 1, 2 ) এবং (1, 3 ) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিকবিন্দু।

8. হিসাব করে দেখি, y-এর মান কী হলে (2, y) এবং ( 10, -9 ) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।

9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা ( 3, 5 ) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

10. O(0, 0), A (4,3) এবং B (8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।

11. দেখাই যে, (2, 2), (−2, 2 ) এবং (- 2√3, 2√3 ) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

12. দেখাই যে, (- 7,12), (19, 18), (15 – 6) এবং (- 11 ,- 12 ) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

13. দেখাই যে, (2, – 2), (8, 4), ( 5,7 ) এবং (- 1, 1 ) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

14. দেখাই যে, (2, 5), (5, 9), (9, 12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) (a + b, c + d) এবং (a – b, c – d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

(ii) (x, –7) এবং (3, -3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x এর মানগুলি হলো

(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x এর মান

(iv) (3, 0), (-3, 0 ) এবং (0, 3 ) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি

সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :

(i) মূলবিন্দু থেকে (-4, y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y এর মান কত লিখি।

(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (–1, 2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।

(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।

Leave a Comment Cancel reply