শ্রেণী-নবম ; অধ্যায় – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরোলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত এবং বহির্বিভক্ত ; কষে দেখি 19
কষে দেখি 19 Class 9 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 19 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 19 পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত Class 9|নবম শ্রেণীর গণিত বই এর 19 নম্বর অধ্যায় স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত এবং বহির্বিভক্ত এর অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 19 Class 9 এর অংকগুলি সমাধান ভালোভাবে বোঝার জন্যে তোমাদের যে জিনিস গুলো জানতে হবে তা হলো-
বিভাজক সূত্রঃ
(i) যে বিন্দু A (x1, y1) এবং B (x2, y2)-এর সংযোজক সরলরেখাংশকে m : n অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক-
(\(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m+n}\) , \(\frac{my_{2} + ny_{1}}{m+n}\) )
(ii) যে বিন্দু A (x1, y1) এবং B (x2, y2)-এর সংযোজক সরলরেখাংশকে m : n অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক-
(\(\frac{mx_{2} – nx_{1}}{m-n}\) , \(\frac{my_{2} – ny_{1}}{m-n}\) )
আগামিতে এই কষে দেখি 19 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে? |
|---|
| কষে দেখি 19 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 19 Class 9 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 19| Koshe Dekhi 19
সমাধানঃ-
1. নীচের বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশগুলি যে বিন্দুতে প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত তার স্থানাঙ্কনির্ণয় করি।
(i) (6, -14) এবং (-8, 10); 3:4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
সমাধানঃ-
যে বিন্দু (6, -14) এবং (8, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে 3 : 4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে তার স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m+n}\) , \(\frac{my_{2} + ny_{1}}{m+n}\) )
= ( \(\frac{3\times (-8)+4\times 6}{3+4}\) , \(\frac{3\times 10+4\times (-14)}{3+4}\) )
= (\(\frac{-24+24}{7}\) , \(\frac{30-56}{7}\) )
= ( 0 , \(\frac{-26}{7}\) )
(ii) (5,3) এবং (-7, -2); 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে
সমাধানঃ-
যে বিন্দু (6, -14) এবং (8, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে 3 : 4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে তার স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m+n}\) , \(\frac{my_{2} + ny_{1}}{m+n}\) )
= (\(\frac{2\times (-7)+3\times 5}{2+3}\) , \(\frac{2\times (-2)+3\times 3}{2+3}\) )
= ( \(\frac{-14+15}{5}\) , \(\frac{-4+9}{5}\) )
= ( \(\frac{1}{5}\) , 1 )
(iii) (–1, 2) এবং (4 – 5 ); 3 : 2 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধানঃ-
যে বিন্দু (6, -14) এবং (8, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে 3 : 4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে তার স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{mx_{2} – nx_{1}}{m-n}\) , \(\frac{my_{2} – ny_{1}}{m-n}\) )
= ( \(\frac{3\times 4-2\times (-1)}{3-2}\) , \(\frac{3\times (-5)-2\times 2}{3-2}\) )
= ( 12 + 2 , -15 – 4 )
= ( 14 , -19 )
(iv) (3, 2) এবং ( 6, 5); 2 : 1 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধানঃ-
যে বিন্দু (6, -14) এবং (8, 10) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে 3 : 4 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে তার স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{mx_{2} – nx_{1}}{m-n}\) , \(\frac{my_{2} – ny_{1}}{m-n}\) )
= ( \(\frac{2\times 6-1\times 3}{2-1}\) , \(\frac{2\times 5-1\times 2}{2-1}\) )
= (12 – 3 , 10 – 2)
= (9 , 8)
2. নীচের প্রত্যেক বিন্দুগুলোর সংযোজক সরলরেখাংশগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় করি
(i) (5,4) এবং (3,-4)
সমাধানঃ-
(5,4) এবং (3,4) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) , \(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\) )
= (\(\frac{5+3}{2}\) , \(\frac{4-4}{2}\) )
= (4 , 0)
(ii) (6,0) এবং (0,7)
সমাধানঃ-
(6,0) এবং (0,7) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) , \(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\) )
= ( \(\frac{6+0}{2}\) , \(\frac{0+7}{2}\) )
= (3 , \(\frac{7}{2}\) )
3. (1, 3 ) বিন্দুটি (4,6 ) ও (3,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করেছে। হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, (1, 3 ) বিন্দুটি (4,6 ) ও (3,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করেছে।
সুতরাং,
( \(\frac{m\times3+n\times4}{m+n}\) , \(\frac{m\times5+n\times6}{m+n}\) ) = (1,3)
x-এর স্থানাঙ্ক সমান করে পাই,
| \(\frac{m\times3+n\times4}{m+n}\) = 1 |
| বা, 3m + 4n = m + n |
| বা, 3m – m = n – 4n |
| বা, 2m = -3n |
| বা, m : n = -3 : 2 |
এখানে অনুপাতে -ve চিহ্ন এসেছে তারমানে এই বিন্দুটি (4,6 ) ও (3,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে বহিঃস্থভাবে 3 : 2 অনুপাতে বিভক্ত করবে।
4. (7,3) ও (-9,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y- অক্ষ দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি
সমাধানঃ-
ধরি, (7,3) ও (-9,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y- অক্ষ দ্বারা m : n অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে।
অতএব y-অক্ষ দ্বারা যেখানে বিভক্ত হয়েছে সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{m\times(-9)+n\times7}{m+n}\) , \(\frac{m\times6+n\times3}{m+n}\) )
যেহেতু সংযোজক সরলরেখাংশ y-অক্ষ দ্বারা বিভক্ত হয়েছে সুতরাং ওই বিন্দুতে x-এর স্থানাঙ্ক শূন্য হবে।
| \(\frac{m\times(-9)+n\times7}{m+n}\) = 0 |
| বা, 9m = 7n |
| বা, m : n = 7 : 9 |
এখানে অনুপাতে +ve চিহ্ন এসেছে তারমানে y-অক্ষ দ্বারা (7, 3) ও (-9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ অন্তঃস্থভাবে 7 : 9 অনুপাতে বিভক্ত হবে।
5. প্রমাণ করি যে A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12) এবং D (8, 9) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হবে।
সমাধানঃ-
A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12) এবং D (8, 9) বিন্দুগুলি কার্তেজীয় তলে বসিয়ে দেখছি ABCD একটি চতুর্ভুজ তৈরি করে।
AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= ( \(\frac{7+10}{2}\), \(\frac{3+12}{2}\) )
= (\(\frac{17}{2}\) , \(\frac{15}{2}\) )
BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= ( \(\frac{9+8}{2}\), \(\frac{6+9}{2}\) )
= (\(\frac{17}{2}\) , \(\frac{15}{2}\) )
ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করছে।
অতএব, ABCD একটি সামান্তরিক ।
6. যদি (3, 2), (6, 3), (x, y) এবং (6, 5 ) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে (x, y) কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, A(3, 2), B(6, 3), C(x, y) এবং D(6, 5 ) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়।
সুতরাং, AC ও BD কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
এখন, AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= ( \(\frac{3+x}{2}\), \(\frac{2+y}{2}\) )
আবার, BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= ( \(\frac{6+6}{2}\), \(\frac{3+5}{2}\) )
= ( \(\frac{12}{2}\), \(\frac{8}{2}\) )
= (6 , 4)
| AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর x ও y এর স্থানাঙ্ক সমান করে পাই, | |
|---|---|
| \(\frac{3+x}{2}\) = 6 | \(\frac{2+y}{2}\) = 4 |
| বা, 3 + x = 6×2 | বা, 2 + y = 4×2 |
| বা, x = 12-3 = 9 | বা, y = 8 – 2 = 6 |
অতএব (x, y) এর স্থানাঙ্ক = (9, 6)
7. যদি (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) এবং (x4, y4) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, x1 + x3 = x2 + x4 এবং y1 + y3 = y2 + y4
সমাধানঃ-
ধরি, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) এবং D(x4, y4) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়।
সুতরাং, AC ও BD কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
এখন, AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
=( \(\frac{x_{1}+x_{3}}{2},\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\) )
আবার, BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
=( \(\frac{x_{2}+x_{4}}{2},\frac{y_{2}+y_{4}}{2}\) )
| AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর x ও y এর স্থানাঙ্ক সমান করে পাই, | |
|---|---|
| \(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\) = \(\frac{x_{2}+x_{4}}{2}\) | \(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\) = \(\frac{y_{2}+y_{4}}{2}\) |
| বা, x1 + x3 = x2 + x4 | বা, y1 + y3 = y2 + y4 |
| প্রমাণিত | |
8. ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-1, 3), (1,-1) এবং (5, 1); AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক-
= \(\frac{1+5}{2}\) , \(\frac{-1+1}{2}\)
= (3, 0)
| AD সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্য |
| = \(^{\sqrt{(-1-3)^{2}+(3-0)^{2}}}\) |
| = \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\) |
| = \(\sqrt{16 + 9}\) |
| = \(\sqrt{25}\) |
| = 5 একক. |
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ( 2, -4), (6, -2 ) এবং (–4, 2): ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি, A (2, -4), B (6, -2) এবং C (-4, 2), ▲ABC এর তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং AD, BE, CF তিনটি মধ্যমা।
D বিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{6-4}{2}\) , \(\frac{-2+2}{2}\) )
= (1, 0)
E বিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{2-4}{2}\) , \(\frac{-4+2}{2}\) )
= (-1, -1)
F বিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{6+2}{2}\) , \(\frac{4-2}{2}\) )
= (4, -3)
| AD সরলরেখাংশের |
|---|
| AD2 |
| = (2-1)2 + (-4-0)2 |
| = (1)2 + (4)2 |
| = 1 + 16 |
| = 17 |
| ∴ AD = \(\sqrt{17}\) |
| BE সরলরেখাংশের |
|---|
| BE2 |
| = (6+1)2 + (-2+1)2 |
| = (7)2 + (1)2 |
| = 49 + 1 |
| = 50 |
| ∴ BE = \(\sqrt{50}\) = 5\(\sqrt{2}\) |
| CF সরলরেখাংশের |
|---|
| CF2 |
| = (-4 – 4)2 + (2 + 3)2 |
| = (8)2 + (5)2 |
| = 64 + 25 |
| = 89 |
| ∴ CF = \(\sqrt{89}\) |
10. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3), (-2, 7 ) এবং (0, 11) ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, A(\(x_{1},y_{1}\) ), B (\(x_{2},y_{2}\)), C (\(x_{3},y_{3}\)) তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং
- D (4, 3), BC বাহুর মধ্যবিন্দু
- E (-2, 7), AC বাহুর মধ্যবিন্দু
- F (0, 11), AB বাহুর মধ্যবিন্দু
| D (4, 3), BC বাহুর মধ্যবিন্দু | |
|---|---|
| \(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\) = 4 | \(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\) = 3 |
| বা, \(x_{2}+x_{3}\) = 8 ———(i) | বা, \(y_{2}+y_{3}\) = 6 ———(ii) |
| E (-2, 7), AC বাহুর মধ্যবিন্দু | |
|---|---|
| \(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\) = -2 | \(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\) = 7 |
| বা, \(x_{1}+x_{3}\) = -4 ———(iii) | বা, \(y_{1}+y_{3}\) = 14 ———(iv) |
| F (0, 11), AB বাহুর মধ্যবিন্দু | |
|---|---|
| \(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) = 0 | \(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\) = 11 |
| বা, \(x_{1}+x_{2}\) = 0 ———(v) | বা, \(y_{1}+y_{2}\) = 22 ———(vi) |
(i), (iii), ও (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
| \(x_{2}+x_{3}+x_{1}+x_{3}+x_{1}+x_{2}\) = 8 – 4 + 0 |
| বা, 2(\(x_{1}+x_{2}+x_{3}\)) = 4 |
| বা, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}\) = 2 ——-(vii) |
আবার, (ii), (iv) ও (vi) নং যোগ করে পাই,
| \(y_{2}+y_{3}+y_{1}+y_{3}+y_{1}+y_{2}\) = 6 + 14 + 22 |
| বা, 2(\(y_{1}+y_{2}+y_{3}\)) = 42 |
| বা, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}\) = 21 ——-(viii) |
এখন
| (vii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(x_{1}+x_{2}+x_{3}\) – \(x_{2}-x_{3}\) = 2 – 8 বা, \(x_{1}\) = -6 |
| (vii) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(x_{1}+x_{2}+x_{3}\) – \(x_{1}-x_{3}\) = 2 – (-4) বা, \(x_{2}\) = 6 |
| (vii) নং সমীকরণ থেকে (v) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(x_{1}+x_{2}+x_{3}\) – \(x_{1}-x_{2}\) = 2 – 0 বা, \(x_{3}\) = 2 |
আবার,
| (viii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(y_{1}+y_{2}+y_{3}\) – \(y_{2}-y_{3}\) = 21 – 6 বা, \(y_{1}\) = 15 |
| (viii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(y_{1}+y_{2}+y_{3}\) – \(y_{1}-y_{3}\) = 21 – 14 বা, \(y_{2}\) = 7 |
| (viii) নং সমীকরণ থেকে (vi) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, | \(y_{1}+y_{2}+y_{3}\) – \(y_{1}-y_{2}\) = 21 – 22 বা, \(y_{3}\) = -1 |
অতএব, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক-
| A (\(x_{1},y_{1}\) ) | (-6, 15) |
| B (\(x_{2},y_{2}\)) | (6, 7) |
| C (\(x_{3},y_{3}\)) | (2, -1) |
11বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) (\(l\),2m) এবং (-\(l\) + 2m, 2\(l\) – 2m) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
উত্তরঃ- (d) (m, \(l\))
সমাধানঃ-
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
( \(\frac{l-l+2m}{2}\) , \(\frac{2m+2l-2m}{2}\) )
= (m, \(l\))
(ii) A (1, 5) এবং B (-4, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে P বিন্দু অন্তঃস্থভাবে 2:3 অনুপাতে বিভক্ত করলে P বিন্দুর ভুজ
উত্তরঃ- (a) -1
সমাধানঃ-
P বিন্দুর ভুজ
= \(\frac{2\times(-4)+3\times1}{2+3}\)
= \(\frac{-5}{5}\)
= -1
(iii) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (7,9 ) এবং (-1, -3), বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
উত্তরঃ- (a) (3, 3)
সমাধানঃ-
(7,9 ) এবং (-1, -3) বিন্দুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= (\(\frac{7-1}{2},\frac{9-3}{2}\))
= (\(\frac{6}{2},\frac{6}{2}\))
= (3, 3)
(iv) (2, -5) এবং (-3, -2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু 4 : 3 অনুপাতে বহিঃস্বভাবে বিভক্ত করেছে। ওই বিন্দুর কোটি
উত্তরঃ- (d) 7
সমাধানঃ-
ওই বিন্দুর কোটি
= \(\frac{4\times(-2)-2\times(-5)}{4-3}\)
= -8 + 15
= 7
(v) PQRS সামান্তরিকের P (1, 2), Q (4, 6), R (5, 7) এবং S (x, y) শীর্ষবিন্দু হলে,
উত্তরঃ- (c) x=2, y=3
সমাধানঃ-
PR কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= (\(\frac{1+5}{2},\frac{2+7}{2}\))
= (\(\frac{6}{2},\frac{9}{2}\))
= (3, \(\frac{9}{2}\))
আবার, QS কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
= (\(\frac{4+x}{2},\frac{6+y}{2}\))
| দুই কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক সমান করে পাই, | |
|---|---|
| \(\frac{4+x}{2}\) = 3 | \(\frac{6+y}{2}\) =\(\frac{9}{2}\) |
| বা, 4 + x = 6 | বা, 6 + y = 9 |
| বা, x = 2 | বা, y = 3 |
| S (x, y) = (2, 3) | |
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:
(i) একটি বৃত্তের কেন্দ্র C এবং ব্যাস AB; A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (6, -7) এবং (5, -2) হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)
অতএব,
| \(\frac{6+x}{2}\) = 5 | \(\frac{-7+y}{2}\) = -2 |
| বা, 6 + x = 10 | বা, -7 + y = -4 |
| বা, x = 4 | বা, y = 3 |
- অতএব B বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (4, 3)
(ii) P ও Q বিন্দু যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পাদে অবস্থিত এবং x-অক্ষ ও y-অক্ষ থেকে বিন্দু দুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ-
PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{6-6}{2},\frac{4-4}{2}\))
= (0, 0)
(iii) A ও B বিন্দু যথাক্রমে দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং x-অক্ষ ও y-অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক। AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ-
PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
(\(\frac{-8+8}{2},\frac{6-6}{2}\))
= (0, 0)
(iv) AB সরলরেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং AP = PB; A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, -4 ) এবং (-5, 2 ); P বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ-
AB সরলরেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং AP = PB; অর্থাৎ, P বিন্দুটি AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক-
(\(\frac{3-5}{2},\frac{-4+2}{2}\))
= (\(\frac{-2}{2},\frac{-2}{2}\))
= (-1, -1)
(v) ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাকে যথাক্রমে (7, 3 ) এবং (2, 6); A ও C বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধানঃ-
ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল।
A বিন্দুর কোটি = B বিন্দুর কোটি
এবং
A বিন্দুর ভুজ = D বিন্দুর ভুজ
অতএব A বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (2, 3)
একইরকম ভাবে,
C বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (7, 6)
এখন AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
(\(\frac{2+7}{2},\frac{3+6}{2}\))
= (\(\frac{9}{2},\frac{9}{2}\))
| WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান- | |
|---|---|
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| 2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices) | কষে দেখি 2 |
| 3. লেখচিত্র (Graph) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 |
| 5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| কষে দেখি 5.4 | |
| কষে দেখি 5.5 | |
| কষে দেখি 5.6 | |
| কষে দেখি 5.7 | |
| 6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram) | কষে দেখি 6 |
| 7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| কষে দেখি 7.4 | |
| 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation) | কষে দেখি 8.1 |
| কষে দেখি 8.2 | |
| কষে দেখি 8.3 | |
| কষে দেখি 8.4 | |
| কষে দেখি 8.5 | |
| 9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem). | কষে দেখি 9 |
| 10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss) | কষে দেখি 10.1 |
| কষে দেখি 10.2 | |
| 11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics) | কষে দেখি 11.1 |
| কষে দেখি 11.2 | |
| 12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area) | কষে দেখি 12 |
| 13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন | কষে দেখি 13 |
| 14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন | কষে দেখি 14 |
| 15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| কষে দেখি 15.3 | |
| 16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle) | কষে দেখি 16 |
| 17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence) | কষে দেখি 17 |
| 18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle) | কষে দেখি 18 |
| 19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment) | কষে দেখি 19 |
| 20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region) | কষে দেখি 20 |
| 21. লগারিদম (Logarithm) | কষে দেখি 21 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  [Sassy_Social_Share] |
এই কষে দেখি 19 Class 9|Koshe Dekhi 19 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে | Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী | Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।