শ্রেণী-নবম ; অধ্যায় – বহুপদী সংখ্যামালা ; কষে দেখি 7.3
কষে দেখি 7.3 Class 9 এর সুচিপত্রঃ-
কষে দেখি 7.3 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
কষে দেখি 7.3 Class 9 WBBSE বোর্ডের অন্তর্গত তোমাদের Class 9|নবম শ্রেণীর এর বহুপদী সংখ্যামালা অধ্যায়ের তিন নম্বর অনুশীলনী। এই Koshe Dekhi 7.3 এর অংক গুলি করার জন্যে তোমাদের বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কি তা তোমাদের জানতে হবে।
এই কষে দেখি 7.3 Class 9|Koshe Dekhi 7.3 Class 9 এর অংকগুলি করার জন্যে নিম্নের ভাগশেষ উপপাদ্যটি তোমাদের জানতে হবে-
ভাগশেষ উপপাদ্য | Remainder Theorem:
f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা n(n≥1) এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা । f(x) -কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) ।
আগামিতে এই কষে দেখি 7.3 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে? |
|---|
| কষে দেখি 7.3 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 7.3 Class 9 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 7.3 Class 9 এর অংক ভিডিও দেখে বোঝার জন্যে-
কষে দেখি 7.3 | Koshe Dekhi 7.3
সমাধানঃ-
1. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে x3 – 3x2 + 2x + 5 – কে
(i) x – 2
সমাধানঃ-
| x – 2 = 0 |
| বা, x = 2 |
অতএব (x-2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=x3 – 3x2 + 2x + 5
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(2) |
| = 23 – 3.22 + 2.2 + 5 |
| = 8 – 12 + 4 + 5 |
| = 5 |
(ii) x + 2
সমাধানঃ-
| x + 2 = 0 |
| বা, x = -2 |
অতএব (x + 2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=x3 – 3x2 + 2x + 5
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(-2) |
| = (-2)3 – 3.(-2)2 + 2(-2) + 5 |
| = -8 – 12 – 4 + 5 |
| = -19 |
(iii) 2x – 1
সমাধানঃ-
| 2x – 1 = 0 |
| বা, x = ½ |
অতএব (2x – 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=x3 – 3x2 + 2x + 5
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(½) |
| = (½)3 – 3.(½)2 + 2. ½+ 5 |
| = \(\frac{1}{8} – \frac{3}{4} + 1 + 5\) |
| = \(\frac{1 – 6 + 48}{8}\) |
| = \(\frac{43}{8}\) |
(iv) 2x + 1
-দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কত ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
| 2x + 1 = 0 |
| বা, x = -½ |
অতএব (2x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -½
ধরি, f(x)=x3 – 3x2 + 2x + 5
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(-½) |
| = (-½)3 – 3.(-½)2 + 2. (-½)+ 5 |
| = \(-\frac{1}{8} – \frac{3}{4} – 1 + 5\) |
| = \(\frac{-1 – 6 + 32}{8}\) |
| = \(\frac{25}{8}\) |
2. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে (x – 1 ) দ্বারা নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
(i) x3-6x2+13x+60
সমাধানঃ-
| x – 1 = 0 |
| বা, x = 1 |
অতএব (x – 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
ধরি, f(x)=x3-6x2+13x+60
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(1) |
| = 13 – 6.12 + 13.1 + 60 |
| = 1 – 6 + 13 +60 |
| = 68 |
(ii) x3-3x2+4x+50
সমাধানঃ-
| x – 1 = 0 |
| বা, x = 1 |
অতএব (x – 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=x3+3x2+4x+50
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(1) |
| = 13 – 3.12 + 4.1 + 50 |
| = 1 – 3 + 4 + 50 |
| = 52 |
(iii) 4x3+4x2– x -1
সমাধানঃ-
| x – 1 = 0 |
| বা, x = |
অতএব (x – 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=4x3+4x2– x -1
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(1) |
| = 4.13 + 4.12 – 1 – 1 |
| = 4 + 4 – 2 |
| = 6 |
(iv) 11x3 – 12x2 – x + 7
সমাধানঃ-
| x – 1 = 0 |
| বা, x = 1 |
অতএব (x – 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)=11x3 – 12x2 – x + 7
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(1) |
| = 11.13 – 12.12 – 1 + 7 |
| = 11 – 12 + 6 |
| = 5 |
3. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভাগশেষ লিখি যখন,
(i) (x – 3 ) দ্বারা (x3 – 6x2 + 9x – 8) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
সমাধানঃ-
| x – 3 = 0 |
| বা, x = 3 |
অতএব (x – 3) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য
ধরি, f(x)= x3 – 6x2 + 9x – 8
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(3) |
| = 33 – 6.32 + 9.3 – 8 |
| = 27 – 54 + 27 -8 |
| = 54 – 62 |
| = -8 |
(ii) (x – a) দ্বারা (x3 – ax2 + 2x – a) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
সমাধানঃ-
| x – a = 0 |
| বা, x = a |
অতএব (x – a) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য a
ধরি, f(x)= x3 – ax2 + 2x – a
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(a) |
| = a3 – a.a2 + 2.a – a |
| = a3 – a3 + 2a – a |
| = a |
4. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে p(x) = 4x3 + 4x2 – x – I বহুপদী সংখ্যামালা ( 2x + 1)-এর গুণিতক কিনা হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| 2x + 1 = 0 |
| বা, x = -½ |
(2x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -½
এখানে p(x) = 4x3 + 4x2 – x – 1
∴ (2x + 1) এর গুনিতক p(x) হবে
যদি p(-½) = 0 হয় ।
p(-½)
= 4(-½)3 + 4(-½)2 – (-½) – 1
= \(-\frac{4}{8} + \frac{4}{4} + \frac{1}{2} – 1\)
= -½ + 1 + ½ – 1
= 0
| p(-½) = 0, ∴ p(x) = 4x3 + 4x2 – x – I বহুপদী সংখ্যামালা ( 2x + 1)-এর গুণিতক |
5. (x – 4) দ্বারা (ax3 + 3x2 – 3) এবং (2x3 – 5x + a) বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে a-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
| x – 4 = 0 |
| বা, x = 4 |
(x – 4) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 4
ধরি,
| f(x) = | ax3 + 3x2 – 3 |
| g(x) = | 2x3 – 5x + a |
| ভাগশেষ, | |
|---|---|
| f(4) | = a.43 + 3.42 – 3 |
| = 64a + 45 | |
| g(4) | = 2.43 – 5.4 + a |
| = 128 – 20 + a | |
| = 108 + a | |
প্রশ্নানুসারে,
| f(4) = g(4) |
| বা, 64a + 45 = 108 + a |
| বা, 64a – a = 108 – 45 |
| বা, 63a = 63 |
| বা, a = 1 |
6. x3 + 2x2 – px – 7 এবং x3 + px2 – 12x + 6 এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে (x + 1) ও (x –2) দ্বারা ভাগ করলে যদি R1 ও R2 ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি 2R1 + R2 = 6 হয়, তবে p-এর মান কত হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| x + 1 = 0 |
| বা, x = -1 |
এবং
| x – 2 = 0 |
| বা, x = 2 |
(x + 1) এবং (x – 2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য যথাক্রমে -1 ও 2 ।
ধরি,
| f(x) = | x3 + 2x2 – px – 7 |
| g(x) = | x3 + px2 – 12x + 6 |
| ভাগশেষ, | |
|---|---|
| f(-1) | = (-1)3 + 2(-1)2 – p(-1) – 7 |
| = -1+2+p-7 | |
| = p-6 = R1 | |
| g(2) | = 23 + p.22 – 12.2 + 6 |
| = 8 + 4p – 24 + 6 | |
| = 4p – 10 = R2 | |
প্রশ্নানুসারে,
| 2R1 + R2 = 6 |
| বা, 2(p – 6) + 4p – 10 = 6 |
| বা, 2p – 12 + 4p -10 = 6 |
| বা, 6p -22 = 6 |
| বা, 6p = 22 + 6 |
| বা, p = \(\frac{28}{6}\) |
| বা, p = \(\frac{14}{3}\) |
7. x4 – 2x3 + 3x2 – ax + b বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 1) এবং (x + 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 5 এবং 19 হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| x – 1 = 0 |
| বা, x = 1 |
এবং
| x + 1 = 0 |
| বা, x = -1 |
(x – 1) এবং (x + 1) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য যথাক্রমে 1 ও -1 ।
ধরি, f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – ax + b
| ভাগশেষ, | |
|---|---|
| f(1) | = 14 – 2.13 + 3.12 – a.1 + b |
| = 1-2+3-a+b | |
| = -a+b+2 | |
| f(-1) | = (-1)4 – 2.(-1)3 + 3.(-1)2 – a.(-1) + b |
| = 1 + 2 + 3 + a + b | |
| = a+b+6 | |
প্রসনানুসারে,
f(1) = 5
বা, -a+b+2=5
বা, -a+b=3 —-(i)
এবং
f(-1) = 19
বা, a+b+6=19
বা, a+b=13 —–(ii)
(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,
-a+b+a+b = 3 + 13
বা, 2b = 16
বা, b = 8
এখন b=8 (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
a = 13-8
বা, a = 5
অতএব, f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – 5x + 8
এখন
| x + 2 = 0 |
| বা, x = -2 |
(x + 2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -2
| নির্ণেয় ভাগশেষ, |
|---|
| f(-2) |
| = (-2)4 – 2.(-2)3 + 3(-2)2 – 5(-2) + 8 |
| = 16 + 16 + 12 + 10 +8 |
| = 62 |
8. যদি 
হয়, তাহলে দেখাই যে, f(a) + f(b) = f(a+b)
সমাধানঃ-
| f(a) |  |
| \(= a + \frac{b \times 0}{b-a}\) | |
| = a | |
| f(b) |  |
| \(= \frac{a \times 0}{a-b} + b\) | |
| = b | |
| f(a+b) |  |
 | |
 | |
 | |
 | |
| = a + b |
অতএব,
f(a) + f(b)
= a + b
= f(a + b)
9. f(x) = ax + b এবং f(0) = 3, f( 2 ) = 5 হলে, a ও b এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
f(x) = ax + b
| f(0) | = a.0 + b |
| = b | |
| ∴ f(0) = b = 3 ⇒ f(x) = ax + 3 | |
| f(2) | = a.2 + 3 |
| = 2a + 3 | |
| ∴ f(2) = 2a+3 = 5 বা, 2a = 5-3 বা, a = 1 | |
10. f(x) = ax2 + bx + c এবং f (0) = 2, f(1) =1 ও f(4) = 6 হলে, a, b ও c এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
f(x) = ax2 + bx + c
| f(0) | = a.0 + b.0 + c |
| = c | |
| ∴ f(0) = c = 2 ⇒ f(x) = ax2 + bx + 2 | |
| f(1) | = a.12 + b.1 + 2 |
| = a + b + 2 | |
| ∴ f(1) = a + b + 2 = 1 বা, a + b = -1 ——(i) | |
| f(4) | = a.42 + b.4 + 2 |
| = 16a + 4b + 2 | |
| ∴ f(4) = 16a + 4b + 2 = 6 বা, 16a + 4b = 4 বা, 4a + b = 1 —-(ii) | |
(ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
4a+b-a-b = 1 – (-1)
বা, 3a = 2
বা , a = \(\frac{2}{3}\)
এখন a=\(\frac{2}{3}\), (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(\frac{2}{3}\) + b = -1
বা, b = -1 – \(\frac{2}{3}\)
বা, b = -\(\frac{5}{3}\)
| ∴ a=\(\frac{2}{3}\) b = -\(\frac{5}{3}\) c = 2 |
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন: ( M.C.Q.)
(i) নীচের কোনটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
উত্তর- (c) √2x2 – √3x + 6
(ii)নীচের কোনটি বহুপদী সংখ্যামালা
উত্তর- (a) x – 1
(iii) নীচের কোনটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা
উত্তর- (b) x + 1
(iv) নীচের কোনটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
উত্তর- (d) x2 + 5x + 6
(v) √3 বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা
উত্তর- (d) 0
সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :
i) p(x) = 2x – 3 বহুপদী সংক্ষামালার শূন্য কত লিখি।
সমাধানঃ-
p(x) = 2x – 3
2x – 3 = 0
বা, x = \(\frac{3}{2}\)
| ∴p(x) = 2x – 3 বহুপদী সংক্ষামালার শূন্য \(\frac{3}{2}\) |
(ii) p(x) = x + 4 হলে, p ( x ) + p ( -x ) -এর মান কত লিখি।
সমাধানঃ-
p(x) = x + 4
| p ( x ) + p ( -x ) |
| = x + 4 – x + 4 |
| = 8 |
(iii) x3 + 4x2 + 4x – 3 বহুপদী সংখ্যামালাকে x দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, f(x) = x3 + 4x2 + 4x – 3
f(x) = x3 + 4x2 + 4x – 3 বহুপদী সংখ্যামালাকে x দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে f(0).
∴ ভাগশেষ = f(0) = 0+4.0+4.0 – 3 = -3
(iv) (3x – 1 )7 = a7 x7 + a6 x6 + a5 x5 +………… + a1 x + a0 , হলে, a7 + a6 + a5 +……+ a0 এর মান কত লিখি। (যেখানে a7, a6, a5……… ধ্রুবক)
সমাধানঃ-
(3x – 1 )7 = a7 x7 + a6 x6 + a5 x5 +………… + a1 x + a0
উপরোক্ত সমীকরণে x=1 বসিয়ে পাই,
(3-1)7= a7 + a6 + a5 +……+ a0
বা, a7 + a6 + a5 +……+ a0 = 27
বা, a7 + a6 + a5 +……+ a0 = 128
| বহুপদী সংখ্যামালা অধ্যায়ের- | |
|---|---|
 | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.4 | |
| WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান- | |
|---|---|
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| 2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices) | কষে দেখি 2 |
| 3. লেখচিত্র (Graph) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 |
| 5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| কষে দেখি 5.4 | |
| কষে দেখি 5.5 | |
| কষে দেখি 5.6 | |
| কষে দেখি 5.7 | |
| 6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram) | কষে দেখি 6 |
| 7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| কষে দেখি 7.4 | |
| 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation) | কষে দেখি 8.1 |
| কষে দেখি 8.2 | |
| কষে দেখি 8.3 | |
| কষে দেখি 8.4 | |
| কষে দেখি 8.5 | |
| 9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem). | কষে দেখি 9 |
| 10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss) | কষে দেখি 10.1 |
| কষে দেখি 10.2 | |
| 11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics) | কষে দেখি 11.1 |
| কষে দেখি 11.2 | |
| 12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area) | কষে দেখি 12 |
| 13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন | কষে দেখি 13 |
| 14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন | কষে দেখি 14 |
| 15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| কষে দেখি 15.3 | |
| 16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle) | কষে দেখি 16 |
| 17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence) | কষে দেখি 17 |
| 18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle) | কষে দেখি 18 |
| 19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment) | কষে দেখি 19 |
| 20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region) | কষে দেখি 20 |
| 21. লগারিদম (Logarithm) | কষে দেখি 21 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  [Sassy_Social_Share] |
এই কষে দেখি 7.3 Class 9|Koshe Dekhi 7.3 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে| Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী| Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।