শ্রেণী-নবম ; অধ্যায়:- লগারিদম ; কষে দেখি 21
কষে দেখি 21 Class 9 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 21 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 21 পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত Class 9|নবম শ্রেণীর গণিত বই এর 21 নম্বর অধ্যায় লগারিদম এর অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 21 Class 9 এর সমস্ত অংকগুলি করার জন্যে নিম্নলিখিত সুত্রগুলি প্রয়োজন হবে-
লগারিদম এর সুত্র | Logarithm Formula:
আগামিতে এই কষে দেখি 21 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে? |
|---|
| কষে দেখি 21 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 21 Class 9 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 21| Koshe Dekhi 21
সমাধানঃ-
1. মান নির্ণয় করি :
(i) \(\log _{4}^{(\frac{1}{64})}\)
সমাধানঃ-
| \(\log _{4}^{(\frac{1}{64})}\) |
| = \(\log _{4}^{(\frac{1}{4})^{3}}\) |
| = 3 \(\log _{4}^{\frac{1}{4}}\) |
| = 3 ( \(\log_{4}^{1} – \log_{4}^{4}\) ) |
| = 3 ( 0 – 1) |
| = -3 |
(ii) \(\log _{0.01}^{0.000001}\)
সমাধানঃ-
| \(\log _{0.01}^{0.000001}\) |
| = \(\log _{0.01}^{(0.01)^3}\) |
| = 3 \(\log _{0.01}^{0.01}\) |
| = 3 |
(iii) \(\log _{\sqrt{6}}^{216}\)
সমাধানঃ-
| \(\log _{\sqrt{6}}^{216}\) |
| = \(\log _{\sqrt{6}}^{(\sqrt6)^6}\) |
| = 6 \(\log _{\sqrt{6}}^{\sqrt6}\) |
| = 6 |
(iv) \(\log _{2\sqrt{3}}^{1728}\)
সমাধানঃ-
| \(\log _{2\sqrt{3}}^{1728}\) |
| = \(\log _{2\sqrt{3}}^{(2\sqrt3)^6}\) |
| = 6 \(\log _{2\sqrt{3}}^{2\sqrt3}\) |
| = 6 |
2.
(a) 625 -এর লগারিদম 4 হলে, নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, নিধান = x
অতএব,
| x4 = 625 |
| বা, x4 = 54 |
| বা, x = 5 |
(b) 5832- এর লগারিদম 6 হলে, নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, নিধান = x
অতএব,
| x6 = 5832 |
| বা, x6 = \((3\sqrt2)^6\) |
| বা, x = \(3\sqrt2\) |
3.
(a) \(1+ \log_{10}^a = 2\log_{10}^b\) হলে a কে b-এর দ্বারা প্রকাশ করি।
সমাধানঃ-
| \(1+ \log_{10}^a = 2\log_{10}^b\) |
| বা, \(\log_{10}^10+ \log_{10}^a = \log_{10}^{b^2}\) |
| বা, \(\log_{10}^{10a} = \log_{10}^{b^2}\) |
| বা, 10a = b2 |
| বা, a = \(\frac{b^2}{10}\) |
(b) \(3+\log_{10}^{x} = 2\log_{10}^{y}\) হলে x কে y-এর দ্বারা প্রকাশ করি।
সমাধানঃ-
| \(3+\log_{10}^{x} = 2\log_{10}^{y}\) |
| বা, \(3\log_{10}^{10}+\log_{10}^{x} = \log_{10}^{y^2}\) |
| বা, \(\log_{10}^{10^3}+\log_{10}^{x} = \log_{10}^{y^2}\) |
| বা, \(\log_{10}^{(10^3)x} = \log_{10}^{y^2}\) |
| বা, 1000x = y2 |
| বা, x = \(\frac{y^2}{1000}\) |
4. মান নির্ণয় করি :
(a) \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log\)3(\(\log _{3}^{27^{3}}\))}]
সমাধানঃ-
| \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log\)3(\(\log _{3}^{27^{3}}\))}] |
| = \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log\)3(\(\log _{3}^{(3^3)^{3}}\))}] |
| = \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log\)3(\(\log _{3}^{3^{9}}\))}] |
| = \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log_3^{9}\)}] |
| = \(\log\)2[\(\log\)2{\(\log_3^{3^2}\)}] |
| = \(\log\)2[\(\log_2^2\)] |
| = \(\log_2^1\) |
| = 0 |
(b) \(\frac{\log \sqrt{27}+\log8-\log\sqrt{1000}}{\log1.2}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{\log \sqrt{27}+\log8-\log\sqrt{1000}}{\log1.2}\) |
| = \(\frac{\log {27}^\frac{1}{2}+\log(2^3)-\log1000^\frac{1}{2}}{\log\frac{12}{10}}\) |
| = \(\frac{\frac{1}{2}\log 27 + 3\log 2 – \frac{1}{2}\log 1000}{\log 12 – \log 10}\) |
| = \(\frac{\frac{1}{2}\log {3^3} + 3\log 2 – \frac{1}{2}\log 10^3}{\log {3\times4} – \log 10}\) |
| = \(\frac{\frac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 – \frac{3}{2}\log 10}{\log 3 + \log 4 – \log 10}\) |
| = \(\frac{\frac{3}{2}(\log 3 + 2\log 2 – \log 10)}{\log 3 + \log {2}^2 – \log 10}\) |
| = \(\frac{\frac{3}{2}(\log 3 + 2\log 2 – \log 10)}{\log 3 + 2\log 2 – \log 10}\) |
| = \(\frac{3}{2}\) |
(c) \(\log_{3}^{4}\)×\(\log_{4}^{5}\)×\(\log_{5}^{6}\)×\(\log_{6}^{7}\)×\(\log_{7}^{3}\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{3}^{4}\)×\(\log_{4}^{5}\)×\(\log_{5}^{6}\)×\(\log_{6}^{7}\)×\(\log_{7}^{3}\) |
| = \(\frac{\log4}{\log3}\) × \(\frac{\log5}{\log4}\) × \(\frac{\log6}{\log5}\) ×\(\frac{\log7}{\log6}\) × \(\frac{\log3}{\log7}\) |
| = 1 |
(d) \(\log_{10}^{\frac{384}{5}}\) + \(\log_{10}^{\frac{81}{32}}\) + 3\(\log_{10}^{\frac{5}{3}}\) + \(\log_{10}^{\frac{1}{9}}\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{10}^{\frac{384}{5}}\) + \(\log_{10}^{\frac{81}{32}}\) + 3\(\log_{10}^{\frac{5}{3}}\) + \(\log_{10}^{\frac{1}{9}}\) |
| = \(\log_{10}^{\frac{384}{5}}\) + \(\log_{10}^{\frac{81}{32}}\) + \(\log_{10}^{(\frac{5}{3})^3}\) + \(\log_{10}^{\frac{1}{9}}\) |
| = \(\log_{10}^{\frac{384}{5}}\) + \(\log_{10}^{\frac{81}{32}}\) + \(\log_{10}^{\frac{125}{27}}\) + \(\log_{10}^{\frac{1}{9}}\) |
| = \(\log_{10}^{\frac{384}{5}\times\frac{81}{32}\times \frac{125}{27}\times\frac{1}{9}}\) |
| = \(\log_{10}^{100}\) |
| = \(\log_{10}^{10^2}\) |
| = 2\(\log_{10}^{10}\) |
| = 2 |
5. প্রমাণ করি :
(i) \(\log\frac{75}{16}\) – 2\(\log\frac{5}{9}\) + \(\log\frac{32}{243}\) = \(\log2\)
সমাধানঃ-
| \(\log\frac{75}{16}\) – 2\(\log\frac{5}{9}\) + \(\log\frac{32}{243}\) |
| = \(\log\frac{75}{16}\) – \(\log(\frac{5}{9})^2\) + \(\log\frac{32}{243}\) |
| = \(\log\frac{75}{16}\) – \(\log\frac{25}{81}\) + \(\log\frac{32}{243}\) |
| = \(\log{\frac{75}{16}}\times\frac{81}{25}\times\frac{32}{243}\) |
| = \(\log 2\) |
(ii) \(\log_{10}^{15}(1+\log_{15}^{30})\)+
\(\frac{1}{2}\log_{10}^{16}(1+\log_{4}^{7})\) –
\(\log_{10}^{6}(\log_{6}^{3}+1+\log_{6}^{7})\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{10}^{15}(1+\log_{15}^{30})\)+ \(\frac{1}{2}\log_{10}^{16}(1+\log_{4}^{7})\) – \(\log_{10}^{6}(\log_{6}^{3}+1+\log_{6}^{7})\) |
| = \(\log_{10}^{15}(\log_{15}^{15}+\log_{15}^{30})\) + \(\log_{10}^{(16)^\frac{1}{2}}(\log_{4}^{4}+\log_{4}^{7})\) – \(\log_{10}^{6}(\log_{6}^{3}+\log_{6}^{6}+\log_{6}^{7})\) |
| = \(\log_{10}^{15} \times \log_{15}^{30\times15} + \log_{10}^{4}\times \log_{4}^{4\times7} – \log_{10}^{6}\times\log_{6}^{3\times6\times7}\) |
| = \(\log_{10}^{450} + \log_{10}^{28} – \log_{10}^{126}\) |
| = \(\log_{10}^{\frac{450 \times 28}{126}}\) |
| = \(\log_{10}^{100}\) |
| = \(\log_{10}^{10^2}\) |
| = 2 |
(iii) \(\log_{2}\log_{2}\log_{4}^{256}+2\log_{\sqrt2}^{2}=5\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{2}\log_{2}\log_{4}^{256}+2\log_{\sqrt2}^{2}\) |
| = \(\log_{2}\log_{2}\log_{4}^{4^4}+2\log_{\sqrt2}^{(\sqrt2)^2}\) |
| = \(\log_{2}\log_{2}4\log_{4}^{4}+2\times2\log_{\sqrt2}^{\sqrt2}\) |
| = \(\log_{2}\log_{2}4 + 4 \) |
| = \(\log_{2}\log_{2}^{2^2} + 4 \) |
| = \(\log_{2} 2\log_{2}^{2} + 4 \) |
| = \(\log_{2}^{2} + 4\) |
| = 1 + 4 = 5 |
(iv) \(\log_{x^{2}}^{x}\times\log_{y^{2}}^{y}\times\log_{z^{2}}^{z}\) = \(\frac{1}{8}\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{x^{2}}^{x}\times\log_{y^{2}}^{y}\times\log_{z^{2}}^{z}\) |
| = \(\frac{\log x}{\log{x^2}} \times \frac{\log y}{\log{y^2}} \times \frac{\log z}{\log{z^2}}\) |
| = \(\frac{\log x}{2\log{x}} \times \frac{\log y}{2\log{y}} \times \frac{\log z}{2\log{z}}\) |
| = \(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times\frac{1}{2}\) |
| = \(\frac{1}{8}\) |
(v) \(\log_{b^{3}}^{a}\times\log_{c^{3}}^{b}\times\log_{a^{3}}^{c}\) = \(\frac{1}{27}\)
সমাধানঃ-
| \(\log_{b^{3}}^{a}\times\log_{c^{3}}^{b}\times\log_{a^{3}}^{c}\) |
| = \(\frac{\log a}{\log{b^3}} \times \frac{\log b}{\log{c^3}} \times \frac{\log c}{\log{a^3}}\) |
| = \(\frac{\log a}{3\log{b}} \times \frac{\log b}{3\log{c}} \times \frac{\log c}{3\log{a}}\) |
| = \(\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} \times\frac{1}{3}\) |
| = \(\frac{1}{27}\) |
(vi) \(\frac{1}{\log_{xy}^{(xyz)}} + \frac{1}{\log_{yz}^{(xyz)}} + \frac{1}{\log_{zx}^{(xyz)}}\) = \(2\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{1}{\log_{xy}^{(xyz)}} + \frac{1}{\log_{yz}^{(xyz)}} + \frac{1}{\log_{zx}^{(xyz)}}\) = |
| = \(\frac{1}{\frac{\log xyz}{\log xy}} + \frac{1}{\frac{\log xyz}{\log yz}} + \frac{1}{\frac{\log xyz}{\log zx}}\) |
| = \(\frac{\log xy}{\log xyz} + \frac{\log yz}{\log xyz} + \frac{\log zx}{\log xyz}\) |
| = \(\frac{\log xy + \log yz + \log zx}{\log xyz}\) |
| = \(\frac{\log xy\times yz\times zx}{\log xyz}\) |
| = \(\frac {\log(xyz)^2}{\log xyz}\) |
| = \(\frac{2\log xyz}{\log xyz}\) |
| = \(2\) |
(vii) \(\log\frac{a^{2}}{bc} + \log\frac{b^{2}}{ca} + \log\frac{c^{2}}{ab} = 0\)
সমাধানঃ-
| \(\log\frac{a^{2}}{bc} + \log\frac{b^{2}}{ca} + \log\frac{c^{2}}{ab}\) |
| = \(\log {\frac {a^2}{bc}} \times {\frac {b^2}{ac}} \times {\frac {c^2}{ab}}\) |
| = \(\log 1\) |
| = 0 |
(viii) \(x^{\log y-\log z} \times y^{\log z-\log x}\times \)
\(z^{\log x-\log y} = 1 \)
সমাধানঃ-
ধরি, P = \(x^{\log y-\log z} \times y^{\log z-\log x}\times \) \(z^{\log x-\log y}\)
| \(\log P\) |
| = \(\log (x^{\log y-\log z} \times y^{\log z-\log x}\times \) \(z^{\log x-\log y})\) |
| = \(\log x^{\log y-\log z} + \log y^{\log z-\log x} + \log z^{\log x-\log y} \) |
| = \((\log y-\log z) \log x + (\log z-\log x) \log y + (\log x-\log y) \log z\) |
| = \( \log y \log x – \log z \log x + \log z \log y – \log x \log y + \log x \log z – \log y \log z \) |
| = 0 |
| ∴ \(\log P\) = 0 = \(\log 1\) |
| ⇒ P = 1 |
6.
(i) যদি \(\log\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}(\log x+\log y)\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 23\)
সমাধানঃ-
| \(\log\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}(\log x+\log y)\) |
| বা, \(2 \log\frac{x+y}{5} = (\log x+\log y)\) |
| বা, \(\log (\frac{x+y}{5})^2 = \log xy\) |
| বা, \(\frac {(x+y)^2}{25} = xy\) |
| বা, (x + y)2 = 25xy |
| বা, x2 + y2 + 2xy = 25xy |
| বা, x2 + y2 = 23xy |
| বা, \(\frac{x^2 + y^2}{xy}\) = 23 |
| বা, \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\) = 23 |
(ii) যদি a4 + b4 = 14a2b2 হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\log\)(a2 + b2) = \(\log\)a + \(\log\)b + 2\(\log\)2
সমাধানঃ-
| a4 + b4 = 14a2b2 |
| বা, (a2)2 + (b2)2 = 14a2b2 |
| বা, (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 14a2b2 |
| বা, (a2 + b2)2 = 16a2b2 |
| উভয়পক্ষ \(\log\) নিয়ে পাই, |
| বা, 2\(\log\)(a2 + b2) = \(\log\) 16a2b2 |
| বা, 2\(\log\)(a2 + b2) = \(\log\) 16 + \(\log\) a2+ \(\log\)b2 |
| বা, 2\(\log\)(a2 + b2) = \(\log 2^4\) + 2\(\log\) a+ 2\(\log\)b |
| বা, 2\(\log\)(a2 + b2) = 4\(\log 2\) + 2\(\log\) a+ 2\(\log\)b |
| বা, \(\log\)(a2 + b2) = 2\(\log 2\) + \(\log\) a+ \(\log\)b |
7. যদি \(\frac{\log x}{y – z} = \frac{\log y}{z – x} = \frac{\log z}{x – y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xyz = 1
সমাধানঃ-
ধরি, \(\frac{\log x}{y – z} = \frac{\log y}{z – x} = \frac{\log z}{x – y}\) = k
∴ \(\log\) x = k(y – z) ———(i)
\(\log\) y = k(z – x) ———-(ii)
\(\log\) z = k(x – y) ———-(iii)
(i),(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
| \(\log\) x + \(\log\) y + \(\log\) z = k(y – z) + k(z – x) + k(x – y) |
| বা, \(\log\) xyz = k(y – z + z – x + x – y) |
| বা, \(\log\) xyz = 0 |
| বা, \(\log\) xyz = \(\log\) 1 |
| বা, xyz = 1 |
8. যদি \(\frac{\log x}{b – c} = \frac{\log y}{c – a} = \frac{\log z}{a – b}\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,
(a) xb+ c . yc + a . za + b = 1
সমাধানঃ-
ধরি, \(\frac{\log x}{b – c} = \frac{\log y}{c – a} = \frac{\log z}{a – b}\) = k
∴ \(\log\) x = k(b – c)
বা, (b + c)\(\log\) x = k(b2 – c2)———(i)
\(\log\) y = k(c – a)
বা, (c+ a)\(\log\) y = k(c2 – a2)———-(ii)
\(\log\) z = k(a – b)
বা, (a + b)\(\log\) z = k(a2 – b2)———-(iii)
(i),(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
| (b + c)\(\log\) x + (c+ a)\(\log\) y + (a + b)\(\log\) z = k(b2 – c2) + k(c2 – a2) + k(a2 – b2) |
| বা, \(\log x^{(b+c)} + \log y^{(c + a)} + \log z^{(a + b)}\) = k(b2 – c2 + c2 – a2 + a2 – b2) |
| বা, \(\log x^{(b+c)} . y^{(c + a)} . z^{(a + b)} \) = 0 |
| বা, \(\log x^{(b+c)} . y^{(c + a)} . z^{(a + b)} \) = \(\log\) 1 |
| বা, \(x^{(b+c)} . y^{(c + a)} . z^{(a + b)}\) = 1 |
(b) x\(b^{2} + bc + c^{2}\) . y\(c^{2} + ca + a^{2}\) . z\(a^{2} + ab + b^{2}\) = 1
সমাধানঃ-
ধরি, \(\frac{\log x}{b – c} = \frac{\log y}{c – a} = \frac{\log z}{a – b}\) = k
∴ \(\log\) x = k(b – c)
বা, (b2 + bc + c2)\(\log\) x = k(b3 – c3)———(i)
\(\log\) y = k(c – a)
বা, (c2 + ca+ a2)\(\log\) y = k(c3 – a3)———-(ii)
\(\log\) z = k(a – b)
বা, (a2 + ab + b2)\(\log\) z = k(a3 – b3)———-(iii)
(i),(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
| (b2 + bc + c2)\(\log\) x + (c2 + ca+ a2)\(\log\) y + (a2 + ab + b2)\(\log\) z = k(b3 – c3) + k(c3 – a3) + k(a3 – b3) |
| বা, \(\log x^{(b^2 + bc + c^2)} + \log y^{(c^2 + ca+ a^2)} + \log z^{(a^2 + ab + b^2)} \) = k(b3 – c3 + c3 – a3 + a3 – b3) |
| বা, \(\log x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca+ a^2)} . z^{(a^2 + ab + b^2)}\) = 0 |
| বা, \(\log x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca+ a^2)} . z^{(a^2 + ab + b^2)}\) = \(\log\) 1 |
| বা, \(x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca+ a^2)} . z^{(a^2 + ab + b^2)}\) = 1 |
9. যদি,a3 – x .b5x = a5 + x .b3x হয়, তাহলে দেখাই যে, \(x\log(\frac{b}{a}) = \log\) a
সমাধানঃ-
| a3 – x .b5x = a5 + x .b3x |
| বা, b5x – 3x = a5 + x – 3 + x |
| বা, b2x = a2 + 2x |
| বা, \(\frac {b^{2x}}{a^{2x}}\) = a2 |
| উভয়পক্ষে \(\log\) নিয়ে পাই, |
| বা, \( \log(\frac{b}{a})^{2x} = \log\) a2 |
| বা, 2x\( \log\frac{b}{a}\) = 2\(\log a\) |
| বা, \(x\log(\frac{b}{a}) = \log\) a |
10. সমাধান করি :
(a) \(\log_8 [\log_2\) {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)}] = \(\frac{1}{3}\)
সমাধানঃ-
| \(\log_8 [\log_2\) {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)}] = \(\frac{1}{3}\) |
| বা, \([\log_2\) {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)}] = \(8^{\frac{1}{3}}\) |
| বা, \([\log_2\) {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)}] = \((2^3)^{\frac{1}{3}}\) |
| বা, \([\log_2\) {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)}] = 2 |
| বা, {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)} = 22 |
| বা, {\(\log_3 (4^{x} + 17)\)} = 4 |
| বা, \((4^{x} + 17)\) = 34 |
| বা, \((4^{x} + 17)\) = 81 |
| বা, \(4^x\) = 81 – 17 |
| বা, \(4^x\) = 64 |
| বা, \(4^x\) = \(4^3\) |
| বা, x = 3 |
(b) \(\log_{8}^{x} + \log_{4}^{x} + \log_{2}^{x} =11 \)
সমাধানঃ-
| \(\log_{8}^{x} + \log_{4}^{x} + \log_{2}^{x} =11 \) |
| বা, \(\frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 2} = 11 \) |
| বা, \(\frac{\log x}{\log {2^3}} + \frac{\log x}{\log {2^2}} + \frac{\log x}{\log 2} = 11\) |
| বা, \(\frac{\log x}{3\log 2} + \frac{\log x}{2\log 2} + \frac{\log x}{\log 2} = 11\) |
| বা, \(\frac{\log x}{\log 2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1) = 11\) |
| বা, \(\log_{2}^{x}(\frac{2+3+6}{6}) = 11\) |
| বা, \(\log_{2}^{x} = 11 \times \frac{6}{11}\) |
| বা, x = \(2^6\) |
| বা, x = 64 |
11. দেখাই \(\log_{10}^2\) -এর মান \(\frac{1}{4}\) এবং \(\frac{1}{3}\) -এর মধ্যে অবস্থিত।
সমাধানঃ-
\(2^12 = 4096\)
এখন
| 1000 < 4096 < 10000 |
| বা, \(10^3 < 2^12 < 10^4\) |
| 10 নিধান সাপেক্ষে \(\log\) নিয়ে পাই, |
| বা, \(\log_{10}^{10^3} < \log_{10}^{2^{12}} < \log_{10}^{10^4}\) |
| বা, \( 3 < 12\log_{10}^{2} < 4\) |
| বা, \(\frac{3}{12} < \log_{10}^{2} < \frac{4}{12}\) |
| বা, \(\frac{1}{4} < \log_{10}^{2} < \frac{1}{3}\) |
12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) যদি \(\log_{\sqrt{x}}^{0.25} = 4\)হয়, তাহলে x এর মান
সমাধানঃ-
| (\log_{\sqrt{x}}^{0.25} = 4\) |
| বা, 0.25 = \((\sqrt{x})^4\) |
| বা, 0.25 = \(x^{\frac{1}{2}\times4}\) |
| বা, \((0.5)^2 = x^2 \) |
| বা, x = 0.5 |
(ii) \(\log_{10}^{(7x-5)} = 2\) হলে, x-এর মান
সমাধানঃ-
| \(\log_{10}^{(7x-5)} = 2\) |
| বা, 7x – 5 = \(10^2\) |
| বা, 7x = 100 + 5 |
| বা, x = \(\frac{105}{7}\) |
| বা, x= 15 |
(iii) \(\log_{2}^{3}\) = a হলে, \(\log_{8}^{27}\) হবে
সমাধানঃ-
| \(\log_{8}^{27}\) |
| = \(\frac{\log 8}{\log 27}\) |
| = \(\frac{\log 2^3}{\log 3^3}\) |
| = \(\frac{3\log 2}{3\log 3}\) |
| = \(\frac{\log 2}{\log 3}\) |
| = \(\log_{2}^{3}\) = a |
(iv) \(\log_{\sqrt{2}}^{x}\) = a হলে, \(\log_{2\sqrt{2}}^{x}\) হবে
সমাধানঃ-
| (\log_{2\sqrt{2}}^{x}\) |
| = \(\frac{\log x}{\log {2\sqrt{2}}}\) |
| = \(\frac{\log x}{\log {\sqrt{2\times2\times2}}}\) |
| = \(\frac{\log x}{\log ({\sqrt{2})^3}}\) |
| = \(\frac{\log x}{3\log {\sqrt{2}}}\) |
| = \(\frac{1}{3} \log_{\sqrt{2}}^{x}\) |
| = \(\frac{a}{3}\) |
(v) \(\log_{x}^{\frac{1}{3}}\) = – \(\frac{1}{3}\) হলে, x-এর মান হবে
সমাধানঃ-
| \(\log_{x}^{\frac{1}{3}}\) = – \(\frac{1}{3}\) |
| বা, \(\frac{1}{3} = x^{-\frac{1}{3}}\) |
| বা, x = \(3^3\) |
| বা, x = 27 |
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) \(\log_{4} \log_{4}\log_{4}256\) -এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| \(\log_{4} \log_{4}\log_{4}256\) |
| = \(\log_{4} \log_{4}\log_{4}^{4^4}\) |
| = \(\log_{4} \log_{4}4\log_{4}^{4}\) |
| = \(\log_{4} \log_{4}^{4}\) |
| = \(\log_{4}^{1}\) = 0 |
(ii) \(\log\frac{a^{n}}{b^{n}} + \log\frac{b^{n}}{c^{n}} + \log\frac{c^{n}}{a^{n}}\) -এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| \(\log\frac{a^{n}}{b^{n}} + \log\frac{b^{n}}{c^{n}} + \log\frac{c^{n}}{a^{n}}\) |
| = \(\log{a^n} – \log{b^n} + \log{b^n} – \log{c^n} + \log{c^n} – \log{a^n}\) |
| = 0 |
(iii) দেখাই যে, \(a^{\log_{a}^{x}}\) = \(x\)
সমাধানঃ-
ধরি, \(a^{\log_{a}^{x}}\) = P
বা, \(\log_{a}^{x} = \log_{a}^{P}\)
বা, P = \(x\)
(iv) \(\log_{e}^{2}\) . \(\log_{x}^{25} = \log_{10}^{16}\) . \(\log_{e}^{10}\) হলে x-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(\log_{e}^{2}\) . \(\log_{x}^{25} = \log_{10}^{16}\) . \(\log_{e}^{10}\) |
| বা, \(\log_{e}^{2}\) . \(\log_{x}^{25} = \log_{e}^{16}\) |
| বা, \(\log_{x}^{25} = \log_{e}^{16} \times \log_{2}^{e}\) |
| বা, \(\log_{x}^{25} = \log_{2}^{16}\) |
| বা, \(\log_{x}^{25} = \log_{2}^{2^4}\) |
| বা, \(\log_{x}^{25} = 4 \) |
| বা, 25 = \(x^4\) |
| বা, \((\sqrt5)^4 = x^4\) |
| বা, x = \(\sqrt5\) |
| WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান- | |
|---|---|
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| 2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices) | কষে দেখি 2 |
| 3. লেখচিত্র (Graph) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 |
| 5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| কষে দেখি 5.4 | |
| কষে দেখি 5.5 | |
| কষে দেখি 5.6 | |
| কষে দেখি 5.7 | |
| 6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram) | কষে দেখি 6 |
| 7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| কষে দেখি 7.4 | |
| 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation) | কষে দেখি 8.1 |
| কষে দেখি 8.2 | |
| কষে দেখি 8.3 | |
| কষে দেখি 8.4 | |
| কষে দেখি 8.5 | |
| 9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem). | কষে দেখি 9 |
| 10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss) | কষে দেখি 10.1 |
| কষে দেখি 10.2 | |
| 11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics) | কষে দেখি 11.1 |
| কষে দেখি 11.2 | |
| 12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area) | কষে দেখি 12 |
| 13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন | কষে দেখি 13 |
| 14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন | কষে দেখি 14 |
| 15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| কষে দেখি 15.3 | |
| 16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle) | কষে দেখি 16 |
| 17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence) | কষে দেখি 17 |
| 18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle) | কষে দেখি 18 |
| 19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment) | কষে দেখি 19 |
| 20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region) | কষে দেখি 20 |
| 21. লগারিদম (Logarithm) | কষে দেখি 21 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  [Sassy_Social_Share] |
এই কষে দেখি 21 Class 9|Koshe Dekhi 21 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে| Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী| Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।