শ্রেণী-নবম ; অধ্যায় – ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য ; কষে দেখি 9
কষে দেখি 9 Class 9 এর সুচিপত্রঃ-
কষে দেখি 9 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 9 পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE বোর্ডের অন্তর্গত তোমাদের নবম|Class 9 এর গণিতপ্রকাশ বই এর নয় নম্বর অধ্যায়। এই Koshe Dekhi 9 Class 9 এ যে সমস্ত অংক গুলি আছে সেগুলি সবই উপপাদ্য প্রমাণের অংক।
এই কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 এর অংক গুলি করতে যে যে উপপাদ্য গুলি লাগবে তা হলো-
উপপাদ্য 20 |
---|
কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক । |
উপপাদ্য 21 |
---|
কোনো ত্রিভুজের যে কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খণ্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে। |
উপপাদ্য 22 |
---|
যদি তিনটি বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে। |
আগামিতে এই কষে দেখি 9 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে? |
---|
কষে দেখি 9 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 9 Class 9 তারপর ![]() ![]() |
কষে দেখি 9 Class 9 এর Youtube ভিডিও-
যাদের লিখা বুঝতে অসুবিধা হচ্ছে তারা আমার এই ভিডিও দেখে বুঝে নিতে পারবে-
Part 1
Part 2
Part 3
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 99 কষে দেখি 9](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/কষে-দেখি-9--1024x576.png)
কষে দেখি 9| Koshe Dekhi 9
সমাধানঃ-
1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, EF = ½BC
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 100 1 4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/1-4-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EF = ½BC
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 101 1.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/1.1-1024x576.png)
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 102 1.1 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/1.1-1-1024x576.png)
▲ABC এর |
---|
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ও DE ||AC এবং D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ও DF ||AB |
⇒ F ও E যথাক্রমে AC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু ⇒ EF = ½BC (প্রমাণিত) |
2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = ¼AB এবং AE =¼AC; প্রমাণ করি যে, DE || BC এবং DE = ¼BC
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 103 2 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/2-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = ¼AB এবং AE =¼AC
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 104 2.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/2.1-1024x576.png)
AB বাহুর মধ্যবিন্দু F এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু G যোগ করলাম।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে DE || BC এবং DE = ¼BC
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 105 2.1 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/2.1-1-1024x576.png)
▲ABC এর |
---|
F ও G যথাক্রমে AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ FG||BC FG = ½BC ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 106 2.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/2.2-1024x576.png)
▲AFG এর |
---|
D ও E যথাক্রমে AF ও AG বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু [ AD = ¼AB = ½AG এবং AE = ¼AC = ½AG ] |
⇒ DE||FG DE = ½FG ———(ii) |
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
DE||FG||BC ⇒ DE||BC
এবং
DE = ½FG = ½(½BC) = ¼BC
(প্রমাণিত)
3. X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে PS = ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PY = ¼PR
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 107 3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/3-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে PS = ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কনঃ-
ZX যুক্ত করলাম ।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 108 3.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/3.1-1024x576.png)
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে PY = ¼PR
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 109 3.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/3.2-1024x576.png)
▲PQR এর |
---|
Z ও X যথাক্রমে PQ ও RQ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒PR||ZX ZX = ½PR ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 110 3.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/3.3-1024x576.png)
▲SZX এর |
---|
P, SZ বাহুর মধ্যবিন্দু এবং PY||ZX |
⇒ PY = ½ZX বা, PY = ½(½PR) বা, PY = ¼PR (প্রমাণিত) |
4. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়,সেটি একটি সামান্তরিক।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 111 7 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 112 6.onkon](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.onkon_-1024x576.png)
BD যুক্ত করলাম ।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি সামান্তরিক।
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 113 4 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/4-1-1024x576.png)
▲BDC এর |
---|
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 114 7.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.2-1024x576.png)
▲ABD এর |
---|
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii) |
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
EFGH চতুর্ভুজের,
EH=GF এবং EH||GF
অতএব, EFGH একটি সামান্তরিক।
5. প্রমাণ করি যে, একটি আয়তাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যেবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি রম্বস, কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয়।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 115 5](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5-1024x576.png)
ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 116 5.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5.1-1024x576.png)
BD যুক্ত করলাম ।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয় ।
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 117 5.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5.2-1024x576.png)
▲BDC এর |
---|
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 118 5.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5.3-1024x576.png)
▲ABD এর |
---|
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii) |
(i) ও (ii) থেকে পাই,
EH=GF=½BD —-(iii)
একই ভাবে
▲ADC ও ▲ ABC থেকে পাই, |
---|
EF=HG = ½AC ——(iv) |
কিন্তু AC = BD
[ কারণ ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ পরস্পর সমান ]
(iii) ও (iv) থেকে পাই,
EH=GF=HG=EF ——(v)
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 119 5.4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5.4-1024x576.png)
▲AEH এর | |
AE > AH | |
⇒ ∠AEH < ∠AHE | |
আবার, ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, ∠AEH + ∠AHE = 180° – 90° বা, ∠AEH + ∠AHE = 90° ⇒ ∠AHE > 45° ————( vi ) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 120 5.5](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5.5-1024x576.png)
▲HDG এর | |
HD < DG | |
⇒ ∠DHG > ∠DGH | |
∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠DGH + ∠DHG = 180° – 90° বা, ∠DGH + ∠DHG = 90° ⇒ ∠DHG > 45° ————( vii ) |
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 121 5 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/5-1-1024x576.png)
AD সরলরেখা থেকে পাই, | |
∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180° | |
বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) ——–(viii) |
(vi) ও (vii) নং থেকে পাই,
∠AEH + ∠DHG > 45° + 45° |
বা, ∠AEH + ∠DHG > 90° |
বা, -(∠AEH + ∠DHG) < -90° |
বা, 180° – (∠AEH + ∠DHG) < 180° – 90° |
বা, ∠EHG < 90° [ ∵ ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) ] |
অতএব EFGH একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয় ।
6. প্রমাণ করি যে, একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি বর্গাকার চিত্র।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 122 6 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 112 6.onkon](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.onkon_-1024x576.png)
BD যুক্ত করলাম ।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি বর্গক্ষেত্র ।
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 124 6.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.1-1024x576.png)
▲BDC এর |
---|
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 125 6.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.2-1024x576.png)
▲ABD এর |
---|
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii) |
(i) ও (ii) থেকে পাই,
EH=GF=½BD —-(iii)
একই ভাবে
▲ADC ও ▲ ABC থেকে পাই, |
---|
EF=HG = ½AC ——(iv) |
কিন্তু AC = BD
[ কারণ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ পরস্পর সমান ]
(iii) ও (iv) থেকে পাই,
EH=GF=HG=EF ——(v)
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 126 6.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.3-1024x576.png)
▲AEH এর | |
AE = AH | |
⇒ ∠AEH = ∠AHE | |
∴ ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, 2∠AHE = 180° – 90° বা, ∠AHE = 45° ————( vi ) |
এবং
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 127 6.4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6.4-1024x576.png)
▲HDG এর | |
HD = DG | |
⇒ ∠DHG = ∠DGH | |
∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠HDG + 2∠DHG = 180° বা, ∠DHG = 45° ————( vii ) |
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 128 6 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/6-2-1024x576.png)
AD সরলরেখা থেকে পাই, | |
∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180° | |
বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) | |
বা, ∠EHG = 180° – 90° = 90° |
আমরা পেলাম, EFGH একটি সমবাহু চতুর্ভুজ যার একটি কোণ সমকোণ ।
অতএব EFGH একটি বর্গক্ষেত্র। ( প্রমাণিত )
7. প্রমাণ করি যে, একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি আয়তাকার চিত্র।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 111 7 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABCD রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।
অঙ্কনঃ-
BD যুক্ত করলাম ।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 130 7.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.1-1024x576.png)
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি আয়তক্ষেত্র ।
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 131 7.1 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.1-1-1024x576.png)
▲BDC এর |
---|
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 114 7.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.2-1024x576.png)
▲ABD এর |
---|
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii) |
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
EFGH চতুর্ভুজের,
EH=GF এবং EH||GF
অতএব, EFGH একটি সামান্তরিক।
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 133 7.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.3-1024x576.png)
▲AEH এর | |
AE = AH | |
⇒ ∠AEH = ∠AHE | |
∴ ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, ∠HAE + 2∠AHE = 180° ————( i ) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 134 7.4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.4-1024x576.png)
▲HDG এর | |
HD = DG | |
⇒ ∠DGH = ∠DHG | |
∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠HDG + 2∠DHG = 180° ————( ii ) |
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
∠HAE + 2∠AHE + ∠HDG + 2∠DHG = 180°+180° |
বা, 2(∠AHE + ∠DHG)= 360° – 90° [ ∵ AB||CD ] |
বা, ∠AHE + ∠DHG = 90° ———–( iii ) |
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 135 7.1 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/7.1-2-1024x576.png)
AD সরলরেখা থেকে পাই, | |
∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180° | |
বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) | |
বা, ∠EHG = 180° – 90° = 90° |
আমরা পেলাম, EFGH একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ সমকোণ ।
অতএব EFGH একটি আয়তক্ষেত্র। ( প্রমাণিত )
8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD -এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 136 8.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/8.1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD -এর মধ্যবিন্দু।
অঙ্কনঃ-
P,E যুক্ত করলাম।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 137 8.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/8.2-1024x576.png)
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 138 8.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/8.3-1024x576.png)
▲ADC এর |
---|
P ও E যথাক্রমে CD ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ EP||AB EP = ½AD বা, EP = ½DB [ D, AB এর মধ্যবিন্দু ] বা, EP = QB [ Q, DB এর মধ্যবিন্দু ] ———(i) |
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 139 8.4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/8.4-1024x576.png)
▲EOP ও ▲QOB এর মধ্যে, |
---|
EP = QB [ (i) নং থেকে পেলাম ] |
∠PEO = একান্তর ∠QBO [ ∵ EP||AB এবং EB একটি ভেদক ] |
∠POE = বিপ্রতীপ ∠QOB |
∴ ▲EOP ≅ ▲QOB |
⇒ EO = OB [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] এবং OP = OQ [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] (প্রমাণিত) |
9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হলো যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AE = EC
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 140 9](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/9-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হলো যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 141 9.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/9.1-1024x576.png)
AD বাহুকে বর্ধিত করলাম যা BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে AE = EC
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 142 9.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/9.2-1024x576.png)
▲ADB ও ▲BDF এর মধ্যে, |
---|
∠ABD = ∠DBF [ প্রদত্ত ] |
∠ADB = ∠BDF = 90° |
BD সাধারণ বাহু |
∴ ▲ADB ≅ ▲BDF |
⇒ AD = DF —-(i) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 143 9.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/9.3-1024x576.png)
▲AFC এর |
---|
D, AF বাহুর মধ্যবিন্দু [ (i) নং থেকে পেয়েছি ] এবং DE||CF |
⇒ E, AC এর মধ্যবিন্দু। বা, AE=EC (প্রমাণিত) |
10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{RB} + \frac{1}{TC}\)
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 144 10 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/10-2-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{RB} + \frac{1}{TC}\)
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 145 10.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/10.1-1024x576.png)
▲BCR এর |
---|
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD||BR |
⇒ AD = ½BR বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{2}{BR}\) ——–(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 146 10.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/10.2-1024x576.png)
▲BCT এর |
---|
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD||CT |
⇒ AD = ½CT বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{2}{CT}\) ——–(ii) |
(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই, | |
\(\frac{1}{AD} + \frac{1}{AD} = \frac{2}{BR} + \frac{2}{CT}\) | |
বা, \(\frac{2}{AD} = 2(\frac{1}{BR} + \frac{1}{CT})\) | |
বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{BR} + \frac{1}{CT}\) (প্রমাণিত) |
11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB > DC ; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, EF = ½(AB – DC)
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 147 11 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/11-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB > DC ; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 148 11.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/11.1-1024x576.png)
E ও F বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে ( এটা ধরে নিলাম যে, G ও H বিন্দু দুটি আলাদা )
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে EF = ½(AB – DC)
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 149 11.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/11.2-1024x576.png)
▲ABC এর |
---|
E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EG||AB |
⇒ G, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EG = ½AB ——–(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 150 11.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/11.3-1024x576.png)
▲DBC এর |
---|
F, BD বাহুর মধ্যবিন্দু এবং FG||AB||DC |
⇒ G, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং FG = ½DC ——–(ii) |
অতএব, (i) ও (ii) নং থেকে পেলাম
E,F ও G সমরেখ
সুতরাং
EF |
= EG – FG |
= ½AB – ½DC |
= ½(AB – DC) (প্রমাণিত) |
12. AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথক্রমে AR, BS এবং CT ; প্রমাণ করি যে, AR + BS = 2CT
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 151 12 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/12-1-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথক্রমে AR, BS এবং CT
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 152 12.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/12.1-1024x576.png)
A ও T কে যুক্ত করলাম যা বর্ধিত BS কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে, AR + BS = 2CT
প্রমাণঃ-
আমরা জানি যেকোনো বিন্দু থেকে কোনো সরলরেখার উপর ওই বিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব হলো ওই বিন্দু থেকে ওই সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
অতএব, PQ সরলরেখার উপর AR, TC ও BS লম্ব
সুতরাং AR||TC||BS
আবার, C, AB বাহুর মধ্যবিন্দু
অতএব AC = CB
আমরা পেলাম, AR||TC||BS এবং AB ভেদক
যার, AC = CB
অর্থাৎ, AB ভেদক কে AR, CT ও BS তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা সমান ভাগে ভাগ করেছে।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 153 12 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/12-2-1024x576.png)
⇒ RS ভেদক কে AR, CT ও BS তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা সমান ভাগে ভাগ করবে। [ ∵ তিন বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে। ]
অর্থাৎ, RT = TS —— (i)
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 154 12.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/12.2-1024x576.png)
▲ART ও ▲STO এর মধ্যে, |
---|
RT = TS [ (i) নং থেকে পেলাম ] |
∠TSO = একান্তর ∠RAT [ ∵ AR||BO এবং RS একটি ভেদক ] |
∠ATR = বিপ্রতীপ ∠STO |
∴ ▲ART ≅ ▲STO |
⇒ AR = SO [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 155 12.3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/12.3-1024x576.png)
▲ABO এর |
---|
T ও C যথাক্রমে AO ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু |
⇒ CT = ½OB |
বা, CT = ½(OS + SB) |
বা, CT = ½(AR + BS) |
বা, AR + BS = 2CT ( প্রমাণিত) |
13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN ; প্রমাণ করি যে, DL = DM.
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 156 13 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/13-1-1024x576.png)
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে DL = DM
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 157 13.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/13.1-1024x576.png)
প্রমাণঃ-
PQ সরলরেখার উপর BL, DN ও CM লম্ব।
সুতরাং, BL || DN || CM
আবার, D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ BD = DC
অতএব, BL, DN ও CM পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা যা BC ভেদক কে সমান অংশে ভাগ করেছে।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 158 13.1 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/13.1-1-1024x576.png)
⇒ BL, DN ও CM পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা LM কে সমান ভাগে ভাগ করবে। [ ∵ তিন বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে। ]
অতএব, LN = NM ——(i)
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 159 13.2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/13.2-1024x576.png)
▲LDN ও ▲NDM এর মধ্যে, |
---|
LN = NM [ (i) নং থেকে পেলাম ] |
∠LND = ∠DNM = 90° |
ND সাধারণ বাহু |
∴ ▲LDN ≅ ▲NDM |
⇒ DL = DM —-(ii) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] (প্রমাণিত) |
14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। <BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BO-কে P বিন্দুতে এবং BC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OP = ½ CQ
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 160 14](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/14-1024x576.png)
প্রদত্তঃ-
ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। <BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BO-কে P বিন্দুতে এবং BC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 161 14.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/14.i-1-1024x576.png)
P ও O বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যারা AB ও AQ বাহুকে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমান করতে হবে OP = ½ CQ
প্রমাণঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 162 14.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/14.1-1024x576.png)
▲AQC এর |
---|
O, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং OS||CQ |
⇒ OS = ½CQ ——(i) |
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 163 15.i.1 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.i.1-1-1024x576.png)
▲APO ও ▲APR এর মধ্যে, |
---|
∠OAP = ∠PAR [ প্রদত্ত ] |
∠ARP = ∠AOP = 90° |
AP সাধারণ বাহু |
∴ ▲APO ≅ ▲APR |
⇒ ∠APO = ∠APR —-(ii) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ] |
আবার, অঙ্কনানুসারে OS||PR এবং PS ভেদক
⇒ ∠SPR =একান্তর ∠PSO —–(iii)
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 164 14.iii 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/14.iii_-1-1024x576.png)
▲PSO এর |
---|
∠OPS = ∠SPR = ∠PSO [ (ii) ও (iii) নং থেকে পাই ] |
⇒ ▲PSO একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ , যার OS = OP ——-(iv) |
(i) ও (iv) নং থেকে পাই,
OP = OS = ½CQ
(প্রমাণিত)
15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) PQR ত্রিভুজে ZPQR = 90° এবং PR = 10 সেমি. । PR বাহুর মধ্যবিন্দু S হলে, QS-এর দৈর্ঘ্য
উত্তরঃ- (b) 5 সেমি.
সমাধানঃ-
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 165 15.i](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.i-1024x576.png)
S বিন্দু থেকে QR এর উপর ST লম্ব অঙ্কন করলাম।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 166 15.i.1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.i.1-1024x576.png)
▲QTS ও ▲STR এর মধ্যে, |
---|
QT = TR [ ∵ S, PR বাহুর মধ্যবিন্দু এবং ST||PQ] |
∠QTS = ∠STR [ অঙ্কন অনুযায়ী ] |
ST সাধারণ বাহু |
∴ ▲QTS ≅ ▲STR |
⇒ QS = SR [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] ∴ QS = SR = ½PR = ½×10= 5 সেমি. |
(ii) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB = 7 সেমি. ও DC = 5 সেমি । AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F হলে, EF-এর দৈর্ঘ্য
উত্তরঃ- (c) 6 সেমি.
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 167 15.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.ii_-1024x576.png)
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 168 15.ii .1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.ii_.1-1024x576.png)
D ও F যুক্ত করলাম যা বর্ধিত AB কে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 169 15.ii .2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.ii_.2-1024x576.png)
▲DFC ও ▲BFG এর মধ্যে, |
---|
CF = FB [ ∵ F, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ] |
∠FDC = একান্তর ∠BGF [ ∵ DC||BG এবং DG একটি ভেদক ] |
∠DFC = বিপ্রতীপ ∠BFG |
∴ ▲DFC ≅ ▲BFG |
⇒ DF = FG [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] ∴ F, DG বাহুর মধ্যবিন্দু। |
এবং |
⇒ BG = DC [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 170 15.ii .3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.ii_.3-1024x576.png)
▲AGD এর |
---|
E ও F যথাক্রমে AD ও DG বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু । |
⇒ EF = ½AG |
বা, EF = ½(AB + BG) |
বা, Ef = ½(AB + DC) |
বা, EF = ½(7 + 5) = 6 সেমি. |
(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E ; বর্ধিত BE, AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 10.5 সেমি. হলে, AF-এর দৈর্ঘ্য
উত্তরঃ- (d) 3.5 সেমি.
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 171 15.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iii_-1024x576.png)
অঙ্কনঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 172 15.iii .1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iii_.1-1024x576.png)
D বিন্দু থেকে AC এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা BF কে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 173 15.iii .2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iii_.2-1024x576.png)
▲DEG ও ▲AEF এর মধ্যে, |
---|
AE = ED [ ∵ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ] |
∠GDE = একান্তর ∠EAF [ ∵ AF||GD এবং AD একটি ভেদক ] |
∠DEG = বিপ্রতীপ ∠AEF |
∴ ▲DEG ≅ ▲AEF |
⇒ AF = GD [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 174 15.iii .3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iii_.3-1024x576.png)
▲BCF এর |
---|
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং DG||CF |
⇒ GD = ½CF |
∴ AF = GD = ½CF
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 175 15.iii 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iii_-1-1024x576.png)
AF + ½AF = ½CF + ½AF |
বা, \(\frac{3}{2}\)AF = ½(CF + AF) |
বা, 3AF = AC |
বা, AF = \(\frac{AC}{3}\) |
বা, AF = \(\frac{10.5}{3}\) = 3.5 সেমি. |
(iv) ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F; BE ও DF, X বিন্দুতে এবং CF ও DE, Y বিন্দুতে ছেদ করলে, XY-এর দৈর্ঘ্য সমান
উত্তরঃ- (b) ¼BC
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 176 15.iv](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iv_-1024x576.png)
E ও D যথাক্রমে AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ DE||BF এবং DE=½AB=BF
অতএব, BDEF একটি সামান্তরিক।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 177 15.iv .1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iv_.1-1024x576.png)
BDEF সামান্তরিকের BE ও FD দুটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, X, FD বাহুর মধ্যবিন্দু।
আবার,
D ও F যথাক্রমে BC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ DF||AC এবং DF=½AC=CE
অতএব, FDCE একটি সামান্তরিক।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 178 15.iv .2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iv_.2-1024x576.png)
FDCE সামান্তরিকের DE ও CF দুটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, Y, CF বাহুর মধ্যবিন্দু।
এখন,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 179 15.iv .4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.iv_.4-1024x576.png)
▲FDE এর |
---|
X ও Y যথাক্রমে FD ও DE বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু |
⇒ XY = ½FE = ½(½BC) [ ∵ F ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু ] |
⇒ XY = ¼BC |
(v) ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু E; DE এবং বর্ধিত AB, F বিন্দুতে মিলিত হয়। AF-এর দৈর্ঘ্য সমান
উত্তরঃ- (v) 2AB
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 180 15.v](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/15.v-1024x576.png)
▲DEC ও ▲BEF এর মধ্যে, |
---|
BE = EC [ ∵ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ] |
∠EDC = একান্তর ∠BFE [ ∵ AF||CD এবং DF একটি ভেদক ] |
∠DEC = বিপ্রতীপ ∠BEF |
∴ ▲DEC ≅ ▲BEF |
⇒ DC = BF [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
AF |
= AB + BF |
= AB + CD |
= AB + AB |
= 2AB |
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i) ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা এবং BE-এর সমান্তরাল সরলরেখা DE, AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয়। AC বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. হলে, CF বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 181 16.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.i-1-1024x576.png)
▲BCE এর |
---|
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং DE||BE |
⇒ F, EC বাহুর মধ্যবিন্দু |
⇒ CF = FE = ½CE |
⇒ CF = ½CE = ½(½AC) |
⇒ CF = ¼AC = ¼×8 = 2 সেমি। |
(ii) ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R; যদি AC = 21 সেমি., BC = 29 সেমি. এবং AB = 30 সেমি হয়, তাহলে ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 182 16.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.ii_-1024x576.png)
▲ABC -এর P ও R যথাক্রমে BC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ PR = ½AC = AQ
আবার, ▲ABC -এর P ও Q যথাক্রমে BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ PQ = ½AB = AR
∴ ARPQ চতুর্ভুজের পরিসিমা |
---|
= AR + RP + PQ + AQ |
= AR + AQ + AR + AQ |
= 2AR + 2AQ |
= AB + AC |
= 30 + 21 |
= 51 সেমি । |
(iii) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q, X, Y, যথাক্রমে AB, BC, AD এবং DC-এর মধ্যবিন্দু। PX = 5 সেমি হলে, QY-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 183 16.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iii_-1024x576.png)
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 184 16.iii .1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iii_.1-1024x576.png)
অঙ্কনঃ- BD যুক্ত করলাম ।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 185 16.iii .2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iii_.2-1024x576.png)
▲ABD এর |
---|
P ও X যথাক্রমে AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু। |
⇒ PX = ½BD —–(i) |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 186 16.iii .3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iii_.3-1024x576.png)
▲BCD এর |
---|
Q ও Y যথাক্রমে BC ও DC বাহুর মধ্যবিন্দু। |
⇒ QY = ½BD —–(ii) |
(i) ও (ii) থেকে পাই,
QY = ½BD = PX = 5সেমি।
(iv) ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে। P এবং Q যথাক্রমে BG এবং CG-এর মধ্যবিন্দু। PQ = 3 সেমি. হলে, BC -এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 187 16.ivm 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.ivm_-1-1024x576.png)
▲GBC এর |
---|
P ও Q যথাক্রমে GB ও GC বাহুর মধ্যবিন্দু। |
⇒ PQ = ½BC বা, ½BC = PQ বা, BC = 2PQ বা, BC = 2×3 = 6 সেমি। |
(v) ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F ; FE, AD -কে O বিন্দুতে ছেদ করে। AD = 6 সেমি. হলে, AO-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 188 16.iv 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iv_-1-1024x576.png)
▲ABC এর |
---|
F ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। |
⇒ FE || BC |
আবার,
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 189 16.iv .1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/06/16.iv_.1-1024x576.png)
▲ADC এর |
---|
E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং OE || DC |
⇒ O, AD বাহুর মধ্যবিন্দু । |
সুতরাং,
AO = OD = ½AD = ½×6 = 3 সেমি।
WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান- | |
---|---|
অধ্যায় | সমাধান |
1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) | কষে দেখি 1.1 |
কষে দেখি 1.2 | |
কষে দেখি 1.3 | |
2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices) | কষে দেখি 2 |
3. লেখচিত্র (Graph) | কষে দেখি 3.1 |
কষে দেখি 3.2 | |
4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 |
5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations) | কষে দেখি 5.1 |
কষে দেখি 5.2 | |
কষে দেখি 5.3 | |
কষে দেখি 5.4 | |
কষে দেখি 5.5 | |
কষে দেখি 5.6 | |
কষে দেখি 5.7 | |
6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram) | কষে দেখি 6 |
7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial) | কষে দেখি 7.1 |
কষে দেখি 7.2 | |
কষে দেখি 7.3 | |
কষে দেখি 7.4 | |
8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation) | কষে দেখি 8.1 |
কষে দেখি 8.2 | |
কষে দেখি 8.3 | |
কষে দেখি 8.4 | |
কষে দেখি 8.5 | |
9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem). | কষে দেখি 9 |
10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss) | কষে দেখি 10.1 |
কষে দেখি 10.2 | |
11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics) | কষে দেখি 11.1 |
কষে দেখি 11.2 | |
12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area) | কষে দেখি 12 |
13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন | কষে দেখি 13 |
14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন | কষে দেখি 14 |
15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral) | কষে দেখি 15.1 |
কষে দেখি 15.2 | |
কষে দেখি 15.3 | |
16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle) | কষে দেখি 16 |
17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence) | কষে দেখি 17 |
18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle) | কষে দেখি 18 |
19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment) | কষে দেখি 19 |
20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region) | কষে দেখি 20 |
21. লগারিদম (Logarithm) | কষে দেখি 21 |
Request For Share |
---|
সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together…………. ![]() [Sassy_Social_Share] |
এই কষে দেখি 9 Class 9|Koshe Dekhi 9 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
![কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE. 191 share](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/03/end-1024x576.png)
এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে| Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী| Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।