কষে দেখি 9 Class 9 । ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 Class 9 WBBSE.

শ্রেণী-নবম ; অধ্যায় – ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য ; কষে দেখি 9

---

কষে দেখি 9 Class 9 এর সুচিপত্রঃ-

কষে দেখি 9 Class 9 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ

এই কষে দেখি 9 পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE বোর্ডের অন্তর্গত তোমাদের নবম|Class 9 এর গণিতপ্রকাশ বই এর নয় নম্বর অধ্যায়। এই Koshe Dekhi 9 Class 9 এ যে সমস্ত অংক গুলি আছে সেগুলি সবই উপপাদ্য প্রমাণের অংক।

এই কষে দেখি 9 | Koshe Dekhi 9 এর অংক গুলি করতে যে যে উপপাদ্য গুলি লাগবে তা হলো-

উপপাদ্য 20
কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক ।

উপপাদ্য 21
কোনো ত্রিভুজের যে কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খণ্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে।

উপপাদ্য 22
যদি তিনটি বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে।

---

আগামিতে এই কষে দেখি 9 Class 9 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?

আগামিতে আবার এই কষে দেওয়া অংকের প্রয়োজন হলে কি করবে?
কষে দেখি 9 Class 9 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 9 Class 9 তারপর এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।

কষে দেখি 9 Class 9 এর Youtube ভিডিও-

যাদের লিখা বুঝতে অসুবিধা হচ্ছে তারা আমার এই ভিডিও দেখে বুঝে নিতে পারবে-

Part 1

Part 2

Part 3

---

কষে দেখি 9| Koshe Dekhi 9

সমাধানঃ-

1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, EF = ½BC

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EF = ½BC

প্রমাণঃ-

▲ABC এর
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ও DE ||AC এবং D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ও DF ||AB
⇒ F ও E যথাক্রমে AC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু ⇒ EF = ½BC (প্রমাণিত)

---

2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = ¼AB এবং AE =¼AC; প্রমাণ করি যে, DE || BC এবং DE = ¼BC

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = ¼AB এবং AE =¼AC

অঙ্কনঃ-

AB বাহুর মধ্যবিন্দু F এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু G যোগ করলাম।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে DE || BC এবং DE = ¼BC

প্রমাণঃ-

▲ABC এর
F ও G যথাক্রমে AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ FG||BC FG = ½BC ———(i)

আবার,

▲AFG এর
D ও E যথাক্রমে AF ও AG বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু [ AD = ¼AB = ½AG এবং AE = ¼AC = ½AG ]
⇒ DE||FG DE = ½FG ———(ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

DE||FG||BC ⇒ DE||BC

এবং

DE = ½FG = ½(½BC) = ¼BC

(প্রমাণিত)

---

3. X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে PS = ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PY = ¼PR

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে PS = ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কনঃ-

ZX যুক্ত করলাম ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে PY = ¼PR

প্রমাণঃ-

▲PQR এর
Z ও X যথাক্রমে PQ ও RQ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒PR||ZX ZX = ½PR ———(i)

আবার,

▲SZX এর
P, SZ বাহুর মধ্যবিন্দু এবং PY||ZX
⇒ PY = ½ZX বা, PY = ½(½PR) বা, PY = ¼PR (প্রমাণিত)

---

---

4. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়,সেটি একটি সামান্তরিক।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।

অঙ্কনঃ-

BD যুক্ত করলাম ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি সামান্তরিক।

প্রমাণঃ-

▲BDC এর
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i)

আবার,

▲ABD এর
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

EFGH চতুর্ভুজের,

EH=GF এবং EH||GF

অতএব, EFGH একটি সামান্তরিক।

---

5. প্রমাণ করি যে, একটি আয়তাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যেবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি রম্বস, কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয়।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।

অঙ্কনঃ-

BD যুক্ত করলাম ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয় ।

প্রমাণঃ-

▲BDC এর
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i)

আবার,

▲ABD এর
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

EH=GF=½BD —-(iii)

একই ভাবে

▲ADC ও ▲ ABC থেকে পাই,
EF=HG = ½AC ——(iv)

কিন্তু AC = BD

[ কারণ ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ পরস্পর সমান ]

(iii) ও (iv) থেকে পাই,

EH=GF=HG=EF ——(v)

▲AEH এর

AE > AH

⇒ ∠AEH < ∠AHE

আবার, ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, ∠AEH + ∠AHE = 180° – 90° বা, ∠AEH + ∠AHE = 90° ⇒ ∠AHE > 45° ————( vi )

আবার,

▲HDG এর

HD < DG

⇒ ∠DHG > ∠DGH

∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠DGH + ∠DHG = 180° – 90° বা, ∠DGH + ∠DHG = 90° ⇒ ∠DHG > 45° ————( vii )

AD সরলরেখা থেকে পাই,

∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180°

বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) ——–(viii)

(vi) ও (vii) নং থেকে পাই,

∠AEH + ∠DHG > 45° + 45°

বা, ∠AEH + ∠DHG > 90°

বা, -(∠AEH + ∠DHG) < -90°

বা, 180° – (∠AEH + ∠DHG) < 180° – 90°

বা, ∠EHG < 90° [ ∵ ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG) ]

অতএব EFGH একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয় ।

---

6. প্রমাণ করি যে, একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি বর্গাকার চিত্র।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।

অঙ্কনঃ-

BD যুক্ত করলাম ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি বর্গক্ষেত্র ।

প্রমাণঃ-

▲BDC এর
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i)

আবার,

▲ABD এর
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

EH=GF=½BD —-(iii)

একই ভাবে

▲ADC ও ▲ ABC থেকে পাই,
EF=HG = ½AC ——(iv)

কিন্তু AC = BD

[ কারণ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ পরস্পর সমান ]

(iii) ও (iv) থেকে পাই,

EH=GF=HG=EF ——(v)

▲AEH এর

AE = AH

⇒ ∠AEH = ∠AHE

∴ ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, 2∠AHE = 180° – 90° বা, ∠AHE = 45° ————( vi )

এবং

▲HDG এর

HD = DG

⇒ ∠DHG = ∠DGH

∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠HDG + 2∠DHG = 180° বা, ∠DHG = 45° ————( vii )

এখন,

AD সরলরেখা থেকে পাই,

∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180°

বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG)

বা, ∠EHG = 180° – 90° = 90°

আমরা পেলাম, EFGH একটি সমবাহু চতুর্ভুজ যার একটি কোণ সমকোণ ।

অতএব EFGH একটি বর্গক্ষেত্র। ( প্রমাণিত )

---

7. প্রমাণ করি যে, একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি আয়তাকার চিত্র।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যথা E,F,G ও H পরপর যুক্ত করে একটি চতুর্ভুজ EFGH গঠিত হয়েছে।

অঙ্কনঃ-

BD যুক্ত করলাম ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EFGH একটি আয়তক্ষেত্র ।

প্রমাণঃ-

▲BDC এর
F ও G যথাক্রমে CB ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ GF||BD GF = ½BD ———(i)

আবার,

▲ABD এর
E ও H যথাক্রমে AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ EH||BD EH = ½BD ———(ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

EFGH চতুর্ভুজের,

EH=GF এবং EH||GF

অতএব, EFGH একটি সামান্তরিক।

এখন,

▲AEH এর

AE = AH

⇒ ∠AEH = ∠AHE

∴ ∠AEH + ∠AHE + ∠HAE = 180° বা, ∠HAE + 2∠AHE = 180° ————( i )

আবার,

▲HDG এর

HD = DG

⇒ ∠DGH = ∠DHG

∴ ∠DGH + ∠DHG + ∠HDG = 180° বা, ∠HDG + 2∠DHG = 180° ————( ii )

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

∠HAE + 2∠AHE + ∠HDG + 2∠DHG = 180°+180°

বা, 2(∠AHE + ∠DHG)= 360° – 90° [ ∵ AB||CD ]

বা, ∠AHE + ∠DHG = 90° ———–( iii )

AD সরলরেখা থেকে পাই,

∠EHG + ∠AHE + ∠DHG = 180°

বা, ∠EHG = 180° – (∠AHE + ∠DHG)

বা, ∠EHG = 180° – 90° = 90°

আমরা পেলাম, EFGH একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ সমকোণ ।

অতএব EFGH একটি আয়তক্ষেত্র। ( প্রমাণিত )

---

8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD -এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD -এর মধ্যবিন্দু।

অঙ্কনঃ-

P,E যুক্ত করলাম।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণঃ-

▲ADC এর
P ও E যথাক্রমে CD ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ EP||AB EP = ½AD বা, EP = ½DB [ D, AB এর মধ্যবিন্দু ] বা, EP = QB [ Q, DB এর মধ্যবিন্দু ] ———(i)

এখন,

▲EOP ও ▲QOB এর মধ্যে,
EP = QB [ (i) নং থেকে পেলাম ]
∠PEO = একান্তর ∠QBO [ ∵ EP||AB এবং EB একটি ভেদক ]
∠POE = বিপ্রতীপ ∠QOB
∴ ▲EOP ≅ ▲QOB
⇒ EO = OB [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] এবং OP = OQ [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] (প্রমাণিত)

---

9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হলো যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AE = EC

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হলো যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কনঃ-

AD বাহুকে বর্ধিত করলাম যা BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে AE = EC

প্রমাণঃ-

▲ADB ও ▲BDF এর মধ্যে,
∠ABD = ∠DBF [ প্রদত্ত ]
∠ADB = ∠BDF = 90°
BD সাধারণ বাহু
∴ ▲ADB ≅ ▲BDF
⇒ AD = DF —-(i) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

এখন,

▲AFC এর
D, AF বাহুর মধ্যবিন্দু [ (i) নং থেকে পেয়েছি ] এবং DE||CF
⇒ E, AC এর মধ্যবিন্দু। বা, AE=EC (প্রমাণিত)

---

10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{RB} + \frac{1}{TC}\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{RB} + \frac{1}{TC}\)

প্রমাণঃ-

▲BCR এর
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD||BR
⇒ AD = ½BR বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{2}{BR}\) ——–(i)

আবার,

▲BCT এর
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD||CT
⇒ AD = ½CT বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{2}{CT}\) ——–(ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

\(\frac{1}{AD} + \frac{1}{AD} = \frac{2}{BR} + \frac{2}{CT}\)

বা, \(\frac{2}{AD} = 2(\frac{1}{BR} + \frac{1}{CT})\)

বা, \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{BR} + \frac{1}{CT}\) (প্রমাণিত)

---

11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB > DC ; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করি যে, EF = ½(AB – DC)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB > DC ; E এবং F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু।

অঙ্কনঃ-

E ও F বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে ( এটা ধরে নিলাম যে, G ও H বিন্দু দুটি আলাদা )

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে EF = ½(AB – DC)

প্রমাণঃ-

▲ABC এর
E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EG||AB
⇒ G, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EG = ½AB ——–(i)

আবার,

▲DBC এর
F, BD বাহুর মধ্যবিন্দু এবং FG||AB||DC
⇒ G, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং FG = ½DC ——–(ii)

অতএব, (i) ও (ii) নং থেকে পেলাম

E,F ও G সমরেখ

সুতরাং

EF

= EG – FG

= ½AB – ½DC

= ½(AB – DC) (প্রমাণিত)

---

---

12. AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথক্রমে AR, BS এবং CT ; প্রমাণ করি যে, AR + BS = 2CT

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথক্রমে AR, BS এবং CT

অঙ্কনঃ-

A ও T কে যুক্ত করলাম যা বর্ধিত BS কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে, AR + BS = 2CT

প্রমাণঃ-

আমরা জানি যেকোনো বিন্দু থেকে কোনো সরলরেখার উপর ওই বিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব হলো ওই বিন্দু থেকে ওই সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।

অতএব, PQ সরলরেখার উপর AR, TC ও BS লম্ব

সুতরাং AR||TC||BS

আবার, C, AB বাহুর মধ্যবিন্দু

অতএব AC = CB

আমরা পেলাম, AR||TC||BS এবং AB ভেদক

যার, AC = CB

অর্থাৎ, AB ভেদক কে AR, CT ও BS তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা সমান ভাগে ভাগ করেছে।

⇒ RS ভেদক কে AR, CT ও BS তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা সমান ভাগে ভাগ করবে। [ ∵ তিন বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে। ]

অর্থাৎ, RT = TS —— (i)

এখন,

▲ART ও ▲STO এর মধ্যে,
RT = TS [ (i) নং থেকে পেলাম ]
∠TSO = একান্তর ∠RAT [ ∵ AR||BO এবং RS একটি ভেদক ]
∠ATR = বিপ্রতীপ ∠STO
∴ ▲ART ≅ ▲STO
⇒ AR = SO [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

আবার,

▲ABO এর
T ও C যথাক্রমে AO ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু
⇒ CT = ½OB
বা, CT = ½(OS + SB)
বা, CT = ½(AR + BS)
বা, AR + BS = 2CT ( প্রমাণিত)

---

13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN ; প্রমাণ করি যে, DL = DM.

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে DL = DM

প্রমাণঃ-

PQ সরলরেখার উপর BL, DN ও CM লম্ব।

সুতরাং, BL || DN || CM

আবার, D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।

⇒ BD = DC

অতএব, BL, DN ও CM পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা যা BC ভেদক কে সমান অংশে ভাগ করেছে।

⇒ BL, DN ও CM পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা LM কে সমান ভাগে ভাগ করবে। [ ∵ তিন বা তার বেশী সমান্তরাল সরলরেখা যেকোনো ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তাহলে তারা অপর যেকোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে। ]

অতএব, LN = NM ——(i)

▲LDN ও ▲NDM এর মধ্যে,
LN = NM [ (i) নং থেকে পেলাম ]
∠LND = ∠DNM = 90°
ND সাধারণ বাহু
∴ ▲LDN ≅ ▲NDM
⇒ DL = DM —-(ii) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] (প্রমাণিত)

---

14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। <BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BO-কে P বিন্দুতে এবং BC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OP = ½ CQ

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ-

ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। <BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BO-কে P বিন্দুতে এবং BC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কনঃ-

P ও O বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যারা AB ও AQ বাহুকে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমান করতে হবে OP = ½ CQ

প্রমাণঃ-

▲AQC এর
O, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং OS||CQ
⇒ OS = ½CQ ——(i)

▲APO ও ▲APR এর মধ্যে,
∠OAP = ∠PAR [ প্রদত্ত ]
∠ARP = ∠AOP = 90°
AP সাধারণ বাহু
∴ ▲APO ≅ ▲APR
⇒ ∠APO = ∠APR —-(ii) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ]

আবার, অঙ্কনানুসারে OS||PR এবং PS ভেদক

⇒ ∠SPR =একান্তর ∠PSO —–(iii)

▲PSO এর
∠OPS = ∠SPR = ∠PSO [ (ii) ও (iii) নং থেকে পাই ]
⇒ ▲PSO একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ , যার OS = OP ——-(iv)

(i) ও (iv) নং থেকে পাই,

OP = OS = ½CQ

(প্রমাণিত)

---

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

সমাধানঃ-

অঙ্কনঃ-

S বিন্দু থেকে QR এর উপর ST লম্ব অঙ্কন করলাম।

▲QTS ও ▲STR এর মধ্যে,
QT = TR [ ∵ S, PR বাহুর মধ্যবিন্দু এবং ST||PQ]
∠QTS = ∠STR [ অঙ্কন অনুযায়ী ]
ST সাধারণ বাহু
∴ ▲QTS ≅ ▲STR
⇒ QS = SR [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] ∴ QS = SR = ½PR = ½×10= 5 সেমি.

---

সমাধানঃ-

অঙ্কনঃ-

D ও F যুক্ত করলাম যা বর্ধিত AB কে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

এখন,

▲DFC ও ▲BFG এর মধ্যে,
CF = FB [ ∵ F, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ]
∠FDC = একান্তর ∠BGF [ ∵ DC||BG এবং DG একটি ভেদক ]
∠DFC = বিপ্রতীপ ∠BFG
∴ ▲DFC ≅ ▲BFG
⇒ DF = FG [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] ∴ F, DG বাহুর মধ্যবিন্দু।
এবং
⇒ BG = DC [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

▲AGD এর
E ও F যথাক্রমে AD ও DG বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু ।
⇒ EF = ½AG
বা, EF = ½(AB + BG)
বা, Ef = ½(AB + DC)
বা, EF = ½(7 + 5) = 6 সেমি.

---

সমাধানঃ-

অঙ্কনঃ-

D বিন্দু থেকে AC এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা BF কে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

এখন,

▲DEG ও ▲AEF এর মধ্যে,
AE = ED [ ∵ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ]
∠GDE = একান্তর ∠EAF [ ∵ AF||GD এবং AD একটি ভেদক ]
∠DEG = বিপ্রতীপ ∠AEF
∴ ▲DEG ≅ ▲AEF
⇒ AF = GD [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

আবার,

▲BCF এর
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং DG||CF
⇒ GD = ½CF

∴ AF = GD = ½CF

AF + ½AF = ½CF + ½AF

বা, \(\frac{3}{2}\)AF = ½(CF + AF)

বা, 3AF = AC

বা, AF = \(\frac{AC}{3}\)

বা, AF = \(\frac{10.5}{3}\) = 3.5 সেমি.

---

সমাধানঃ-

E ও D যথাক্রমে AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু।

⇒ DE||BF এবং DE=½AB=BF

অতএব, BDEF একটি সামান্তরিক।

BDEF সামান্তরিকের BE ও FD দুটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, X, FD বাহুর মধ্যবিন্দু।

আবার,

D ও F যথাক্রমে BC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু।

⇒ DF||AC এবং DF=½AC=CE

অতএব, FDCE একটি সামান্তরিক।

FDCE সামান্তরিকের DE ও CF দুটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, Y, CF বাহুর মধ্যবিন্দু।

এখন,

▲FDE এর
X ও Y যথাক্রমে FD ও DE বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু
⇒ XY = ½FE = ½(½BC) [ ∵ F ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু ]
⇒ XY = ¼BC

---

সমাধানঃ-

▲DEC ও ▲BEF এর মধ্যে,
BE = EC [ ∵ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু ]
∠EDC = একান্তর ∠BFE [ ∵ AF||CD এবং DF একটি ভেদক ]
∠DEC = বিপ্রতীপ ∠BEF
∴ ▲DEC ≅ ▲BEF
⇒ DC = BF [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

AF

= AB + BF

= AB + CD

= AB + AB

= 2AB

---

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ

(i) ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা এবং BE-এর সমান্তরাল সরলরেখা DE, AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয়। AC বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. হলে, CF বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ-

▲BCE এর
D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং DE||BE
⇒ F, EC বাহুর মধ্যবিন্দু
⇒ CF = FE = ½CE
⇒ CF = ½CE = ½(½AC)
⇒ CF = ¼AC = ¼×8 = 2 সেমি।

---

(ii) ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R; যদি AC = 21 সেমি., BC = 29 সেমি. এবং AB = 30 সেমি হয়, তাহলে ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি।

সমাধানঃ-

▲ABC -এর P ও R যথাক্রমে BC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু।

⇒ PR = ½AC = AQ

আবার, ▲ABC -এর P ও Q যথাক্রমে BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।

⇒ PQ = ½AB = AR

∴ ARPQ চতুর্ভুজের পরিসিমা
= AR + RP + PQ + AQ
= AR + AQ + AR + AQ
= 2AR + 2AQ
= AB + AC
= 30 + 21
= 51 সেমি ।

---

(iii) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q, X, Y, যথাক্রমে AB, BC, AD এবং DC-এর মধ্যবিন্দু। PX = 5 সেমি হলে, QY-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ-

অঙ্কনঃ- BD যুক্ত করলাম ।

▲ABD এর
P ও X যথাক্রমে AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ PX = ½BD —–(i)

আবার,

▲BCD এর
Q ও Y যথাক্রমে BC ও DC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ QY = ½BD —–(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

QY = ½BD = PX = 5সেমি।

---

(iv) ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে। P এবং Q যথাক্রমে BG এবং CG-এর মধ্যবিন্দু। PQ = 3 সেমি. হলে, BC -এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ-

▲GBC এর
P ও Q যথাক্রমে GB ও GC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ PQ = ½BC বা, ½BC = PQ বা, BC = 2PQ বা, BC = 2×3 = 6 সেমি।

---

(v) ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F ; FE, AD -কে O বিন্দুতে ছেদ করে। AD = 6 সেমি. হলে, AO-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ-

▲ABC এর
F ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
⇒ FE || BC

আবার,

▲ADC এর
E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং OE || DC
⇒ O, AD বাহুর মধ্যবিন্দু ।

সুতরাং,

AO = OD = ½AD = ½×6 = 3 সেমি।

---

WB Class 9 এর গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের সমাধান-
অধ্যায়	সমাধান
1. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)	কষে দেখি 1.1
	কষে দেখি 1.2
	কষে দেখি 1.3
2. সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Indices)	কষে দেখি 2
3. লেখচিত্র (Graph)	কষে দেখি 3.1
	কষে দেখি 3.2
4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry: Distance Formula)	কষে দেখি 4
5. রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) (Linear Simultaneous Equations)	কষে দেখি 5.1
	কষে দেখি 5.2
	কষে দেখি 5.3
	কষে দেখি 5.4
	কষে দেখি 5.5
	কষে দেখি 5.6
	কষে দেখি 5.7
6. সামান্তরিকের ধর্ম (Properties of Parallelogram)	কষে দেখি 6
7. বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial)	কষে দেখি 7.1
	কষে দেখি 7.2
	কষে দেখি 7.3
	কষে দেখি 7.4
8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation)	কষে দেখি 8.1
	কষে দেখি 8.2
	কষে দেখি 8.3
	কষে দেখি 8.4
	কষে দেখি 8.5
9. ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal & Mid-Point Theorem).	কষে দেখি 9
10. লাভ ও ক্ষতি (Profit and Loss)	কষে দেখি 10.1
	কষে দেখি 10.2
11. রাশিবিজ্ঞান (Statistics)	কষে দেখি 11.1
	কষে দেখি 11.2
12. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area)	কষে দেখি 12
13. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন	কষে দেখি 13
14. সম্পাদ্য : চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন	কষে দেখি 14
15. ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (Area & Perimeter of Triangle & Quadrilateral)	কষে দেখি 15.1
	কষে দেখি 15.2
	কষে দেখি 15.3
16. বৃত্তের পরিধি (Circumference of Circle)	কষে দেখি 16
17. সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on concurrence)	কষে দেখি 17
18. বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle)	কষে দেখি 18
19. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃবিভক্ত (Co-ordinate Geometry: Internal and External Division of Straight-Line Segment)	কষে দেখি 19
20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Co-ordinate Geometry: Area of Triangular Region)	কষে দেখি 20
21. লগারিদম (Logarithm)	কষে দেখি 21

Request For Share
সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together…………. [Sassy_Social_Share]

---

এই কষে দেখি 9 Class 9|Koshe Dekhi 9 Class 9 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।

---

এখানে তোমরা তোমাদের নবম শ্রেণীতে| Class 9 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের নবম শ্রেণী| Class 9 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।

---