শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য ; কষে দেখি 7.2
কষে দেখি 7.2 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 7.2 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 7.2 , পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর সাত নম্বর অধ্যায়|Chapter 7 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | Theorems Related to Angles In a Circle এর দ্বিতীয় অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 7.2 Class 10 এর অংকগুলি করার জন্যে যে উপপাদ্যটি তোমাদের জানতে হবে সেটি হল-
কষে দেখি 7.2 Class 10 এর অংকের জন্যে উপপাদ্য 35
উপপাদ্য 35:
একই বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান।
কষে দেখি 7.2 Class 10 এর অংকের জন্যে উপপাদ্য 36
উপপাদ্য 36:
দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন করলে ওই চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ হবে।
আগামিতে এই কষে দেখি 7.2 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
কষে দেখি 7.2 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 7.2 Class 10 তারপর ![]() ![]() |
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 80 কষে দেখি 7.2 Class 10](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/কষে-দেখি-7.2-Class-10-1024x576.png)
কষে দেখি 7.2 Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10
1. পাশের ছবিতে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 81 image 22](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-22.png)
∠DBA = 40°, ∠BAC = 60° এবং ∠CAD=20; ∠DCA ও ∠BCA-এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 82 দেওয়া আছে প্রশ্ন 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/দেওয়া-আছে-প্রশ্ন-1-1024x576.png)
∠DBA = ∠DCA = 40° [∵ একই বৃত্তাংশস্থ]—–(i)
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 83 DBADCA](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/DBADCA-1024x576.png)
আবার,
∠BAC = ∠BDC = 60° [∵ একই বৃত্তাংশস্থ]—–(ii)
আবার,
∠DBC = ∠CAD = 20° [∵ একই বৃত্তাংশস্থ]—–(iii)
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 84 BACBDC](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/BACBDC-1024x576.png)
এখন ▲ABC এর,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 85 ▲ABC](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/▲ABC-1024x576.png)
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° |
বা, ∠BAC + ∠ABD + ∠DBC + ∠BCA = 180° [(i), (ii) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
বা, 60° + 40° + 20° + ∠BCA = 180° |
বা, ∠BCA = 60° |
অতএব,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 86 BADDCB](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/BADDCB-1024x576.png)
∠BAD + ∠DCB |
= ∠BCA + ∠CAD + ∠DCA + ∠BCA |
= 60° + 20° + 40° + 60° |
= 180° |
2. পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 87 image 23](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-23.png)
AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB-এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 88 BC](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/BC-1024x576.png)
B,C যুক্ত করলাম।
BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ।
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 89 2.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/2.ii_-1024x576.png)
⇒ ∠BOC = 2∠BAC
বা, ∠BAC = \(\frac{1}{2}\)∠BOC
বা, ∠BAC = \(\frac{1}{2}\)×90°
বা, ∠BAC = 45°
এখন,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 90 2.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/2.iii_-1024x576.png)
▲AOC ও ▲BOC এর মধ্যে, | |
∠AOC = ∠BOC | |
OA = OB (বৃত্তের ব্যাসার্ধ) | |
OC সাধারণ বাহু | |
⇒ ▲AOC ≅ ▲BOC | |
⇒ ∠OAC = ∠OBC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ] | |
∴ ∠OBC = 45° |
আবার,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 91 2.iv](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/2.iv_-1024x576.png)
∠APC = ∠ABC (একই বৃত্তাংশস্থ)
⇒ ∠APC = 45°
সুতরাং,
- ∠BAC = 45°
- ∠APC = 45°
3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে ▲ABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 92 3 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3-2-1024x576.png)
ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে ▲ABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
OD = DG
অঙ্কনঃ
বর্ধিত BO, AC বাহুকে E বিন্দুতে এবং বর্ধিত CO, AB বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 93 3.i](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3.i-1024x576.png)
B,G এবং C,G যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
চতুর্ভুজ OECD এর,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 94 3.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3.ii_-1024x576.png)
∠DOE + ∠OEC + ∠ECD + ∠ODC = 360° |
বা, ∠DOE + 90° + ∠ECD + 90° = 360° |
বা, ∠DOE + ∠ECD = 180° ——(i) |
আবার,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 95 3.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3.iii_-1024x576.png)
∠BOD + ∠DOE = 180° —–(ii)
(i) ও (ii) সমান করে পাই,
∠DOE + ∠ECD = ∠BOD + ∠DOE
বা, ∠ECD = ∠BOD
বা, ∠ACB = ∠BOD ——-(iii)
এখন
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 96 3.iv](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3.iv_-1024x576.png)
∠BGA = ∠ACB (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(iv)
(iii) ও (iv) নং থেকে পাই,
∠BOD = ∠BGA = ∠BGO ——-(v)
এখন
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 97 3.v](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/3.v-1024x576.png)
▲BOD ও ▲BDG এর মধ্যে, | |
∠BDO = ∠BDG | |
∠BOD = ∠BGO [(v) নং থেকে পাই] | |
BD সাধারণ বাহু | |
⇒ ▲AOC ≅ ▲BOC | |
⇒ OD = DG [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
4. ▲ABC-এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 98 4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/4-1024x576.png)
▲ABC-এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
PB = PC = PI
অঙ্কনঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 99 4.i](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/4.i-1024x576.png)
B,P ও C,P যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
▲ABC-এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I
অর্থাৎ,
IB, ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক | ⇒ ∠ABI = ∠IBC |
IA, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক | ⇒ ∠BAP = ∠\(\frac{1}{2}\)∠BAC = ∠PAC |
আবার,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 100 4.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/4.iii_-1024x576.png)
∠PBC = ∠PAC (একই বৃত্তাংশস্থ)
এখন,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 101 4.iv](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/4.iv_-1024x576.png)
∠BIP, ▲ABI এর বহিঃস্থ কোণ
অতএব,
∠BIP |
= ∠BAP + ∠IBA |
= ∠PAC + ∠IBC |
= ∠PBC + ∠IBC |
= ∠PBI |
সুতরাং, PB = PI
একইরকমভাবে ▲IPC থেকে পাই,
PI = PC
⇒ PB = PI = PC
5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে ∠AQC = ∠BQD
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 102 5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে ∠AQC = ∠BQD](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/5-1-1024x576.png)
দুটি বৃত্ত যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠AQC = ∠BQD
অঙ্কনঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 103 5.i](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/5.i-1024x576.png)
B,Q; A,Q; D,Q; C,Q যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 104 5.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/5.ii_-1024x576.png)
∠PCQ = ∠PDQ (একই বৃত্তাংশস্থ) ——(i) |
∠PBQ = ∠PAQ (একই বৃত্তাংশস্থ) —–(ii) |
আবার,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 105 5.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/5.i-1-1024x576.png)
▲AQC এর | ∠PAQ+∠PCQ+∠AQC=180° ——–(iii) |
▲BQD এর | ∠PBQ+∠BQD+∠BDQ=180° ———–(iv) |
(iii) ও (iv) সমান করে পাই,
∠PAQ+∠PCQ+∠AQC=∠PBQ+∠BQD+∠BDQ |
বা, ∠PBQ + ∠PDQ + ∠AQC = ∠PBQ + ∠BQD + ∠BDQ [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
বা, ∠AQC = ∠BQD |
6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC-এর মধ্যবিন্দু।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 106 6 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/6-1-1024x576.png)
একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবং ধরি, P বিন্দু থেকে AD এর উপর লম্ব AD বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
E, BC-এর মধ্যবিন্দু।
অঙ্কনঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 107 6.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/6.i-1-1024x576.png)
A,C ও B,D যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
∠APE, ▲APF এর বহিঃস্থ কোণ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 108 6.ii 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/6.ii_-1-1024x576.png)
সুতরাং,
∠APE = ∠PAF + ∠AFP |
বা, ∠APC + ∠CPE = ∠PAF + ∠AFP |
বা, 90° + ∠CPE = ∠PAF + 90° |
বা, ∠CPE = ∠PAF = ∠PAD |
আবার,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 109 6.i 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/6.i-2-1024x576.png)
∠CPE = ∠BAD = ∠BCD (একই বৃত্তাংশস্থ)
⇒ ∠CPE = ∠BCP
⇒ CE = PE
একইরকমভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারবো, ∠BPE = ∠PBC ⇒ BE = PE
সুতরাং, CE = PE = BE
E, BC-এর মধ্যবিন্দু।
7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে AC = BD হবে।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 110 7 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/7-1-1024x576.png)
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 111 7.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/7.i-1-1024x576.png)
AC = BD
প্রমাণঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 112 7.i 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/7.i-2-1024x576.png)
▲ABC ও ▲BCD এর মধ্যে, | |
AB = DC (প্রদত্ত) | |
∠BAC = ∠BDC (একই বৃত্তাংশস্থ) | |
BC সাধারণ বাহু | |
⇒ ▲ABC ≅ ▲BCD | |
⇒ AC = BD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 113 8 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/8-1-1024x576.png)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 114 8.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/8.i-1-1024x576.png)
CP = PQ
অঙ্কনঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 115 8.ii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/8.ii_-1024x576.png)
O,C; O,Q; O,P; C,Q যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 116 8.iii](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/8.iii_-1024x576.png)
∠OAP = ∠OCP (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(i)
এখন ▲OCQ এর OC = OQ
⇒ ∠OQA = ∠OAP
⇒ ∠OQA = ∠OCP[(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] ——-(ii)
এখন ▲OQC এর OC = OQ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 117 8.ii 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/8.ii_-1-1024x576.png)
⇒ ∠OQC = ∠OCQ
বা, ∠OQP + ∠PQC = ∠OCP + ∠PCQ
বা, ∠OCP + ∠PQC = ∠OCP + ∠PCQ
বা, ∠PQC = ∠PCQ
⇒ CP = PQ
9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ZACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 118 9 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/9-1-1024x576.png)
একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ZACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
AX, YZ-এর উপর লম্ব
অঙ্কনঃ
X,Y যুক্ত করলাম।
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 119 9.i 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/9.i-1-1024x576.png)
AX এবং YZ পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ
CZ, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক | ∠ZCB = \(\frac{1}{2}\)∠ACB ———–(i) |
BY, ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক | ∠ABY = \(\frac{1}{2}\)∠ABC ———-(ii) |
AX, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক | ∠BAX = \(\frac{1}{2}\)∠BAC ———-(iii) |
এখন,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 120 9.i 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/9.i-2-1024x576.png)
(iv) | ∠ZYB = ∠ZCB (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠ZYB = \(\frac{1}{2}\)∠ACB [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
(v) | ∠AXY = ∠ABY (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠PXY = \(\frac{1}{2}\)∠ABC [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
(vi) | ∠BYX = ∠BAC (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠BYX = \(\frac{1}{2}\)∠BAC [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
আবার, ∠APY, ▲PXY এর বহিঃস্থ কোণ
সুতরাং
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 121 9.i 3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/9.i-3-1024x576.png)
∠APY |
= ∠PXY + ∠PYX |
= ∠PXY + ∠PYB + ∠BYX |
= \(\frac{1}{2}\)∠ABC + \(\frac{1}{2}\)∠ACB + \(\frac{1}{2}\)∠BAC |
= \(\frac{1}{2}\)(∠ABC + ∠ACB + ∠BAC) |
= \(\frac{1}{2}\)×180° |
= 90° |
10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি ▲XYZ -এর, ∠YXZ = 90° – \(\frac{\angle BAC}{2}\)
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 122 9 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/9-2-1024x576.png)
একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
▲XYZ -এর,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 123 10.i 3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/10.i-3-1024x576.png)
∠YXZ = 90° – \(\frac{\angle BAC}{2}\)
অঙ্কনঃ
প্রমাণঃ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 124 10.i 4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/10.i-4-1024x576.png)
CZ, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক | ∠ACZ = \(\frac{1}{2}\)∠ACB ———–(i) |
BY, ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক | ∠ABY = \(\frac{1}{2}\)∠ABC ———-(ii) |
এখন,
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 125 10.i 5](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/10.i-5-1024x576.png)
(iv) | ∠AXY = ∠ABY (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠AXY = \(\frac{1}{2}\)∠ABC [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
(v) | ∠AXZ = ∠ACZ (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠AXZ = \(\frac{1}{2}\)∠ACB [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
সুতরাং,
∠AXY + ∠AXZ |
= \(\frac{1}{2}\)∠ABC + \(\frac{1}{2}\)∠ACB |
= \(\frac{1}{2}\)(∠ABC+∠ACB) |
= \(\frac{1}{2}\)(180° – ∠BAC) |
= 90° – \(\frac{\angle BAC}{2}\) |
11. ▲ABC-এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
সমাধানঃ-
এই অংকটি উপপাদ্য 36 এর দ্বারা প্রমাণ করা যাবে। তোমরা উপপাদ্য 36 টা একবার দেখে নেবে।
12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 126 image 29](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-29.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র ; ∠ACB = 30, ∠ABC = 60°, ∠DAB = 35° এবং ∠DBC = x হলে, x এর মান
উত্তরঃ (d) 55°
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 127 image 30](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-30.png)
∠ACB = 30° = ∠ADB (একই বৃত্তাংশস্থ)
▲ADB এর,
∠DAB + ∠ADB + ∠ABD = 180° |
বা, 35° + 30° + ∠ABC + ∠DBC = 180° |
বা, ∠DBC = 180° – 35° – 30° – 60° |
বা, ∠DBC = 55° |
(ii) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 128 image 31](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-31.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65°, ∠BDC = 45° হলে, ∠CBD-এর মান
উত্তরঃ (d) 20°
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 129 image 32](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-32.png)
∠BAC = ∠BDC (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(i)
আবার,
∠DAC = ∠DBC (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
∠BAC + ∠DAC = ∠BDC + ∠DBC
বা, ∠BAD = ∠BDC + ∠DBC = 65°
এখন ▲BCD থেকে পাই,
∠BCD + ∠BDC + ∠DBC = 180° |
বা, ∠BCD + 65° = 180° |
বা, ∠BCD = 180° – 65° |
বা, ∠BCD = 115° |
আবার, |
∠BCD + ∠BDC + ∠DBC = 180° |
বা, 115° + 45° + ∠DBC = 180° |
বা, ∠DBC = 20° |
(iii) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 130 image 33](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-33.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110 এবং ∠CBE = 30° হলে, ∠ADB এর মান।
উত্তরঃ (c) 80°
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 131 image 34](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-34.png)
∠AEB, ▲BCE এর বহিঃস্থ কোণ।
⇒ ∠AEB
= ∠ACB + ∠EBC
= ∠ADB + ∠EBC (একই বৃত্তাংশস্থ)
বা, ∠ADB = ∠AEB – ∠EBC
বা, ∠ADB = 110° – 30° = 80°
(iv) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 132 image 35](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-35.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28°, ∠AEC = 38° হলে, ∠AXB-এর মান
উত্তরঃ (b) 86°
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 133 image 36](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-36.png)
∠DAB = ∠BCD = 28° (একই বৃত্তাংশস্থ)
আবার, ∠ABC, ▲BCE এর বহিঃস্থ কোণ
সুতরাং,
∠ABC |
= ∠BCD + ∠BEC |
= 28° + 38° = 66° |
∴ ∠ABC = 66° = ∠ABX |
▲ABX এর,
∠AXB + ∠ABX + ∠BAX = 180° |
বা, ∠AXB + 66° + 28° = 180° |
বা, ∠AXB = 180° – 66° – 28° |
বা, ∠AXB = 86° |
(v) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 134 image 37](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-37.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB || CD ∠ABC = 25° হলে, ∠CED -এর মান
উত্তরঃ (d) 40°
সমাধানঃ-
∠ABC = ∠BCD = 25° [AB || CD]
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 135 12.v](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/12.v-1024x576.png)
BD উপচাপের ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ | ⇒ ∠BOD =2∠BCD = 50° |
AC উপচাপের ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ | ⇒ ∠AOC =2∠ABC = 50° |
এখন
∠AOC + ∠DOC + ∠BOD = 180°
বা, ∠DOC = 180° – 50° – 50° = 80°
আবার, CD উপচাপের ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠CED বৃত্তস্থ কোণ
⇒ ∠CED =\(\frac{1}{2}\)∠COD = 40°
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
উত্তরঃ সত্য
(ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC; BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্ত কোণ
উত্তরঃ সমান
(ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি হবে।
উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ
(iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য –
উত্তরঃ সমান
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 136 image 38](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-38.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60° হলে, ∠CDE-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
CD উপচাপের ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠CBD বৃত্তস্থ কোণ
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 137 13.i 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.i-2-1024x576.png)
⇒ ∠COD = 2∠CBD = 120°
▲OCD এর OC = OD
⇒ ∠OCD = ∠ODC
অতএব, ▲DOC এর
∠OCD + ∠ODC + ∠DOC = 180°
বা, ∠OCD + ∠OCD + ∠DOC = 180°
বা, 2∠OCD = 180° – 2∠DOC
বা, 2∠OCD = 180° – 120°
বা, ∠OCD = 30° = ∠CDE
(ii) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 138 image 39](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-39.png)
∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 139 image 40](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-40.png)
▲PQR এর,
∠QPR |
= 180° – ∠PQR – ∠PRQ |
= 180° – (2∠SQR) – ∠PRQ |
= 180° – 70° – 32° |
= 78° = ∠QSR (একই বৃত্তাংশস্থ) |
(iii) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 140 image 41](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-41.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC= 50°; ∠CAD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 141 13.iii 2](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.iii_-2-1024x576.png)
▲APD এর
∠PAD
= 180° – ∠APD – ∠ADP
= 180° – 90° – 50°
= 40°
এখন
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 142 13.iii 3](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.iii_-3-1024x576.png)
▲APD ও ▲APC এর মধ্যে, | |
DP = PC (∵ OP⊥DC) | |
∠APC = ∠APD = 90° | |
AP সাধারণ বাহু | |
⇒ ▲APD ≅ ▲APC | |
⇒ ∠PAC = ∠PAD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ] |
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 143 13.iii 4](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.iii_-4-1024x576.png)
∠CAD
= ∠CAP + ∠PAD
= ∠PAD + ∠PAD
= 40° + 40°
= 80°
(iv) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 144 image 42](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-42.png)
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC ; ∠ABC = 32° হলে, ∠BDC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 145 image 43](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-43.png)
∠ABC = ∠ACB = 32° [∵ AB = AC] ——(i)
∠ADB = ∠ACB (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(ii)
আবার,
∠ADC = ∠ABC (একই বৃত্তাংশস্থ) ——-(iii)
(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
∠ADB + ∠ADC = ∠ACB + ∠ABC
বা, ∠BDC = 32° + 32° = 64° [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]
(v) পাশের চিত্রে
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 146 image 44](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/image-44.png)
BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক AB = AC এবং BY = 4সেমি. হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 147 13.v](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.v-1024x576.png)
X,Y যুক্ত করলাম।
এখন BYAX বৃত্তাংশের
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 148 13.v.i](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.v.i-1024x576.png)
∠BYX = ∠BAX —-(i)
আবার,
∠BXY = ∠BCY (একই বৃত্তাংশস্থ) বা, ∠BXY = ∠BCY = \(\frac{1}{2}\)∠ACB ————-(i) |
এবং ∠ABX = \(\frac{1}{2}\)∠ABC = \(\frac{1}{2}\)∠ACB ———-(ii) |
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
∠BXY = ∠ABX ——(iii)
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 149 13.v 1](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/09/13.v-1-1024x576.png)
▲BYX ও ▲AXB এর মধ্যে, | |
∠BYX = ∠BAX [(i) নং থেকে পাই] | |
∠BXY = ∠ABX [(ii) নং থেকে পাই] | |
BX সাধারণ ভূমি | |
⇒ ▲BYX ≅ ▲AXB | |
⇒ BY = AX [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] |
AX = BY = 4 সেমি.
এই অধ্যায়ের বাকি কষে দেখি-
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
অধ্যায় | সমাধান |
1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
কষে দেখি 1.2 | |
কষে দেখি 1.3 | |
কষে দেখি 1.4 | |
কষে দেখি 1.5 | |
2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
কষে দেখি 3.2 | |
4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
কষে দেখি 5.2 | |
কষে দেখি 5.3 | |
6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
কষে দেখি 6.2 | |
7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
কষে দেখি 7.2 | |
কষে দেখি 7.3 | |
8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
কষে দেখি 9.2 | |
কষে দেখি 9.3 | |
10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
কষে দেখি 15.2 | |
16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
কষে দেখি 18.2 | |
কষে দেখি 18.3 | |
কষে দেখি 18.4 | |
19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
কষে দেখি 23.2 | |
কষে দেখি 23.3 | |
24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
কষে দেখি 26.2 | |
কষে দেখি 26.3 | |
কষে দেখি 26.4 |
Request For Share |
---|
সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together…………. ![]() [Sassy_Social_Share] |
এই কষে দেখি 7.2 Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
![কষে দেখি 7.2 Class 10 ।বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10|Koshe Dekhi 7.2 Class 10 WBBSE. 153 share](https://wbstudyhub.in/wp-content/uploads/2023/03/end-1024x576.png)
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।