শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য ; কষে দেখি 15.2
কষে দেখি 15.2 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 15.2 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 15.2, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 15 নম্বর অধ্যায়|Chapter 15, বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য | Theorems Related To Tangent Of a Circle এর দ্বিতীয় অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 15.2 Class 10 এর অঙ্ক গুলি বোঝার জন্যে যে যে বিষয় জানতে হবে তা আলোচনা করা হলো-
কষে দেখি 15.2 Class 10 অংকের জন্যে উপপাদ্য 41:
উপপাদ্য 41:
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
কষে দেখি 15.2 Class 10 অংকের জন্যে উপপাদ্য 42:
উপপাদ্য 42:
যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
আগামিতে এই কষে দেখি 15.2 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 15.2 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 15.2 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 15.2 Class 10|Koshe Dekhi 15.2 Class 10
1. 16 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, A বিন্দুটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত।
▲AOQ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠OQA = 90°
অতএব,
| AQ = \(\sqrt{AO^2 – OQ^2}\) |
| বা, AQ = \(\sqrt{17^2 – 8^2}\) |
| বা, AQ = \(\sqrt{289 – 64}\) |
| বা, AQ = \(\sqrt{225}\) |
| বা, AQ = 15 সেমি. |
2. একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
▲APQ এর
| ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180° |
| বা, ∠APQ + ∠APQ + ∠PAQ = 180° [∵ ∠AQP = ∠APQ] |
| বা, 2∠APQ + 60° = 180° |
| বা, 2∠APQ = 120° |
| বা, ∠APQ = 60° |
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA || RQ
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
OA || RQ
অঙ্কনঃ
O, Q যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
∠POQ, ▲ROQ এর একটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং,
| ∠POQ = ∠ORQ + ∠OQR |
| বা, ∠POA + ∠AOQ = ∠ORQ + ∠ORQ [∵ OR = OQ] |
| বা, ∠POA + ∠POA = ∠ORQ + ∠ORQ [∵ ∠AOQ = ∠AOP] |
| বা, 2∠POA = 2∠ORQ |
| বা, ∠POA = ∠ORQ |
সুতরাং, RQ || OA
4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ যার, AB সরল রেখা S বিন্দুতে , BC সরলরেখা R বিন্দুতে, DC সরলরেখা Q বিন্দুতে, AD সরলরেখা P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠DOC + ∠AOB = 180°
অঙ্কনঃ
O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করলাম ।
প্রমাণঃ
| বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AS বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ ∠AOP = ∠AOS ———-(i) |
| বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে BS ও BR বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ ∠BOS = ∠BOR ———(ii) |
| বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে CQ ও CR বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ COQ = COR ———(iii) |
| বহিঃস্থ বিন্দু D থেকে DP ও DQ বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ ∠DOP = ∠DOQ ——–(iv) |
এখন,
| ∠AOP + ∠AOS + ∠BOS + ∠BOR + ∠ROC + ∠COQ + ∠QOD + ∠POD = 360° |
| বা, (∠AOP + ∠AOS) + (∠BOS + ∠BOR) + (∠ROC + ∠COQ) + (∠QOD + ∠POD) = 360° |
| বা, (∠AOP + ∠AOP) + (∠BOS + ∠BOS) + (∠COQ + ∠COQ) + (∠QOD + ∠QOD) = 360° [(i), (ii), (iii) ও (iv) নং থেকে পাই] |
| বা, 2∠AOS + 2∠BOS + 2∠COQ + 2∠QOD = 360° |
| বা, ∠AOS + ∠BOS + ∠COQ + ∠QOD = 180° |
| বা, (∠AOS + ∠BOS) + (∠COQ + ∠QOD) = 180° |
| বা, ∠AOB + ∠COD = 180° |
5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি পরিলিখিত সামান্তরিক হলো ABCD যার, AB সরল রেখা P বিন্দুতে , BC সরলরেখা Q বিন্দুতে, DC সরলরেখা R বিন্দুতে, AD সরলরেখা S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
ABCD একটি রম্বস।
প্রমাণঃ
| বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AS বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ AP = AS ———-(i) |
| বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে BP ও BQ বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ BP = BQ ———(ii) |
| বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে CQ ও CR বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ CQ = CR ———(iii) |
| বহিঃস্থ বিন্দু D থেকে DS ও DR বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক | ⇒ DS = DR ——–(iv) |
এখন,
| AB + CD |
| = AP + PB + CR + DR |
| = AS + BQ + CQ + DS [(i), (ii), (iii) ও (iv) নং থেকে পাই] |
| = (AS + DS) + (BQ + CQ) |
| = AD + BC |
| সুতরাং, |
| AB + CD = AD + BC |
| বা, AB + AB = AD + AD [∵ ABCD একটি সামান্তরিক] |
| বা, 2AB = 2AD |
| বা, AB = AD |
অতএব, সামান্তরিক ABCD এর
AB = BC = CD = AD
সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।
6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে OD = OC = OE এবং x – y = 8
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণঃ
বহিঃস্থ O বিন্দু থেকে A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর OD ও OC দুটি স্পর্শক
সুতরাং, OD = OC —–(i)
এবং
∠OCA = 90°
বা, ∠OCD + ∠ACD = 90°
বা, ∠OCD = 90° – ∠ACD
বা, ∠OCD = 90° – x° [∵ ∠ACD = x°] ——(ii)
এখন, ▲ODC এর
| ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180° |
| বা, ∠COD + ∠OCD + ∠OCD = 180° [∵OD = OC] |
| বা, ∠COD + 2∠OCD = 180° |
| বা, 56° + 2(90° – x°) = 180° [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| বা, x° = 28° |
আবার, বহিঃস্থ O বিন্দু থেকে B কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর OE ও OC দুটি স্পর্শক
সুতরাং, OE = OC —–(iii)
এবং
∠OCB = 90°
বা, ∠OCE + ∠BCE = 90°
বা, ∠OCE = 90° – ∠BCE
বা, ∠OCE = 90° – y° [∵ ∠BCE = y°] ——(iv)
এখন, ▲OCE এর
| ∠COE + ∠OEC + ∠OCE = 180° |
| বা, ∠COE + ∠OCE + ∠OCE = 180° [∵OC = OE] |
| বা, ∠COE + 2∠OCE = 180° |
| বা, 40° + 2(90° – y°) = 180° [(iv) নং থেকে পাই] |
| বা, y° = 20° |
অতএব, x – y = 28 – 20 = 8
আবার, (i) ও (iii) নং থেকে পাই,
OD = OC = OE
7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
AO + BO ধ্রুবক হবে।
অঙ্কনঃ
O, X যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
| AO + BO |
| = AX – OX + BY + OY |
| = AX – OY + BY + OY [∵OX ও OY একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ] |
| = AX + BY |
| = A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ |
| = একটি ধ্রুবক |
8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP || BQ.
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
AP || BQ.
অঙ্কনঃ
A, O, B যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
| ∠APO |
= ∠AOP [ A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যসার্ধ AO = AP এর জন্যে ▲AOP থেকে পাই] |
= বিপ্রতীপ ∠BOQ |
= ∠BQO [ B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যসার্ধ BO = BQ এর জন্যে ▲BOQ থেকে পাই] |
সুতরাং, AP ও BQ দুটি সরলরেখা এবং PQ ভেদকের ফ্লে উৎপন্ন দুটি একান্তর কোণ ∠APO ও ∠BQO সমান।
অতএব, AP || BQ
9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
A, B, C কেন্দ্রীয় তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে D, E, F বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
প্রমাণঃ
তিনটি সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ ধরি r একক।
সুতরাং,
AD = BD = BE = CE = CF = AF = r —–(i)
| AB |
| = AD + BD |
| = r + r [(i) নং থেকে পাই] |
| = AF + CF [(i) নং থেকে পাই] |
| = AC |
আবার,
| BC |
| = BE + CE |
| = r + r [(i) নং থেকে পাই] |
| = AF + CF [(i) নং থেকে পাই] |
| = AC |
সুতরাং, AB = BC = AC
অতএব বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ▲ADE এর পরিসীমা = 2 AB.
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
▲ADE এর পরিসীমা = 2 AB.
প্রমাণঃ
বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর AB ও AC দুটি স্পর্শক
সুতরাং, AB = AC ——-(i)
আবার, বহিঃস্থ D বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর DB ও DX দুটি স্পর্শক
সুতরাং, DB = DX ——-(ii)
আবার, বহিঃস্থ E বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর EX ও EC দুটি স্পর্শক
সুতরাং, EX = EC ——-(iii)
এখন ▲ADE এর পরিসিমা
| = AD + DE + AC |
| = (AB – BD) + (DX + XE) + (AC – AE) |
| = AB – BD + BD + CE + AB – AE [(i), (ii) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 2AB |
11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি., AO = 13 সেমি. হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
উত্তরঃ (a) 12 সেমি.
সমাধানঃ-
| AB |
| = \(\sqrt{OA^2 – OB^2}\) |
| = \(\sqrt{(13)^2 – 5^2}\) |
| = \(\sqrt{169 – 25}\) |
| = \(\sqrt{144}\) |
| = 12 সেমি. |
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর পরিমাপ
উত্তরঃ (d) 90°
সমাধানঃ-
AB একটি সাধারন স্পর্শক
সুতরাং, ∠OAB = ∠ABD = 90°
অতএব, AO || DB
আবার, AO || DB এর জন্যে পাই,
∠AOC + ∠BDC = 180° ——-(i)
এখন,
| ▲AOC এর |
|---|
| ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180° |
| বা, ∠AOC + ∠OCA + ∠OCA = 180° [∵ OA = OC] |
| বা, ∠AOC + 2∠OCA = 180° ——(ii) |
একইরকম ভাবে,
| ▲DCB এর |
|---|
| ∠BDC + 2∠DCB = 180° ——-(iii) |
(ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,
| ∠AOC + 2∠OCA + ∠BDC + 2∠DCB = 180° + 180° |
| বা, ∠AOC + ∠BDC + 2(∠OCA +∠DCB ) = 360° |
| বা, 180° + 2(180° – ∠ACB) = 360° [∵DO সরল রেখার ∠OCA+∠ACB+∠DCB=180°] |
| বা, 2∠ACB = 180° |
| বা, ∠ACB = 90° |
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। O বিন্দু থেকে 13 সেমি. দূরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
উত্তরঃ (a) 60 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ-
চতুর্ভুজ PQOR এর ক্ষেত্রফল
| = (▲POQ + ▲POR) এর ক্ষেত্রফল |
| = \(\frac{1}{2}\times PQ \times OQ + \frac{1}{2}\times PR \times OR\) |
| = \(\frac{1}{2}\times PQ \times OQ + \frac{1}{2}\times PQ \times OQ\) [∵ PQ = PR এবং OQ = OR] |
| = PQ × OQ |
| = \(\sqrt{OP^2 – OQ^2} \times OQ\) |
| = \(\sqrt{(13)^2 – 5^2} \times 5\) |
| = \(\sqrt{169 – 25} \times 5\) |
| = \(\sqrt{144} \times 5\) |
| = 12 × 5 = 60 বর্গ সেমি. |
(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি.। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
উত্তরঃ (d) 8 সেমি.
সমাধানঃ-
5 + 3 = 8
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি. ও 2 সেমি.। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
উত্তরঃ (c) 1.5 সেমি.
সমাধানঃ-
3.5 – 2 = 1.5
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P ; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
উত্তরঃ সত্য
(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের ______ বলে।
উত্তরঃ ছেদক
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় _____ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তরঃ 4
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো ________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক ) ।
উত্তরঃ তির্যক
12.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
▲OBP এর OB = OP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
সুতরাং, ∠OPB = ∠OBP = 30° ——-(i)
| ▲BPT এর |
|---|
| ∠BPT + ∠PBT + ∠PTB = 180° |
| বা, (∠OPB + ∠OPT) + ∠PBT + ∠PTB = 180° |
| বা, ∠OPB + ∠OPT + ∠PBO + ∠PTA = 180° |
| বা, ∠OPB + ∠OPT + ∠OPB + ∠PTA = 180° [(i) নং থেকে পাই] |
| বা, 30° + 90° + 30° + ∠PTA = 180° [∵ ∠OPT = 90°] |
| বা, ∠PTA = 30° |
(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি., BP = 6 সেমি., AC = 12 সেমি. এবং BC = x সেমি. হয়। তাহলে x এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| BC |
| = BQ + QC |
| = BP + CR [∵ B বিন্দু থেকে স্পর্শক BQ=BP এবং C বিন্দু থেকে স্পর্শক CQ=CR] |
| = BP + (AC – AR) |
| = BP + AC – AR |
| = BP + AC – AP [∵ A বিন্দু থেকে স্পর্শক AR=AP] |
| = 6 + 12 – 4 = 14 সেমি. |
(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি., BC = 7 সেমি. এবং CA = 6 সেমি. হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| AP |
| = AB – BP |
| = AB – BR [∵ B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ BP=BR] |
| = AB – (BC – CR) |
| = AB – BC + CR |
| = AB – BC + CQ [∵ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ CR=CQ] |
| = AB – BC + (AC – AQ) |
| = AB – BC + AC – AQ |
| অতএব, |
| AP = AB – BC + AC – AQ |
| বা, AP + AQ = AB – BC + AC |
| বা, AP + AP = AB – BC + AC [∵ A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ AP=AQ] |
| বা, 2AP = AB – BC + AC |
| বা, 2AP = 5 – 7 + 6 |
| বা, 2AP = 4 |
| বা, AP =2 |
(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি, CP = 11 সেমি. এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| BR |
| = BQ [∵ B বিন্দু থেকে স্পর্শক BQ=BR] |
| = CQ – CB |
| = CP – BC [∵ C বিন্দু থেকে স্পর্শক CP=CQ] |
| = 11 – 7 = 4 সেমি. |
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি. ও 3 সেমি. এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি.। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
[এখানে খেয়াল করবে যে, দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ এর দৈর্ঘ্য এর সমষ্টি (8+3) = 11 তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব থেকে কম। সুতরাং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে স্পর্শ করবেনা। ]
ধরি, A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত যাদের AD = 3 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.
[ আমাদের DC এর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে। ]
| DC |
| = \(\sqrt{DE^2 – CE^2}\) [∵ ∠DCE = 90°] |
| = \(\sqrt{AB^2 – CE^2}\) [∵ AD || AB] |
| = \(\sqrt{AB^2 – (BC-BE)^2}\) |
| = \(\sqrt{AB^2 – (BC-AD)^2}\) [∵ AD || AB] |
| = \(\sqrt{(13)^2 – (8-3)^2}\) |
| = \(\sqrt{169 – 25}\) |
| = \(\sqrt{144}\) |
| = 12 সেমি. |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 15.2 Class 10|Koshe Dekhi 15.2 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।