শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – দ্বিঘাত করণী ; কষে দেখি 9.3
কষে দেখি 9.3 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 9.3 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু আলোচনাঃ
এই কষে দেখি 9.3, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 9 নম্বর অধ্যায়|Chapter 9 দ্বিঘাত করণী | Quadratic Surd এর তৃতীয় অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 9.3 Class 10 এর অঙ্ক গুলি সাধারনত করণী নিরসন এবং তার সরলীকরণের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে।
যেমন-
আগামিতে এই কষে দেখি 9.3 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 93 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 9.3 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 9.3 Class 10|Koshe Dekhi 9.3 Class 10
1.
(a) \(m + \frac{1}{m}= \sqrt3\) হলে,
(i)\(m^2+\frac{1}{m^2}\) এবং
সমাধানঃ-
| \(m^2+\frac{1}{m^2}\) |
| = \((m+\frac{1}{m})^2 – 2.m.\frac{1}{m}\) |
| = \((\sqrt3)^2 – 2\) |
| = 3 – 2 = 1 |
(ii) \(m^3+\frac{1}{m^3}\) -এদের সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(m^3+\frac{1}{m^3}\) |
| = \((m+\frac{1}{m})^3 – 3.m.\frac{1}{m}(m+\frac{1}{m})\) [∵ \(a^3+b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)] |
| = \((\sqrt3)^3-3\sqrt3\) |
| = 3√3 – 3√3 |
| = 0 |
(b) দেখাই যে,
\(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} = 2\sqrt{15}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}\) |
| = \(\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2-(\sqrt5-\sqrt3)^2}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5\times \sqrt3}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5\times \sqrt3}{5-3}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5\times \sqrt3}{2}\) |
| = \(2\sqrt{15}\) |
2. সরল করি :
(a)
\(\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[\frac{(2+\sqrt3)}{(\sqrt3+1)}-\frac{(2-\sqrt3)}{(\sqrt3-1)}]\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[\frac{(2+\sqrt3)(\sqrt3-1)-(2-\sqrt3)(\sqrt3+1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}]\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[\frac{(2\sqrt3+3-2-\sqrt3)-(2\sqrt3-3+2-\sqrt3)}{(\sqrt3)^2-1}]\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[\frac{2\sqrt3+3-2-\sqrt3-2\sqrt3+3-2+\sqrt3}{3-1}]\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[\frac{2}{2}]\) |
| = \(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\) |
| = \(\frac{\sqrt2\times \sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}\) |
| = \(\frac{\sqrt6}{3}\) |
(b)
\(\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\) |
| = \(\frac{3\sqrt7(\sqrt5-\sqrt2)}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}-\frac{5\sqrt5(\sqrt7-\sqrt2)}{(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt2+\sqrt7)}+\frac{2\sqrt2(\sqrt7-\sqrt5)}{(\sqrt7-\sqrt5)(\sqrt7+\sqrt5}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt7\times \sqrt5-\sqrt7\times \sqrt2)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2}-\frac{5(\sqrt5\times \sqrt7-\sqrt5\times \sqrt2)}{(\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{2(\sqrt2\times \sqrt7-\sqrt2\times \sqrt5)}{(\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{5-2}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{7-2}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{7-5}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{3}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{5}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{2}\) |
| = \(\sqrt{35} – \sqrt{14} – \sqrt{35} + \sqrt{10} + \sqrt{14} – \sqrt{10}\) |
| = 0 |
(c)
\(\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\) |
| = \(\frac{4\sqrt3(2+\sqrt2)}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{(4\sqrt3+3\sqrt2)(4\sqrt3-3\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}(3+2\sqrt3)}{(3+2\sqrt3)(3-2\sqrt{3})}\) |
| = \(\frac{2(2.2\sqrt3+2\sqrt3\times \sqrt2)}{2^2-(\sqrt2)^2}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{(4\sqrt3)^2-(3\sqrt2)^2}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt3\times \sqrt2)}{3^2-(2\sqrt3)^2}\) |
| = \(\frac{2(4\sqrt3+2\sqrt6)}{4-2}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{48-18}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt6)}{9-12}\) |
| = \(\frac{2(4\sqrt3+2\sqrt6)}{2}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{30}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt6)}{-3}\) |
| = 4√3 + 2√6 – 4√3 – 3√2 + 3√2 + 2√6 |
| = 4√6 |
(d)
\(\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\) |
| = \(\frac{3\sqrt2(\sqrt6 – \sqrt3)}{(\sqrt6 – \sqrt3)(\sqrt3+\sqrt6)}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6 – \sqrt2)}{(\sqrt6 – \sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt2+\sqrt3)}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt2\times \sqrt6 – \sqrt2 \times \sqrt3)}{(\sqrt6)^2 – (\sqrt3)^2}-\frac{4(\sqrt3\times \sqrt6 – \sqrt3 \times \sqrt2)}{(\sqrt6)^2 – (\sqrt2)^2}+\frac{\sqrt6\times \sqrt3-\sqrt6 \times \sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt12 – \sqrt6)}{6-3}-\frac{4(\sqrt18 – \sqrt6)}{6-2}+\frac{\sqrt18-\sqrt12}{3-2}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt{12} – \sqrt6)}{3}-\frac{4(\sqrt{18} – \sqrt6)}{4}+\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{1}\) |
| = \(\sqrt{12}-\sqrt6 – \sqrt{18} + \sqrt6 + \sqrt{18}-\sqrt{12}\) |
| = 0 |
3. যদি \(x = 2, y = 3\) এবং \(z=6\) হয় তবে,
\(\frac{3\sqrt x}{\sqrt y+\sqrt z}-\frac{4\sqrt y}{\sqrt z+\sqrt x}+\frac{\sqrt z}{\sqrt x+\sqrt y}\)
-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{3\sqrt x}{\sqrt y+\sqrt z}-\frac{4\sqrt y}{\sqrt z+\sqrt x}+\frac{\sqrt z}{\sqrt x+\sqrt y}\) |
| = \(\frac{3\sqrt x(\sqrt z-\sqrt y)}{(\sqrt z-\sqrt y)(\sqrt y+\sqrt z)}-\frac{4\sqrt y(\sqrt z-\sqrt x)}{(\sqrt z-\sqrt x)(\sqrt z+\sqrt x)}+\frac{\sqrt z(\sqrt y-\sqrt x)}{(\sqrt y-\sqrt x)(\sqrt x+\sqrt y)}\) |
| = \(\frac{3\sqrt x(\sqrt z-\sqrt y)}{(\sqrt z)^2-(\sqrt y)^2}-\frac{4\sqrt y(\sqrt z-\sqrt x)}{(\sqrt z)^2-(\sqrt x)^2}+\frac{\sqrt z(\sqrt y-\sqrt x)}{(\sqrt y)^2-(\sqrt x)^2}\) |
| = \(\frac{3\sqrt2(\sqrt 6-\sqrt 3)}{(\sqrt 6)^2-(\sqrt 3)^2}-\frac{4\sqrt 3(\sqrt 6-\sqrt 2)}{(\sqrt 6)^2-(\sqrt 2)^2}+\frac{\sqrt 6(\sqrt 3-\sqrt 2)}{(\sqrt 3)^2-(\sqrt 2)^2}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt2\times \sqrt 6-\sqrt2 \times \sqrt 3)}{6-3}-\frac{4(\sqrt 3\times \sqrt 6- \sqrt 3 \times \sqrt 2)}{6-2}+\frac{\sqrt 6 \times \sqrt 3-\sqrt6 \times \sqrt 2}{3-2}\) |
| = \(\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt 6)}{3}-\frac{4(\sqrt{18}- \sqrt6)}{4}+\frac{\sqrt {18}-\sqrt{12}}{1}\) |
| = \(\sqrt{12} – \sqrt6 – \sqrt{18} + \sqrt6 + \sqrt{18} – \sqrt{12}\) |
| = 0 |
4.
\(x = \sqrt7+\sqrt6\) হলে
সরলীকরণঃ
\(x = \sqrt7+\sqrt6\)
| \(\frac{1}{x}\) |
| = \(\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\) |
| = \(\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}\) |
| = \(\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\) |
| = \(\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\) |
| = √7 – √6 |
| ∴ \(\frac{1}{x}\) = √7 – √6 ——-(i) |
(i) \(x-\frac{1}{x}\)
সমাধানঃ-
| \(x-\frac{1}{x}\) |
| = √7 + √6 – √7 + √6 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 2√6 |
(ii) \(x+\frac{1}{x}\)
সমাধানঃ-
| \(x\frac{1}{x}\) |
| = √7 + √6 + √7 – √6 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 2√7 |
(iii) \(x^2+\frac{1}{x^2}\)
সমাধানঃ-
| \(x^2+\frac{1}{x^2}\) |
| = \((x+\frac{1}{x})^2 – 2.x.\frac{1}{x}\) |
| = \((x+\frac{1}{x})^2 – 2\) |
| = \((\sqrt7 + \sqrt6 + \sqrt7 – \sqrt6)^2 – 2\) |
| = \((2\sqrt7)^2 – 2\) |
| = 28 – 2 = 26 |
(iv) \(x^3+\frac{1}{x^3}\)
-এদের সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(x^3+\frac{1}{x^3}\) |
| = \((x+\frac{1}{x})^3 – 3.x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})\) |
| = \((x+\frac{1}{x})^3 – 3(x+\frac{1}{x})\) |
| = \((\sqrt7 + \sqrt6 + \sqrt7 – \sqrt6)^3 – 3(\sqrt7 + \sqrt6 + \sqrt7 – \sqrt6)\) |
| = \((2\sqrt7)^3 – 3\times 2\sqrt7\) |
| = 56√7 – 6√7 |
| = 50√7 |
5. সরল করিঃ
\(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^-1}} + \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^-1}}\)
সরলফল 14 হলে, x এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^-1}} + \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^-1}}\) |
| = \(\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2 + (x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}\) |
| = \(\frac{2[x^2+(\sqrt{x^2-1})^2]}{x^2-(\sqrt{x^2-1})^2}\) |
| = \(\frac{2(x^2+x^2-1)}{x^2-x^2+1}\) |
| = \(2(2x^2-1)\) |
| সরলফল 14, সুতরাং |
| \(2(2x^2-1) = 14\) |
| বা, \(2x^2 – 1 = 7\) |
| বা, \(2x^2 = 8\) |
| বা, \(x^2 = 4\) |
| বা, \(x\) = ∓ 2 |
6. যদি a= \(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\) ও b= \(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\) হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
সরলীকরণঃ
| a + b |
| = \(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\) + \(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\) |
| = \(\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}\) |
| = \(\frac{2[(\sqrt5)^2 + 1]}{(\sqrt5)^ – 1}\) |
| = \(\frac{2(5+1)}{5-1}\) |
| = \(\frac{12}{4}\) = 3 |
| ∴ a + b = 3 ——-(i) |
| a – b |
| = \(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\) – \(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\) |
| = \(\frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5)}{(\sqrt5)^ – 1}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5}{5-1}\) |
| = \(\frac{4\sqrt5}{4}\) = √5 |
| ∴ a – b = √5 ——-(ii) |
| ab |
| = \(\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\) × \(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\) |
| = 1 |
| ∴ ab = 1 ——-(iii) |
(i) \(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\) |
| = \(\frac{(a+b)^2 – 2ab+ab}{(a+b)^2 – 2ab-ab}\) |
| = \(\frac{(a+b)^2 – ab}{(a+b)^2 – 3ab}\) |
| = \(\frac{3^2 – 1}{3^2 – 3}\) [(i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{9-1}{9-3}\) |
| = \(\frac{8}{6}\) |
| = \(\frac{4}{3}\) |
| = \(1\frac{1}{3}\) |
(ii) \(\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}\) |
| = \(\frac{(\sqrt5)^3}{(3^3}\) [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{5\sqrt5}{27}\) |
(iii) \(\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\) |
| = \(\frac{3(a^2 + b^2)+5ab}{3(a^2 + b^2)-5ab}\) |
| = \(\frac{3(a + b)^2 – 6ab+5ab}{3(a + b)^2 – 6ab-5ab}\) |
| = \(\frac{3(a + b)^2 – ab}{3(a + b)^2 – 11ab}\) |
| = \(\frac{3\times 3^2 – 1}{3\times 3^2 – 11}\) [(i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{3\times 9 – 1}{3\times 9 – 11}\) |
| = \(\frac{27 – 1}{27 – 11}\) |
| = \(\frac{26}{16}\) |
| = \(\frac{13}{8}\) |
| = \(1\frac{5}{8}\) |
(iv) \(\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\) |
| = \(\frac{(a+b)^3 – 3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a-b)}\) [∵ \(a^3+b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\) এবং \(a^3-b^3 = (a-b)^3+3ab(a-b)\)] |
| = \(\frac{3^3 – 3\times 1 \times 3}{(\sqrt5)^3 + 3\times 1 \times \sqrt5}\) |
| = \(\frac{27 – 9}{5\sqrt5 + 3\sqrt5}\) |
| = \(\frac{18}{8\sqrt5}\) |
| = \(\frac{9\sqrt5}{4(\sqrt5)^2}\) |
| = \(\frac{9\sqrt5}{4\times 5}\) |
| = \(\frac{9\sqrt5}{20}\) |
7. যদি x=2+ √3, y=2 – √3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্ণয় করি।
সরলীকরণঃ
x = 2 +√3 ; y = 2 – √3
অতএব,
| x + y = 2 + √3 + 2 – √3 = 4 —-(i) |
| x – y = 2 + √3 – 2 + √3 = 2√3 ——(ii) |
| xy = (2+√3)(2-√3)=4 – 3 = 1 —-(iii) |
| (iv) নং থেকে পাই, |
| \(\frac{1}{x} = y\) —-—(iv) এবং \(\frac{1}{y} = x\) ——(v) |
(a)
(i) \(x-\frac{1}{x}\)
সমাধানঃ-
| \(x-\frac{1}{x}\) |
| = \(x – y\) [(iv) নং থেকে পাই] |
| = 2√3 [(ii) নং থেকে পাই] |
(ii) \(y^2+\frac{1}{y^2}\)
সমাধানঃ-
| \(y^2+\frac{1}{y^2}\) |
| = \(y^2 + x^2\) [(v) নং থেকে পাই] |
| = \((x+y)^2 – 2xy\) |
| = \(4^2 – 2 \times 1\) [(i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 16 – 2 = 14 |
(iii) \(x^3-\frac{1}{x^3}\)
সমাধানঃ-
| \(x^3-\frac{1}{x^3}\) |
| = \(x^3 – y^3\) [(iv) নং থেকে পাই] |
| = \((x-y)(x^2+xy+y^2)\) |
| = \((x-y)[(x+y)^2 – 2xy+xy]\) |
| = \((x-y)[(x+y)^2 – xy]\) |
| = \(2\sqrt3[4^2 – 1]\) [(ii), (i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 2√3(16-1) = 30√3 |
(iv) \(xy + \frac{1}{xy}\)
সমাধানঃ-
| \(xy + \frac{1}{xy}\) |
| = \(1 + \frac{1}{1}\) [(iii) নং থেকে পাই] |
| = 1 + 1 = 2 |
(b) \(3x^2-5xy+3y^2\)
সমাধানঃ-
| \(3x^2-5xy+3y^2\) |
| = \(3(x^2+y^2) – 5xy\) |
| = \(3[(x+y)^2 – 2xy] – 5xy\) |
| = \(3(x+y)^2 – 6xy – 5xy\) |
| = \(3(x+y)^2 – 11xy\) |
| = \(3\times 4^2 – 11 \times 1 \) [(i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = 48 – 11 = 37 |
8.
\(x = \frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\) এবং \(xy = 1\) হলে দেখাই যে,
\(\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}= \frac{12}{11}\)
সমাধানঃ-
| \(xy = 1\) |
| বা, \(y = \frac{1}{x}\) |
| বা, \(y = \frac{\sqrt7 – \sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\) |
অতএব,
| \(x + y\) |
| = \(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3} + \frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\) |
| = \(\frac{(\sqrt7+\sqrt3)^2 + (\sqrt7-\sqrt3)^2}{(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)}\) |
| = \(\frac{2[(\sqrt7)^2 + (\sqrt3)^2]}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}\) |
| = \(\frac{2[7+3]}{7-3}\) |
| = \(\frac{2\times 10}{4}\) |
| = 5 |
এখন,
| \(\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\) |
| = \(\frac{x^2+y^2+xy}{x^2+y^2-xy}\) |
| = \(\frac{(x+y)^2-2xy+xy}{(x+y)^2-2xy-xy}\) |
| = \(\frac{(x+y)^2 – xy}{(x+y)^2 – 3xy}\) |
| = \(\frac{5^2-1}{5^2-3}\) [x + y এবং xy এর মান বিয়ে পাই] |
| = \(\frac{25-1}{25-3}\) |
| = \(\frac{24}{22}\) |
| = \(\frac{12}{11}\) |
9. (√7+1) এবং (√5 + √3)-এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি ।
সমাধানঃ-
| (\(\sqrt7 + 1)^2\) |
| = \(7 + 2\sqrt7 + 1\) |
| = 8 + 2√7 |
আবার,
| (\(\sqrt5 + \sqrt3)^2\) |
| = \(5 + 2\sqrt{5} \times \sqrt3 + 3\) |
| = \(8 + 2\sqrt{15}\) |
যেহেতু \(\sqrt{15}\) > √7, √5 + √3 বড়ো ।
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ) :
(i) \(x=2+\sqrt3\) হলে, \(x +\frac{1}{x}\) -এর মান
উত্তরঃ (c) 4
সমাধানঃ-
\(\frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{2+\sqrt3}\)
= \(\frac{2-\sqrt3}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}\)
= \(\frac{2-\sqrt3}{4-3}\)
= 2 – √3
| \(x+\frac{1}{x}\) |
| = 2 + √3 + 2 – √3 |
| = 4 |
(ii) যদি p + q =\(\sqrt{13}\) এবং p – q =√5 হয়, তাহলে pq-এর মান
উত্তরঃ (a) 2
সমাধানঃ-
| \(pq\) |
| =\(\frac{1}{4}[4pq]\) |
| = \(\frac{1}{4}[(p+q)^2 – (p-q)^2]\) |
| = \(\frac{1}{4}[(\sqrt{13})^2 – (\sqrt5)^2]\) |
| = \(\frac{1}{4}(13-5)\) |
| = 2 |
(iii) যদি a+b=√5 এবং a–b=√3 হয়, তাহলে (a2 + b2)-এর মান
উত্তরঃ (b) 4
সমাধানঃ-
| \(a^2 + b^2\) |
| =\(\frac{1}{2}[2(a^2 + b^2]\) |
| = \(\frac{1}{2}[(a+b)^2 + (a-b)^2]\) |
| = \(\frac{1}{2}[(\sqrt5)^2 + (\sqrt3)^2]\) |
| = \(\frac{1}{2}(5+3)\) |
| = 4 |
(iv) \(\sqrt{125}\) থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
উত্তরঃ (a) \(\sqrt{80}\)
180/408
সমাধানঃ-
| \(\sqrt{125}\) – √5 |
| = \(\sqrt{25\times5}\) – √5 |
| = 5√5 – √5 |
| = 4√5 |
| = \(\sqrt{16\times5}\) |
| = \(\sqrt{80}\) |
(v) (5 – √3 ) (√3 – 1) (5 + √3) (√3 + 1)-এর গুণফল
উত্তরঃ (b) 44
সমাধানঃ-
| (5 – √3 ) (√3 – 1) (5 + √3) (√3 + 1) |
| = (5 – √3)(5 + √3)(√3 – 1)(√3 + 1) |
| = (25 – 3)(3 – 1) |
| = 22×2 = 44 |
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) \(\sqrt{75}\) এবং \(\sqrt{147}\) সদৃশ করণী।
উত্তরঃ সত্য
(ii) √π একটি দ্বিঘাত করণী।
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) 5\(\sqrt{11}\) একটি . . সংখ্যা। (মূলদ /অমূলদ)
উত্তরঃ অমূলদ সংখ্যা।
(ii) (√3 – 5) -এর অনুবন্ধী করণী
উত্তরঃ -√3 – 5
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় …….. করণী।
উত্তরঃ অনুবন্ধী করণী।
11. সংক্ষিপ্তধর্মী উত্তরপ্রশ্ন (S.A.)
(i) x = 3 + 2√2 হলে, \(x +\frac{1}{x}\) -এর মান লিখি ।
সমাধানঃ-
x = 3 + 2√2
অতএব,
\(\frac{1}{x}\)
= \(\frac{1}{3+2\sqrt2}\)
= \(\frac{3-2\sqrt2}{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)}\)
= \(\frac{3-2\sqrt2}{3^2-(2\sqrt2)^2}\)
= \(\frac{3-2\sqrt2}{9-8}\)
= 3-2√2
সুতরাং,
\(x + \frac{1}{x}\)
= 3 + 2√2 + 3 – 2√2
= 6
(ii) (\(\sqrt{15}\) + √3) এবং (\(\sqrt{10}\) + √8) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধানঃ-
| (\(\sqrt{15} + \sqrt3)^2\) |
| = \(15 + 2\sqrt{15} \times \sqrt3 + 3\) |
| = \(18 + 2\sqrt{5\times3}\times \sqrt3\) |
| = \(18 +2\sqrt5\times \sqrt3 \times \sqrt3 \) |
| = 18 + 2×3√5 |
| = 18 + 6√5 |
আবার,
| (\(\sqrt{10} + \sqrt8)^2\) |
| = \(10 + 2\sqrt{10} \times \sqrt8 + 8\) |
| = \(18 + 2\sqrt{5\times2}\times \sqrt{4\sqrt2}\) |
| = \(18 +2\sqrt5\times \sqrt2 \times 2\sqrt2 \) |
| = 18 + 2×2×2√5 |
| = 18 + 8√5 |
অতএব, (\(\sqrt{10}\) + √8) বড়ো ।
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ-
2 + √3 এবং 2 – √3
(iv) \(\sqrt{72}\) থেকে কত বিয়োগ করলে \(\sqrt{32}\) হবে তা লিখি ।
সমাধানঃ-
ধরি, \(\sqrt{72}\) থেকে \(x\) বিয়োগ করলে \(\sqrt{32}\) হবে
| \(\sqrt{72} – x = \sqrt{32}\) |
| বা, \(\sqrt{36\times 2} – x = \sqrt{16\times2}\) |
| বা, \(x = 6\sqrt2 – 4\sqrt2\) |
| বা, x = 2√2 |
(v)
(\(\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\))
-এর সরলতম মান লিখি ।
সমাধানঃ-
| (\(\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\)) |
| =(\(\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4-\sqrt3)(\sqrt4+\sqrt3)}\)) |
| = \(\frac{\sqrt2-1}{2-1}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{4-3}\) |
| = √2 – 1 + √3 – √2 + √4 – √3 |
| = √4 – 1 |
| = 2 – 1 = 1 |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 9.3 Class 10|Koshe Dekhi 9.3 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।