শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – ভেদ ; কষে দেখি 13
কষে দেখি 13 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 13 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 13, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 13 নম্বর অধ্যায়|Chapter 13 ভেদ | Variation এর অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 13 Class 10 এর অঙ্ক গুলি বঝার জন্যে যে যে বিষয় জানতে হবে তা আলোচনা করা হলো-
সরল ভেদঃ
ব্যস্ত ভেদঃ
যৌগিক ভেদের উপপাদ্যঃ
x,y,z তিনটি চল এরূপ যে x ∝ y যখন z ধ্রুবক এবং x ∝ z যখন y ধ্রুবক, তাহলে x ∝ yz হবে, y এবং z উভয়েই পরিবর্তিত হয়।
আগামিতে এই কষে দেখি 13 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 13 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 13 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে। |
কষে দেখি 13 Class 10|Koshe Dekhi 13 Class 10
1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি
| A | 25 | 30 | 45 | 250 |
| B | 10 | 12 | 18 | 100 |
A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।
সমাধানঃ-
দেখছি A- এর মান বাড়লে B- এর মান বাড়ছে
অর্থাৎ, A এবং B সরল ভেদে আছে।
আবার,
\(\frac{A}{B}=\frac{25}{10}=\frac{30}{12}=\frac{45}{18}=\frac{250}{100}=\frac{5}{2}\)
অতএব, A = \(\frac{5}{2}\)B
⇒ A ∝ B এবং এখানে ধ্রুবক = \(\frac{5}{2}\)
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি
| x | 18 | 8 | 12 | 6 |
| y | 3 | \(\frac{27}{4}\) | \(\frac{9}{2}\) | 9 |
x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।
সমাধানঃ-
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি, x- এর মান বাড়লে y- এর মান কমছে আবার x- এর মান কমলে y- এর মান বাড়ছে , অর্থাৎ x এবং y ব্যস্ত ভেদে আছে।
আবার,
\(18\times 3 = 8\times \frac{27}{4}=12\times \frac{9}{2}=6\times 9 = xy\)
অতএব, x ∝ \(\frac{1}{y}\) এবং এখানে ধ্রুবকের মান 54.
3.
(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
ধরি, সময় = T এবং পথের দূরত্ব = D
যেহেতু গতিবেগ একই রেখে, সময় বাড়লে অতিক্রান্ত পথের দূরত্বও বাড়বে।
সুতরাং, T ও D সরল ভেদে আছে।
সুতরাং, T ∝ D
অতএব, T = kD [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
এখন দেওয়া আছে T = 25 এবং D = 14
সুতরাং,
| 25 = k.14 |
| বা, k = \(\frac{25}{14}\) |
অতএব, T = \(\frac{25D}{14}\) ——(i)
এখন 5 ঘণ্টা = 300 মিনিট.
অতএব, (i) নং সমীকরণে T = 300 বসিয়ে পাই,
| 300 = \(\frac{25D}{14}\) |
| বা, D = \(\frac{300\times 14}{25}\) |
| বা, D = 168 |
- বিপিন কাকু 5 ঘণ্টায় 168 কিমি. পথ যাবেন।
(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
ধরি, শিশুর সংখ্যা = N এবং প্রত্যেকটি শিশুর পাওয়া সন্দেশের সংখ্যা = S
সন্দেশের সংখ্যা একই রেখে, শিশুর সংখ্যা কমলে প্রত্যকটি শিশুর পাওয়া সন্দেশের সংখ্যা বাড়বে।
সুতরাং, শিশুর সংখ্যা ও প্রত্যেকটি শিশুর পাওয়া সন্দেশের সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে আছে।
অর্থাৎ, N ∝ \(\frac{1}{S}\)
অতএব, N = \(\frac{k}{S}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
এখন দেওয়া আছে, N = 24 হলে S = 5 হবে,
সুতরাং,
| 24 = \(\frac{k}{5}\) |
| বা, k = 120 |
অতএব, N = \(\frac{120}{S}\) ——–(i)
এখন (i) নং সমীকরণে N = 24-4 = 20 বসিয়ে পাই,
| 20 = \(\frac{120}{S}\) |
| বা, S = \(\frac{120}{20}\) |
| বা, S = 6 |
(iii) একটি পুকুর কাটাতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
ধরি, সময় = T এবং গ্রামবাসীর সংখ্যা = N
এখানে পুকুরের পরিমাণ একই রেখে, সময় কমলে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়াতে হবে, অর্থাৎ T এবং N ব্যস্ত ভেদে আছে।
সুতরাং, T ∝ \(\frac{1}{N}\)
অতএব, T = \(\frac{k}{N}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
এখন দেওয়া আছে, T = 18 হলে N = 50 হবে,
সুতরাং,
| 18 = \(\frac{k}{50}\) |
| বা, k = 900 |
অতএব, T = \(\frac{900}{N}\) ——–(i)
এখন (i) নং সমীকরণে T = 15 বসিয়ে পাই,
| 15 = \(\frac{900}{N}\) |
| বা, N = \(\frac{900}{15}\) |
| বা, N = 60 |
সুতরাং, আরও 60-50 = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।
4.
(i) y, x – এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6.
সমাধানঃ-
y, x – এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে
অর্থাৎ, y ∝ √x
সুতরাং, y = k√x [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
দেওয়া আছে y = 9 যখন x = 9
সুতরাং,
| 9 = k √9 |
| বা, k = \(\frac{9}{3}\) |
| বা, k = 3 |
অতএব, y = 3√x ——(i)
এখন, (i) নং সমীকরণে y = 6 বসিয়ে পাই,
| 6 = 3√x |
| বা, √x = 2 |
| বা, x = 22 |
| বা, x = 4 |
(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z=5 হলে x =3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
অর্থাৎ, x ∝ \(\frac{y}{z}\)
সুতরাং, \(x = \frac{ky}{z}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
এখন দেওয়া আছে, y = 4, z=5 হলে x =3 হয়
সুতরাং,
| \(3 = \frac{4k}{5}\) |
| বা, \(k = \frac{15}{4}\) |
অর্থাৎ, \(x = \frac{15y}{4z}\) ——(i)
এখন, (i) নং সমীকরণে y = 16, z = 30 বসিয়ে পাই,
| \(x = \frac{15\times 16}{4 \times 30}\) |
| বা, x = 2 |
(iii) x y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = \(\frac{1}{6}\) হয়। x, y ও z-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y = 6 ও z = \(\frac{1}{5}\) হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
অর্থাৎ, \(x ∝ \frac{y}{z}\)
সুতরাং, \(x = \frac{ky}{z}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
এখন দেওয়া আছে, y = 5, z = 9 হলে x =\(\frac{1}{6}\) হয়
সুতরাং,
| \(\frac{1}{6} = \frac{5k}{9}\) |
| বা, \(k = \frac{3}{10}\) |
অর্থাৎ, \(x = \frac{3y}{10z}\) ——(i)
- x, y ও z এর মধ্যে সম্পর্কটি হল-
\(x = \frac{3y}{10z}\)
এখন, (i) নং সমীকরণে y = 6, z = \(\frac{1}{5}\) বসিয়ে পাই,
| \(x = \frac{3\times 6}{10 \times \frac{1}{5}}\) |
| বা, x = 9 |
5.
(i) x∝y হলে, দেখাই যে, x + y ∝ x – y
সমাধানঃ-
| x ∝ y |
| ⇒ x = ky [k একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
এখন,
| \(\frac{x+y}{x-y}\) |
| = \(\frac{ky+y}{ky-y}\) |
| = \(\frac{y(k+1)}{y(k-1)}\) |
| = \(\frac{k+1}{k-1}\) |
| = n [যেখানে n একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| অতএব, x + y = n(x – y) |
| ⇒ x + y ∝ x – y |
(ii) A∝\(\frac{1}{C}\), C∝\(\frac{1}{B}\) হলে, দেখাই যে, A ∝ B
সমাধানঃ-
| A∝\(\frac{1}{C}\) |
| ⇒ A = \(\frac{k}{C}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক] ——-(i) |
আবার,
| C∝\(\frac{1}{B}\) |
| ⇒ C = \(\frac{k’}{B}\) [k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] —–(ii) |
(ii) নং সমীকরণ থেকে C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
| A = \(\frac{k}{\frac{k’}{B}}\) |
| বা, A = \(\frac{k}{k’}\)B |
| ⇒ A ∝ B [ ∵ \(\frac{k}{k’}\) একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
(iii) যদি a∝b, b∝\(\frac{1}{c}\) এবং c∝d হয়, তবে a ও d এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
সমাধানঃ-
| a∝b |
| ⇒ a = kb [k একটি অশূন্য ধ্রুবক] —-(i) |
| b∝\(\frac{1}{c}\) |
| ⇒ b = \(\frac{k’}{c}\) [k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] —-(ii) |
| c∝d |
| ⇒ c = k”d [k” একটি অশূন্য ধ্রুবক] —-(iii) |
অতএব,
| a |
| = kb |
| = k\(\frac{k’}{c}\) |
| = k\(\frac{k’}{k”d}\) |
| ∴ a = \(\frac{kk’}{k”}\)×\(\frac{1}{d}\) |
| ⇒ a ∝ \(\frac{1}{d}\) |
(iv) x∝y, y∝z এবং z∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| x∝y |
| ⇒ x = ky [k একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| ⇒ k = \(\frac{x}{y}\) —–(i) |
| y∝z |
| ⇒ y = k’z [k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| ⇒ k’ = \(\frac{y}{z}\) —–(ii) |
| z∝x |
| ⇒ z = k”x [k” একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| ⇒ k” = \(\frac{z}{x}\) —–(iii) |
এখন, (i), (ii) ও (iii) নং থেকে k, k’ ও k” এর গুণ করে পাই,
| k.k’.k” |
| = \(\frac{x}{y}\)×\(\frac{y}{z}\)×\(\frac{z}{x}\) |
| = 1 |
- সুতরাং, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল = 1
6. x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে,
এখানে দেওয়া আছে
| x + y ∝ x – y |
| ⇒ x + y = k(x – y) [k একটি অশুন্য ধ্রুবক] |
| বা, \(\frac{x+y}{x-y} = k\) |
| বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y} = \frac{k+1}{k-1}\) [সংযোজন ও বিয়োজন নিয়ম থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{2x}{2y} =k’\) [যেখানে k’ = \(\frac{k+1}{k-1}\) একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, \(\frac{x}{y} = k’\) |
| বা, x = k’y ——-(1) |
(i) x2 + y2 ∝ xy
সমাধানঃ-
| \(\frac{x^2+y^2}{xy}\) |
| = \(\frac{(k’y)^2 + y^2}{k’y.y}\) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{{k’}^2y^2 + y^2}{k’y^2}\) |
| = \(\frac{({k’}^2 + 1)y^2}{k’y^2}\) |
| = \(\frac{{k’}^2 + 1}{k’}\) = একটি অশূন্য ধ্রুবক |
| ⇒ x2 + y2 ∝ xy |
(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3
সমাধানঃ-
| \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\) |
| = \(\frac{(k’y)^3+y^3}{(k’y)^3 – y^3}\) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{{k’}^3y^3+y^3}{{k’}^3y^3 – y^3}\) |
| = \(\frac{({k’}^3+1)y^3}{({k’}^3 – 1)y^3}\) |
| = \(\frac{{k’}^3+1}{{k’}^3 – 1}\) = একটি অশূন্য ধ্রুবক |
| ⇒ x3 + y3 ∝ x3 – y3 |
(iii) ax+by ∝ px+qy [যেখানে a, b, p q অশূন্য ধ্রুবক]
সমাধানঃ-
| \(\frac{ax+by}{px+qy}\) |
| = \(\frac{ak’y+by}{pk’y+qy}\) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| = \(\frac{(ak’+b)y}{(pk’+q)y}\) |
| = \(\frac{ak’+b}{pk’+q}\) = একটি অশূন্য ধ্রুবক |
| ⇒ ax+by ∝ px+qy |
7.
(i) a2+b2 ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
সমাধানঃ-
| a2+b2 ∝ ab |
| ⇒ a2+b2 = kab [k একটি অশূন্য ধ্রুবক ] |
| বা, \(\frac{a^2+b^2}{ab} = k\) |
| বা, \(\frac{a^2+b^2}{2ab} = \frac{k}{2}\) |
| বা, \(\frac{a^2+b^2 + 2ab}{a^2+b^2-2ab} = \frac{k+2}{k-2}\) [[সংযোজন ও বিয়োজন নিয়ম থেকে পাই]] |
| বা, \(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{k+2}{k-2} \) |
| বা, \(\frac{a+b}{a-b} = \sqrt(\frac{k+2}{k-2}) = k’ \) [ধরি, k’ = \( \sqrt(\frac{k+2}{k-2})\)] |
| ⇒ a + b ∝ a – b |
(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3 হলে, প্রমাণ করি যে, x+y ∝ x-y
সমাধানঃ-
| x3 + y3 ∝ x3 – y3 |
| ⇒ x3 + y3 = k( x3 – y3) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} = k\) |
| বা, \(\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3} = \frac{k+1}{k-1}\) [[সংযোজন ও বিয়োজন নিয়ম থেকে পাই]] |
| বা, \(\frac{2x^3}{2y^3} = \frac{k+1}{k-1}\) |
| বা, \(\frac{x^3}{y^3} = \frac{k+1}{k-1} = k’^3\) [ধরি, \(k’^3 = \frac{k+1}{k-1}\)] |
| বা, \(\frac{x}{y} = k’\) |
| বা, \(\frac{x+y}{x-y} = \frac{k’+1}{k’-1}=k”\) [[সংযোজন ও বিয়োজন নিয়ম থেকে পাই]] [ধরি, \(k” = \frac{k’+1}{k’-1}\)] |
| বা, \(\frac{x+y}{x-y} = k”\) |
| ⇒ x+y ∝ x-y |
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি,
| কৃষক সংখ্যা = A |
| দিন সংখ্যা = B |
| এবং জমির পরিমাণ = C |
যেহেতু কৃষকের সংখ্যা এবং দিন সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।
সুতরাং, A ∝ \(\frac{1}{B}\), যখন C ধ্রুবক
আবার, যেহেতু দিন সংখ্যা অপরিবর্তিত রাখলে কৃষক সংখ্যা ও জমির পরিমাণ সরল ভেদে থাকে।
সুতরাং, A ∝ C, যখন B ধ্রুবক।
অতএব, যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে,
A ∝ \(\frac{C}{B}\), যখন B ও C উভয়েই পরিবর্তনশীল।
অর্থাৎ, A = k\(\frac{C}{B}\) [k একটি অশূন্য ধ্রুবক ] ——-(i)
প্রদত্ত A = 15, B = 5 এবং C = 18
(i) নং থেকে পাই,
| 15 = k\(\frac{18}{5}\) |
| বা, k = \(\frac{25}{6}\) |
এবার (i) নং এ k-এর মান বসিয়ে পাই,
A = \(\frac{25C}{6B}\) ——(ii)
এখন, A = 10 এবং C = 12 হলে (ii) নং থেকে পাই,
| 10 = \(\frac{25\times 12}{6B}\) |
| বা, B = \(\frac{25 \times 12}{6 \times 10}\) |
| বা, B = 5 |
- 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1\(\frac{1}{2}\), 2 এবং 2\(\frac{1}{2}\) মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
সমাধানঃ-
মনে করি, 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো গোলকের আয়তন v ঘন সেমি.
সুতরাং, v∝r
v=kr [এখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
এখন তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে,
| \(\frac{1\frac{1}{2}}{2}\) = \(\frac{3}{4}\) মিটার. | \(\frac{2}{2}\) = 1 মিটার. | \(\frac{\frac{5}{2}}{2}\) = \(\frac{5}{4}\) মিটার. |
| \(\frac{3}{4}\) মি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন | = k\(\frac{27}{64}\) ঘন মিটার. |
| 1 মিটার. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন | = k ঘন মিটার. |
| \(\frac{5}{4}\) মিটার. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন | = k\(\frac{125}{64}\) ঘন মিটার. |
এখন ধরি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = R মিটার.
প্রশ্নানুসারে,
| নতুন গোলকের আয়তন = তিনটি গোলকের আয়তন |
| বা, kR3 = k\(\frac{27}{64}\) + k + k\(\frac{125}{64}\) |
| বা, R3 = \(\frac{27+64+125}{64}\) |
| বা, R3 = \(\frac{216}{64}\) |
| বা, R= \(\frac{6}{4}\) = \(\frac{3}{2}\) |
| বা, 2R = 3 |
- নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার.
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y=-1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি, y = m + n, যেখানে m, x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং n, x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে।
সুতরাং,
| m = kx [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| এবং n = \(\frac{k’}{x}\) [যেখানে k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
অতএব, y = kx + \(\frac{k’}{x}\) ——-(i)
প্রদত্ত x = 1 হলে y=-1 এবং x = 3 হলে y = 5
অতএব, (i) নং থেকে পাই,
| – 1 = k + k’ বা, k + k’ = – 1 ——(ii) |
| এবং |
| 5 = 3k + \(\frac{k’}{3}\) বা, 9k + k’ = 15 —-(iii) |
এখন, (iii) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
| 9k + k’ – k – k’ = 15 + 1 |
| বা, 8k = 16 |
| বা, k = 2 |
এখন k = 2 (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
| 2 + k’ = – 1 |
| বা, k’ = -3 |
k ও k’ এর মান বসিয়ে (i) নং সমীকরণটি পাই,
\(y = 2x – \frac{3}{x}\)
11. a∝b, b∝c হলে দেখাই যে, a3b3+b3c3+c3a3 ∝ abc(a3+b3+c3)
সমাধানঃ-
| b∝c |
| ⇒ b = qc [যেখানে q একটি অশূন্য ধ্রুবক] ———-(i) |
আবার,
| a∝b |
| ⇒ a = k’b [যেখানে k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, a = k’qc [(i) নং থেকে পাই] |
| বা, a = kc [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] ——–(ii) |
এখন,
| \(\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}\) |
| = \(\frac{(kc)^3(qc)^3+(qc)^3c^3+c^3(kc)^3}{(kc)(qc)c[(kc)^3+(qc)^3+c^3]}\) |
| = \(\frac{k^3c^3.q^3c^3+q^3c^3.c^3+c^3.k^3c^3}{kqc^3(k^3c^3+q^3c^3+c^3)}\) |
| = \(\frac{k^3q^3c^6+q^3c^6+k^3c^6}{kqc^3(k^3+q^3+1)c^3}\) |
| = \(\frac{(k^3q^3+q^3+k^3)c^6}{kq(k^3+q^3+1)c^6}\) |
| = \(\frac{(k^3q^3+q^3+k^3)}{kq(k^3+q^3+1)}\) |
| = একটি অশূন্য ধ্রুবক [যেহেতু k এবং q একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| ⇒ a3b3+b3c3+c3a3 ∝ abc(a3+b3+c3) |
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x2-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কৃপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তাবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x2-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
অতএব,
যদি মোট ব্যয় y টাকা হয় তাহলে ভেদতত্ত্ব থেকে সমীকরণটি হবে,
\(y = px + qx^2\) ——(i)
যেখানে p ও q প্রত্যেকে একটি অশূন্য ধ্রুবক।
প্রদত্ত 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কৃপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়।
অতএব (i) নং থেকে পাই,
| 5000 = 100p + 10000q বা, p + 100q = 50 ——(ii) |
| এবং |
| 12000 = 200x + 40000q বা, p + 200q = 60 ——-(ii) |
এখন (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
| p + 200q – p – 100q = 60 – 50 |
| বা, 100q = 10 |
| বা, q = \(\frac{1}{10}\) |
এখন q = \(\frac{1}{10}\) (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
| p + \(\frac{200}{10}\) = 60 |
| বা, p = 60 – 20 |
| বা, p = 40 |
এই p ও q এর মান (i) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(y = 40x + \frac{x^2}{10}\) —-(iii)
(iii) নং সমীকরণে x = 250 বসিয়ে পাই,
| \(y = 40\times 250 + \frac{250\times 250}{10}\) |
| বা, y = 10000 + 6250 |
| বা, y = 16250 |
- সুতরাং, 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে ।
13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি,
| চোঙের আয়তন | = V |
| ভুমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য | = R |
| চোঙের উচ্চতা | = H |
প্রশ্নানুসারে, চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে।
অতএব, V ∝ R2H
⇒ V = kR2H [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক ]
এখন ধরি, দুটি চোঙের
| ব্যাসার্ধ | R’ এবং R” |
| উচ্চতা | H’ এবং H” |
| আয়তন | V’ এবং V” |
এখন দুটি চোঙের আয়তনের অনুপাত
| = \(V’ : V”\) |
| = \(kR’^2H’ : kR”^2H”\) |
| = \(\frac{R’^2H’}{R”^2H”}\) |
| = \((\frac{R’}{R”})^2 \times \frac{H’}{H”}\) |
| = \((\frac{2}{3})^2 \times \frac{5}{4}\) |
| = \(\frac{4 \times 5}{9 \times 4}\) |
| = \(\frac{5}{9}\) |
| = \(5 : 9\) |
14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি,
| জমির পরিমাণ | A |
| লাঙলের সংখ্যা | B |
| সময় | C |
এখন সময় একই থাকলে জমির পরিমাণ ও লাঙল সংখ্যা সরল ভেদে থাকবে।
আবার, লাঙলের সংখ্যা একই থাকলে জমির পরিমাণ বাড়লে সময় ও বেশি লাগবে।
সুতরাং, ভেদের যৌগিক উপপাদ্য প্রয়গ করে পাই,
A ∝ BC
⇒ A = kBC [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] —(i)
প্রদত্ত 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগে।
অতএব (i) নং থেকে পাই,
| 2400 = k × 25 × 36 |
| বা, k = \(\frac{8}{3}\) |
k-এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
A = \(\frac{8}{3}\)BC ——(ii)
এখন A = 1200 এবং C = 30, (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
[∵ অর্ধেক জমি ট্রাক্টরটির 30 দিন লাগে, সুতরাং এখানে অর্ধেক জমি A= 1200 বিঘা]
| 1200 = \(\frac{8}{3}\) × B × 30 |
| বা, B = \(\frac{1200 \times 3}{8 \times 30}\) |
| বা, B = 15 |
- সুতরাং, একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে।
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
সমাধানঃ-
ধরি,
| গোলকের আয়তন | = V |
| গোলকের ব্যাসার্ধ | = R |
| গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল | = S |
গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়
সুতরাং , \(V\) ∝ \(R^3\)
⇒ \(V = pR^3\) [যেখানে p একটি অশূন্য ধ্রুবক] ———(i)
আবার, গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
সুতরাং , \(S\) ∝ \(R^2\)
এখন আয়তনের বর্গ,
| \(V^2\) |
| = \((pR^3)^2\) |
| = \(p^2R^6\) |
| = \(p^2(R^2)^3\) |
| = \(k^3(R^2)^3\) [ধরি, \(k^3 = p^2\) একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| = \((kR^2)^3\) |
| ⇒ \(V^2\) ∝ \(S^3\) |
- সুতরাং, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) x ∝ \(\frac{1}{y}\) হলে,
উত্তরঃ (d) xy= অশূন্য ধ্রুবক
(ii)যদি x ∝ y হয়, তখন
উত্তরঃ (d) x2 ∝ y2
(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2: y = 16 হলে, x এর মান
উত্তরঃ (b) 4
সমাধানঃ-
x ∝ y ⇒ x = ky [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
প্রদত্ত y = 8 যখন x = 2
অতএব, 2 = k×8 বা, k = \(\frac{1}{4}\)
অতএব, x = \(\frac{y}{4}\) বা, y = 4x —(i)
এখন, y = 16 (i) নং এ বসিয়ে পাই,
4x = 16
বা, x = 4
(iv) x ∝ y2 এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
উত্তরঃ (b) 8
সমাধানঃ-
x ∝ y2 ⇒ x = ky2 [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
প্রদত্ত y = 4 যখন x = 8
অতএব, 8 = k×16 বা, k = \(\frac{1}{2}\)
অতএব, x = \(\frac{y^2}{2}\) বা, y2 = 2x —(i)
এখন, x = 32 (i) নং এ বসিয়ে পাই,
y2 = 2×32
বা, y = 8 [ধনাত্মক মান]
(v) যদি y – z ∝ \(\frac{1}{x}\), z – x ∝ \(\frac{1}{y}\) + এবং x – y ∝ \(\frac{1}{z}\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
উত্তরঃ (a) 0
সমাধানঃ-
| y – z ∝ \(\frac{1}{x}\) |
| ⇒ y – z = k.\(\frac{1}{x}\) [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] বা, k = xy – xz ——(i) |
| z – x ∝ \(\frac{1}{y}\) |
| ⇒ z – x = k’.\(\frac{1}{y}\) [যেখানে k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] বা, k’ = yz – xz ——(ii) |
| x – y ∝ \(\frac{1}{z}\) |
| ⇒ x – y = k”.\(\frac{1}{z}\) [যেখানে k” একটি অশূন্য ধ্রুবক] বা, k” = zx – yz ——(iii) |
(i), (ii) ও (iii) নং থেকে ধ্রুবক তিনটির যোগ করে পাই,
| k + k’ + k” |
| = xy – xz + yz – xz + xz – yz |
| = 0 |
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) y ∝ \(\frac{1}{x}\) হলে, \(\frac{y}{x}\) = অশূন্য ধ্রুবক
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z
উত্তরঃ সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) x ∝ \(\frac{1}{y}\) এবং y ∝ \(\frac{1}{z}\) হলে, x ∝ ______
উত্তরঃ z
(ii) x ∝ y হলে, xn ∝ ______
উত্তরঃ yn
(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y+z) ∝ ______
উত্তরঃ (y+z) ∝ x
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x ∝ y2 এবং y = 2a যখন x=a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| x ∝ y2 |
| ⇒ x = ky2 [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] ———-(i) |
প্রদত্ত y = 2a যখন x=a
অতএব (i) নং থেকে পাই,
| a = k.(2a)2 |
| বা, k = \(\frac{1}{4a}\) |
k- এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x = \(\frac{y^2}{4a}\)
বা, y2 = 4ax
(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| x ∝ y |
| ⇒ x = ky [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, k = \(\frac{x}{y}\) ——–(i) |
| y ∝ z |
| ⇒ y = pz [যেখানে p একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, p = \(\frac{y}{z}\) ——–(ii) |
| z ∝ x |
| ⇒ z = qx [যেখানে q একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, q = \(\frac{z}{x}\) ——–(iii) |
(i), (ii) ও (iii) নং থেকে ধ্রুবক তিনটি গুণ করে পাই,
| k×p×q |
| = \(\frac{x}{y}\) × \(\frac{y}{z}\) × \(\frac{z}{x}\) |
| = 1 |
(iii) x ∝ \(\frac{1}{y}\) এবং y ∝ \(\frac{1}{z}\) হলে, x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| y ∝ \(\frac{1}{z}\) |
| ⇒ y = \(\frac{k}{z}\) [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] ——-(i) |
আবার,
| x ∝ \(\frac{1}{y}\) |
| ⇒ x = \(\frac{p}{y}\) [যেখানে p একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, x = \(\frac{p}{\frac{k}{z}}\) [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| বা, x = \(\frac{p}{k}\)×z |
| ⇒ x ∝ z [∵ \(\frac{p}{k}\) একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| অতএব x, z এর সঙ্গে সরল ভেদে আছে। |
(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধানঃ-
| x ∝ yz |
| ⇒ x = kyz [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক] ——-(i) |
আবার,
| y ∝ zx |
| ⇒ y = k’zx [যেখানে k’ একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, y = k’z(kyz) [(i) নং থেকে পাই] |
| বা, kk’z2 = 1 |
| বা, z2 = \(\frac{1}{kk’}\) = p2 [ধরি, \(\frac{1}{kk’}\) = p2 একটি অশূন্য ধ্রুবক] |
| বা, z2 = p2 |
| বা, z = ∓ p |
| সুতরাং z একটি অশূন্য ধ্রুবক। |
(v) যদি b ∝ a3 হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
b ∝ a3, অর্থাৎ b, a এর ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল ভেদে আছে।
সুতরাং a-এর বৃদ্ধি যদি 2:3 অনুপাতে হয় তাহলে b -এর বৃদ্ধি হবে
= 23 : 33
= 8 : 27 অনুপাতে।
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 13 Class 10|Koshe Dekhi 13 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।