কষে দেখি 10 Class 10 ।বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি Class 10| Koshe Dekhi 10 Class 10 WBBSE.

শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য ; কষে দেখি 10

কষে দেখি 10 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-

Table of Contents

কষে দেখি 10 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ

এই কষে দেখি 10, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 10 নম্বর অধ্যায়|Chapter 10 বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য | Theorems Related To Cyclic Quadrilateral এর অনুশীলনী।

এই কষে দেখি 10 Class 10 এর অঙ্ক গুলি বঝার জন্যে যে যে বিষয় এবং উপপাদ্য জানতে হবে তা আলোচনা ক্রা হলো-

কষে দেখি 10 Class 10 এর অংক করার জন্যে উপপাদ্য 38

উপপাদ্য 38:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমপূরক।

কষে দেখি 10 Class 10 এর অংক করার জন্যে উপপাদ্য 39

উপপাদ্য 39:
কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সমপূরক হলে, চতুর্ভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ হবে।

অনুসিদ্ধান্তঃ

একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণটি উৎপন্ন হয় তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান হবে।

পাদত্রিভুজ কাকে বলে?

কোনো ত্রিভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত সরলরেখা যে যে বিন্দুতে ছেদ করবে সেই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজকে মূল ত্রিভুজের পাদ ত্রিভুজ বলে।

আগামিতে এই কষে দেখি 10 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?

কষে দেখি 10 Class 10|Koshe Dekhi 10 Class 10

1. পাশের ছবির

PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS =65° এবং ∠RQS = 45° ; ∠SQP ও ∠RSP-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

∠SQP = ∠PRS = 65° [একই বত্তাংশস্থ কোণ]

আবার, ∠PQR এবং ∠PSR বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ PQRS এর বিপরীত কোণ।

সুতরাং,

∠PQR + ∠PSR = 180°

বা, ∠PSR = 180° – ∠PQR

বা, ∠PSR = 180° – ∠SQR – ∠PQS

বা, ∠PSR = 180° – 45° – ∠65°

বা, ∠PSR = 70°

2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

∠XBC, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর বর্ধিত AB বাহুর বহিঃস্থ কোণ।

সুতরাং,

∠ADC = ∠XBC

বা, ∠BDA + ∠BDC = ∠XBC

বা, ∠BDC = ∠XBC – ∠BDA

বা, ∠BDC = 82° – 47° = 35°

আবার, ∠BAC = ∠BDC = 35° [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]

3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠QOR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

SR উপচাপের,

কেন্দ্রস্থ কোণ	∠SOR
বৃত্তস্থ কোণ	∠SQR

সুতরাং,

∠SOR = 2∠SQR

বা, ∠SQR = \(\frac{1}{2}\)∠SOR

বা, ∠SQR = \(\frac{1}{2}\)×80° = 40°

এখন,

QR উপচাপের,

কেন্দ্রস্থ কোণ	∠QOR
বৃত্তস্থ কোণ	∠QSR

সুতরাং,

∠QOR = 2∠QSR

বা, ∠QSR = \(\frac{1}{2}\)∠QOR

বা, ∠QSR = \(\frac{1}{2}\)×60° = 30°

আবার।

PQ উপচাপের,

কেন্দ্রস্থ কোণ	∠POQ
বৃত্তস্থ কোণ	∠PSQ

সুতরাং,

∠POQ = 2∠PSQ

বা, ∠PSQ= \(\frac{1}{2}\)∠POQ

বা, ∠PSQ= \(\frac{1}{2}\)×110° = 55°

PQRS চতুর্ভুজের বর্ধিত PQ এর জন্যে ∠RQT একটি বহিঃস্থ কোণ।

⇒ ∠RQT = ∠PSR

বা, ∠RQT = ∠PSQ + ∠QSR

বা, ∠RQT = 55° + 30° = 85° ——(i)

একইরকম ভাবে,

∠QRT

= ∠SPQ

= ∠SPR + ∠QPR

= \(\frac{1}{2}\)∠SOR + \(\frac{1}{2}\)∠ROQ

= \(\frac{1}{2}\)×80° + \(\frac{1}{2}\)×60°

= 40° + 35° = 75°

এখন ▲RTQ এর

∠RTQ + ∠QRT + ∠RQT = 180°

বা, ∠RTQ = 180° – ∠QRT – ∠RQT

বা, ∠RTQ = 180° – 70° – 85°

বা, ∠RTQ = 25°

4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC || BD

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, AC || BD

অঙ্কনঃ

P,Q যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BPQD এর বর্ধিত BP বাহুর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠APQ = ∠BDQ —–(i)

আবার, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ PQCA এর,

∠ACQ + ∠QPA = 180°

বা, ∠ACQ + ∠BDQ = 180° [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

সুতরাং আমরা পেলাম, BD ও AC সরলরেখার

ভেদক DC এবং ∠ACQ + ∠BDQ = 180°

⇒ AC || BD

5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করি যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

অঙ্কনঃ

∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক AF এবং ∠DCE এর সমদ্বিখণ্ডক HF, F বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

এবং A,C যুক্ত করলাম এবং AF, BC বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণঃ

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত BE বাহুর জন্যে বহিঃস্থ ∠DCE

অতএব,

∠DCE = ∠BAD

বা, \(\frac{1}{2}\)∠DCE = \(\frac{1}{2}\)∠BAD

বা, ∠BAG = ∠HCE
[∵ AG বাহু ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CH বাহু ∠DCE এর সমদ্বিখণ্ডক ]

বা, ∠BAG = ∠HCE = ∠GCF
[∵ ∠HCE = বিপ্রতীপ ∠GCF] ——(i)

আবার, ∠AGB = বিপ্রতীপ ∠FGC ——-(ii)

এখন ▲ABG ও ▲GFC থেকে পাই,

∠BAG + ∠ABG + ∠AGB = 180° ——(iii)

এবং

∠GPC + ∠FGC + ∠GCF = 180° ——(iv)

(iii) ও (iv) সমান করে পাই,

∠BAG + ∠ABG + ∠AGB = ∠GPC + ∠FGC + ∠GCF

বা, ∠BAG + ∠ABG + ∠AGB = ∠GPC + ∠AGB + ∠BAG [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

বা, ∠ABG = ∠GFC

বা, ∠ABC = ∠AFC

অতএব, AC সরলরেখার একই পার্শ্বে দুটি কোণ ∠ABC = ∠AFC

সুতরাং, A,B,F,C সমবৃত্তস্থ।

⇒ F বৃত্তের উপর অবস্থিত।

6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, ▲XAC ও ▲XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করা হয়েছে যারা বৃত্তকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, ▲XAC ও ▲XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

প্রমাণঃ

উভয় ত্রিভুজের ∠X সমান।

আবার, ACDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু DX এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠ACX

⇒ ∠ACX = ∠XBD

সুতরাং , দুটি ত্রিভুজের দুটি করে কোণ সমান।

7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = RS

অঙ্কনঃ

P, R; G, H এবং Q, S যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু RS এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠GHS

⇒ ∠GHS = ∠RPG ——(i)

আবার, GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু QP এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠PGH

⇒ ∠PGH = ∠HSQ ——(ii)

আবার, PQ || RS এবং GH ভেদক

⇒ ∠GHS = একান্তর∠PGH —–(iii)

এখন (i) ও (iii) নং থেকে পাই,

∠RPQ = ∠PGH —–(iv)

আবার, (ii) ও (iv) নং থেকে পাই,

∠RPQ = ∠HSQ

একইরকমভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারবো ,

∠PRS = ∠HSQ

অতএব, আমরা পেলাম PRSQ চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু PQ || RS এবং বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।

⇒ PRSQ একটি সামান্তরিক

⇒ PQ = RS

8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। ▲ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। ▲ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACD = ∠AEC

প্রমাণঃ

দেওয়া আছে AB=AC ⇒ ∠ABC = ∠ACB

এখন, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু AE এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠CDE

⇒ ∠CDE = ∠ABC = ∠ACB ——(i)

আবার, ∠BCD, ▲DCE এর বহিঃস্থ কোণ

সুতরাং,

∠BCD = ∠CDE + ∠DEC

বা, ∠BCA + ∠ACD = ∠BCA + ∠DEC
[(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

বা, ∠ACD = ∠DEC

বা, ∠ACD = ∠AEC

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

অঙ্কনঃ

BA বাহুকে G পর্যন্ত এবং CD বাহুকে F পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।

প্রমাণঃ

AEDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু BG এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠EAG

⇒ ∠EAG = ∠EDB ——(i)

আবার, ∠EDB = ∠EDF [∵DE, ∠FDB এর সমদ্বিখণ্ডক] —-(ii)

এখন,

AEDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু CF এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠EDF

⇒ ∠EDF = ∠EAB ——(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং থেকে পাই,

∠EAG = ∠EAB

⇒ AE, ∠GAC এর সমদ্বিখণ্ডক

⇒ AE, ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, ▲AEF ও ▲ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ এবং এর থেকে প্রমাণ করতে হবে ▲AEF ও ▲ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

অঙ্কনঃ FE বাহুকে উভয়দিকে G ও H পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।

প্রমাণঃ

BC বাহুর একই পার্শ্বে ∠BEC = ∠BFC = 90°

সুতরাং, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ

FBCE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু EG এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠GFB

⇒ ∠GFB = ∠ACB ——–(i)

আবার,

FBCE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু FH এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠CEH

⇒ ∠CEH = ∠ABC ——–(ii)

এখন,

∠CEH = বিপ্রতীপ ∠AEF ——-(iii)

এবং

∠GFB = বিপ্রতীপ∠AFE ——(iv)

(i) ও (iv) নং থেকে পাই,

∠ACB = ∠AFE

এবং (ii) ও (iii) নং থেকে পাই,

∠ABC = ∠AEF

অতএব, ▲AEF ও ▲ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কনঃ

E, F যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

ABCD সামান্তরিকের,

∠BAD = ∠BCD ——-(i)

এবং

∠BFE = একান্তর ∠FED [∵ AD || BC এবং EF ভেদক] ——-(ii)

এখন, ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,

∠BAE + ∠BFE = 180°
⇒ ∠BCD + ∠FED = 180° [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

এবং একইরকমভাবে পাবো,

∠EFD + ∠EDC = 180°

অতএব, EFCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমপূরক

⇒ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। ▲BCP এবং ▲CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। ▲BCP এবং ▲CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, P, T, R সমরেখ।

অঙ্কনঃ

C, T যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

AP সরলরেখা থেকে

∠ABC + ∠CBP = 180°

বা, ∠ABC = 180° – ∠CBP ——(i)

CTPB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,

∠CTP + ∠CBP = 180°

বা, ∠CTP = 180° – ∠CBP

বা, ∠CTP = ∠ABC [(i) নং থেকে পাই] —–(ii)

আবার,

CTRD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু RA এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠CDA

⇒ ∠CDA = ∠CTR ——–(iii)

এখন,

∠CTP + ∠CTR

= ∠ABC + ∠CDA [(ii) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

= 180° [∵ ∠ABC ও ∠CDA বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর বিপরীত কোণ ]

⇒ PTR একটি সরলরেখা

13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O এবং পাদত্রিভুজ DEF.

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ DEF এর অন্তঃকেন্দ্র।

প্রমাণঃ

∠ODC + ∠OEC = 90°+90° = 180°

⇒ ODCE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

উক্ত বৃত্তের OE উপচাপের,

∠ODE = ∠OCE

বা, ∠ADE = ∠ACF ——–(i)

আবার, ∠AFC=∠ADC=90°

অর্থাৎ, AFDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং উক্ত বৃত্তের,

∠ADF = ∠ACF ——–(ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

∠ADF = ∠ADE

বা, ∠ODF = ∠ODE

আমরা একইরকমভাবে প্রমাণ করতে পারবো,

∠DFO = ∠OFE

এবং

∠OEF = ∠OED

সুতরাং, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ DEF এর অন্তঃকেন্দ্র।

14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD- কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE = CA

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD- কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, CE = CA

অঙ্কনঃ

B, D যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

DC উপচাপের,

∠CAD = ∠DBC —–(i)

BC উপচাপের,

∠BDC = ∠BAC ——–(ii)

আবার, AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক

⇒ ∠BAC = ∠DAC —–(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং থেকে পাই,

∠DBC = ∠CAD = ∠BAC = ∠BDC

⇒ BC = CD ——(iv)

আবার, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত AE এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠CDE

⇒ ∠CDE = ∠ABC —–(v)

এখন,

▲ABC ও ▲DCE এর মধ্যে,
BA = DE [প্রদত্ত]
BC = CD [(iv) নং থেকে পাই]
∠CDE = ∠ABC [(v) নং থেকে পাই]
⇒ ▲ABC ≅ ▲DCE
⇒ CA = CE [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]

15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে PR = PB

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করা হয়েছে।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB

অঙ্কনঃ

O, R; O, A; O, B যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

▲ORB এর OR=OB ⇒ ∠ORB = ∠OBR —–(i)

▲ORA এর OR=OA ⇒ ∠ORA = ∠OAR —(ii)

আবার, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ OBPA এর,

∠OBP + ∠OAP = 180°

বা, ∠OBP = 180° – ∠OAP

বা, ∠OBP = ∠OAR [RP সরলরেখা]

বা, ∠OBP = ∠ORA [(ii) নং থেকে পাই]
———(iii)

এখন,

∠ORB + ∠ORA = ∠OBR + ∠OBP
[(i) ও (iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই]

বা, ∠BRA = ∠RBP

⇒ ▲PBR এর PB = PR

16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ ।

প্রামাণ্যঃ

প্রমাণ করতে হবে যে, সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

[আমরা প্রমাণ করবো B, C, D, E চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ]

অঙ্কনঃ

B, E যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

আমরা জানি,

একটি n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান
= \(\frac{2(n-2)}{n}\)×90°

অতএব, ABCDE পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান

= \(\frac{2(5-2)}{5}\)×90°

= 108°

এখন, ▲ABE এর AB=AE ⇒ ∠ABE = ∠AEB

অতএব, ▲ABE এর

∠ABE + ∠AEB

= 180° – ∠BAE

= 180° – 108°

= 72°

∴ ∠ABE + ∠AEB = 72°

বা, 2∠ABE = 72°

বা, ∠ABE = 36°

এখন, BCDE চতুর্ভুজের

∠CBE = 108°-∠ABE = 108°-36°=72°

অতএব,

∠CBE + ∠CDE

= 72° + 108°

= 180°

সুতরাং, B, C, D, E চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ ।

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V. S. A. )

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(i) পাশের চিত্রে

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান

উত্তরঃ (c) 30°

সমাধানঃ-

ADCB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,

∠ABC

= 180° – ∠ADC

= 180° – 120°

= 60°

আবার, ▲ABC এর

∠BAC

= 180° – ∠ACB – ∠ABC

= 180° – 90° – 60° [∵ ∠ ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

= 30°

(ii) পাশের চিত্রে

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান

উত্তরঃ (c) 115°

সমাধানঃ-

▲ABC এর,

∠BAC

= 180° – ∠ACB – ∠ABC

= 180° – 90° – 65° [∵ ∠ ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

= 25°

অতএব,

∠BAD = ∠ BAC+∠ DAC=25°+40°=65°

এখন, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর

∠BCD = 180°-∠ BAD=180°-65°=115°

(iii) পাশের চিত্রে

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB || DC এবং ∠BAC = 25° হলে ∠DAC-এর মান

উত্তরঃ (d) 40°

সমাধানঃ-

AB || DC এবং AC ভেদক

⇒ ∠DCA = একান্তর ∠BAC = 25°

এখন, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের

∠BAD = 180° – ∠BCD

বা, ∠BAD = 180° – (∠DCA + ∠ACB)

বা, ∠BAD = 180° – (25° + 90°) [∵ ∠ ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

বা, ∠BAD = 65°

বা, ∠BAC + ∠DAC = 65°

বা, ∠DAC = 65° – ∠BAC

বা, ∠DAC = 65° – 25°

বা, ∠DAC = 40°

(iv) পাশের চিত্রে

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA -কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE || CD ∠ABC = 92″ এবং ∠FAE = 20° হলে, ∠BCD-এর মান

উত্তরঃ (c) 108°

সমাধানঃ-

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু AF জন্যে বহিঃস্থ কোণ ∠DAF

সুতরাং,

∠BCD

= ∠DAF

= ∠DAE + ∠FAE

= ∠ADC + ∠FAE [∵∠ AE || CD এবং AD ভেদক]

= 180° – ∠ABC + ∠FAE
[∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°]

= 180° – 92° + 20°

= 108°

(v) পাশের চিত্রে

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75° হলে, ∠DEF-এর মান

উত্তরঃ (d) 105°

সমাধানঃ-

∠DEF

= ∠DCB [DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বর্ধিত বাহু FB এর জন্যে বহিঃস্থ কোণ]

= 180° – ∠BAD [ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°]

= 180° – 75°

= 105°

(B) সত্য / মিথ্যা লিখি :

(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।

উত্তরঃ মিথ্যা

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।

উত্তরঃ সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ………

উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ

(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি …… চিত্র।

উত্তরঃ আয়তাকার

(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ……

উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ