কষে দেখি 22 Class 10।পিথাগোরাসের উপপাদ্য কষে দেখি ক্লাস 10|Koshe Dekhi 22 Class 10 WBBSE.

শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – পিথাগোরাসের উপপাদ্য ; কষে দেখি 22

---

কষে দেখি 22 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-

কষে দেখি 22 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ

এই কষে দেখি 22, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 22 নম্বর অধ্যায়|Chapter 22, পিথাগোরাসের উপপাদ্য| Pythagoras Theorem এর অনুশীলনী।

এই কষে দেখি 22 Class 10 এর অঙ্ক গুলি বোঝার জন্যে যে যে বিষয় জানতে হবে তা আলোচনা করা হলো–

---

আগামিতে এই কষে দেখি 22 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?

কষে দেখি 22 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 22 Class 10 তারপর এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।

---

কষে দেখি 22 Class 10|Koshe Dekhi 22 Class 10

1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি :

(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.

(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.

সমাধানঃ-

(i) নং এর ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। কারণ,

\(8^2 + 15^2\)

\(= 64 + 225\)

\(= 289\)

\(=17^2\)

---

2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

চিত্রে, A ও E হচ্ছে যথাক্রমে মিলিদের ও আমাদের জানালার অবস্থান।

অতএব, ▲ABC ও ▲CDE উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ।

• ▲ABC তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(BC^2 = AC^2 – AB^2\)

বা, \(BC^2 = 15^2 – 9^2\)

বা, \(BC^2 = 225 – 81\)

বা, \(BC^2 = 144\)

বা, \(BC = 12\)

আবার,

• ▲CDE তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(CD^2 = EC^2 – DE^2\)

বা, \(CD^2 = 15^2 – 12^2\)

বা, \(CD^2 = 225 – 144\)

বা, \(CD^2 = 81\)

বা, \(CD = 9\)

সুতরাং, রস্তাটি চওড়া

= BC + CD

= 12 + 9

= 21 মিটার.

---

3. 10 সেমি, বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ-

ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AC = 12 সেমি.

অতএব, সমকোণী ▲AOB তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(OB^2 = AB^2 – AO^2\)

বা, \(OB^2 = 10^2 – 6^2\)

বা, \(OB^2 = 100 – 36\)

বা, \(OB^2 = 64\)

বা, \(OB = 8\)

• অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 2×8 = 16 সেমি.

---

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, \(PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2\)

প্রমাণঃ

▲PQS এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(PS^2 = PQ^2 + QS^2\) —–(i)

আবার, ▲PQR এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(PQ^2 + QR^2 = PR^2\) —–(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

\(PS^2 + PQ^2 + QR^2 = PQ^2 + QS^2 + PR^2\)

বা, \(PS^2 + QR^2 = QS^2 + PR^2\)

---

5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD একটি রম্বস যার কর্ণদ্বয় যথা AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে

অর্থাৎ, চিত্রানুযায়ী

\(AB^2 + BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2\)

প্রমাণঃ

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে,

সুতরাং, ▲AOB, ▲BOC, ▲COD ও ▲AOD থেকে পাই,

\(AB^2=AO^2+OB^2\) ——(i)

\(BC^2+OB^2+OC^2\) ——-(ii)

\(CD^2=OC^2+OD^2\) ——-(iii)

\(AD^2=OD^2+AO^2\) ——(iv)

(i) + (ii) + (iii)+ (iv) করে পাই,

\(AB^2+BC^2+CD^2+AD^2\)

= \(AO^2+OB^2+OB^2+OC^2+OC^2+OD^2+OD^2+AO^2\)

= \(2(AO^2+OB^2+OC^2+OD^2)\)

= \(2(AO^2+OC^2)+2(OB^2+OD^2)\)

= \((AO+OC)^2+(AO-OC)^2 + (OB+OD)^2 + (OB-OD)^2 \) [\(∵ 2(a^2+b^2) = (a+b)^2+(a-b)^2\)]

= \(AC^2 + BD^2\) [∵OA=OC এবং OB=OD]

---

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে \(AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2\).

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2\)

প্রমাণঃ

▲ABD ও ▲ADC এর মধ্যে,

AB = AC [▲ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ]

∠ADB = ∠ADC [∵ AD⊥BC]

AD সাধারণ বাহু

সুতরাং ▲ABD≅▲ADC

অতএব, BD = DC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]

এখন ▲ABD ও ▲ADC থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AB^2=AD^2+BD^2\) ——–(i)

\(AC^2=AD^2+DC^2\) ——–(ii)

\(AB^2+AC^2\)

\(= AD^2 + BD^2 + AD^2 + DC^2\)

\(= 2AD^2 + BD^2 + DC^2\)

\(= 2AD^2 + (BD+DC)^2-2.BD.DC\)

\(= 2AD^2 + BC^2- 2BD^2\)

\(= 2AD^2 + BC^2- 2(AB^2 – AD^2)\) [▲ABD তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, AD^2 + BD^2 = AB^2]

\(= 2AD^2 + BC^2- 2AB^2 + 2AD^2\)

\(= 2AD^2 + BC^2- 2BC^2 + 2AD^2\) [সমবাহু ▲ABC এর AB = BC]

\(= 4AD^2 – BC^2\)

অতএব,

\(AB^2+AC^2 = 4AD^2 – BC^2\)

বা, \(AB^2 + BC^2 + AC^2 = 4AD^2\)

---

7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Q; C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, \(BQ^2 + PC^2 = BC^2 + PQ^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Q; C, P যুক্ত করলাম।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(BQ^2 + PC^2 = BC^2 + PQ^2\)

প্রমাণঃ

সমকোণী ত্রিভুজ ▲ABQ, ▲APC, ▲ABC, ▲APQ তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(BQ^2=AB^2 + AQ^2\) ——(i)

\(PC^2 = AP^2 + AC^2\) —–(ii)

\(BC^2 = AC^2 + AB^2\) ——(iii)

\(PQ^2 = AQ^2 + AP^2\) —–(iv)

(i) + (ii) করে পাই,

\(BQ^2 + PC^2\)

\(= AB^2 + AQ^2 + AP^2 + AC^2\)

\(= AB^2 + AC^2 + AQ^2 + AP^2\)

\(= BC^2 + PQ^2\) [(iii) ও (iv) থেকে পাই]

---

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করেছে।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2\)

প্রমাণঃ

সমকোণী ▲AOB, ▲BOC, ▲COD ও ▲AOD থেকে পাই,

\(AB^2=AO^2+OB^2\) ——(i)

\(BC^2+OB^2+OC^2\) ——-(ii)

\(CD^2=OC^2+OD^2\) ——-(iii)

\(AD^2=OD^2+AO^2\) ——(iv)

(i) + (iii) করে পাই,

\(AB^2 + CD^2\)

\(= OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2\)

\(= OB^2 + OC^2 + OA^2 + OD^2\)

\(= BC^2 + AD^2\) [(ii) ও (iv) থেকে পাই]

---

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB > AC হলে প্রমাণ করি যে \(AB^2 – AC^2 = BD^2 – CD^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB > AC ।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AB^2 – AC^2 = BD^2 – CD^2\)

প্রমাণঃ

সমকোণী ▲ADC ও ▲ADB থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AC^2 = AD^2 + DC^2\) ——(i)

\(AB^2 = AD^2 + BD^2\) ——(ii)

(ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

\(AB^2 – AC^2\)

\(= AD^2 + BD^2 – AD^2 – DC^2\)

\(= BD^2 – DC^2\)

---

10. ▲ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, \(AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

▲ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর BD ও CE দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2\)

অঙ্কনঃ

A,P যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

সমকোণী ▲ACE থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AC^2 = AE^2 + CE^2\) ——–(i)

আবার, সমকোণী ▲BPE থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(BP^2 = PE^2 + BE^2\) ——-(ii)

আবার, সমকোণী ▲APE থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AP^2 = PE^2 + AE^2\) ——-(iii)

আবার, সমকোণী ▲BCE থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(BC^2 = BE^2 + CE^2\) ——-(iv)

আবার, সমকোণী ▲APD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AP^2 = AD^2 + PD^2\) ——-(v)

আবার, সমকোণী ▲BCD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(BC^2 = BD^2 + CD^2\) ——-(vi)

আবার, সমকোণী ▲ABD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AB^2 = AD^2 + BD^2\) ——-(vii)

আবার, সমকোণী ▲CPD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(CP^2 = PD^2 + CD^2\) ——-(viii)

(i) + (ii) করে পাই,

\(BP^2 + AC^2\)

\(= PE^2 + BE^2 + AE^2 + CE^2\)

\(= PE^2 + AE^2 + BE^2 + CE^2\)

\(= AP^2 + BC^2\) [(iii) ও (iv) নং থেকে পাই]

\(= AD^2 + PD^2 + BD^2 + CD^2\) [\(v) ও (vi) নং থেকে পাই]

\(= AD^2 + BD^2 + PD^2 + CD^2\)

\(= AB^2 + CD^2\) [(vii) ও (viii) নং থেকে পাই]

---

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, \(AD^2 + DB^2 = 2CD^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু ।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AD^2 + DB^2 = 2CD^2\)

অঙ্কনঃ

D বিন্দু দিয়ে BC ও AC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যারা AC বাহুকে F বিন্দুতে এবং BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণঃ

▲ABC এর AC = BC

সুতরাং, ∠ABC = ∠BAC

আবার, ∠ACB = 90°

অতএব, ∠ABC = ∠BAC = 45° ——(i)

আবার,

▲AFD এর ∠AFD = 90° এবং ∠FAD = 45°

অতএব, ∠ADF = 45°

সুতরাং, ▲AFD এর AF = FD —-(ii)

আবার,

▲BED এর ∠DEB = 90° এবং ∠EBD = 45°

অতএব, ∠EDB = 45°

সুতরাং, ▲BED এর BE = ED —-(iii)

এখন, সমকোণী ▲AFD ও ▲ BDE থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AD^2 = AF^2 + FD^2\) ——(iv)

\(BD^2 = DE^2 + BE^2\) —–(v)

(iv) + (v) করে পাই,

\(AD^2 + BD^2\)

\(= AF^2 + FD^2 + DE^2 + BE^2\)

\(= CE^2 + CE^2 + DE^2 + BE^2\) [∵FD||CE এবং FC||DE এবং AF = FD]

\(= CE^2 + CD^2 + BE^2\) [▲CDE থেকে পাই]

\(= CE^2 + BE^2 + CD^2\)

\(= CE^2 + ED^2 + CD^2\) [∵BE = ED]

\(= CD^2 + CD^2\)[▲CDE থেকে পাই]

\(= 2CD^2\)

---

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, \(BC^2 = CD^2 + 3AD^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(BC^2 = CD^2 + 3AD^2\)

প্রমাণঃ

সমকোণী ▲ABC থেকে পাই,

\(BC^2\)

\(= AC^2 + AB^2\)

\(= DC^2 – AD^2 + AB^2\) [▲ADC থেকে পাই,]

\(= DC^2 – AD^2 + (2AD)^2\) [∵ D, AB এর মধ্যমা]

\(= DC^2 – AD^2 + 4AD^2\)

\(= DC^2 + 3AD^2\)

---

13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, \(AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি।

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2\)

অঙ্কনঃ

O, A; O, B এবং O, C যুক্ত করলাম।

প্রমাণঃ

এখন, সমকোণী ▲AOZ, ▲BOZ, ▲BOX, ▲COX, ▲COY, ▲AOY থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(AO^2 = OZ^2 + AZ^2\) ——-(i)

\(BZ^2 + OZ^2 = BO^2\) —-(ii)

\(BO^2 = OX^2 + BX^2\) ——-(iii)

\(CX^2 + OX^2 = OC^2\) —–(iv)

\(OC^2 = OY^2 + CY^2\) ——(v)

\(OY^2 + AY^2 = AO^2\) ——(vi)

(i) + (ii) + (iii) + (iv) + (v) + (vi) করে পাই,

\(AO^2 + BZ^2 + OZ^2 + BO^2 + CX^2 + OX^2 + OC^2 + OY^2 + AY^2 = OZ^2 + AZ^2 + BO^2 + OX^2 + BX^2 + OC^2 + OY^2 + CY^2 + AO^2\)

বা, \(AY^2 + CX^2 + BZ^2 = AZ^2 + BX^2 + CY^2\)

---

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, \(RY^2 + XT^2 = 5XY^2\)

সমাধানঃ-

প্রদত্তঃ

RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y

প্রমান্যঃ

প্রমাণ করতে হবে,

\(RY^2 + XT^2 = 5XY^2\)

প্রমাণঃ

সমকোণী ত্রিভুজ RYS ও ▲XTS থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(RY^2 = RS^2 + SX^2\) ——(i)

\(XT^2 = XS^2 + ST^2\) ——–(ii)

(i) + (ii) করে পাই,

\(RY^2 + XT^2\)

\(= RS^2 + SY^2 + XS^2 + ST^2\)

\(= RS^2 + ST^2 + SY^2 + XS^2\)

\(= RT^2 + XY^2\) [▲RST ও ▲XYS থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই]

\(= (2XY)^2 + XY^2\) [X ও Y যথাক্রমে RS ও ST বাহুর মধ্যবিন্দু]

\(= 5XY^2\)

---

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.) :

(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব

উত্তরঃ (c ) 26 মিটার,

সমাধানঃ-

\(AB\)

\(=\sqrt{AC^2+BC^2}\)

\(=\sqrt{24^2+10^2}\)

\(=\sqrt{576+100}\)

\(=\sqrt{676}\)

\(=26\)

---

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD⊥BC হলে, \(AD^2 =\)

উত্তরঃ (c) \(3DC^2\)

সমাধানঃ-

\(AD^2\)

\(=AB^2 – BD^2\)

\(=BC^2 – BD^2\)

\(=(2BD)^2 – BD^2\) [সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]

\(=4BD^2 – BD^2\)

\(=3BD^2\) = \(3DC^2\)

---

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং \(AB^2 = 2AC^2\) হলে, ∠C-এর পরিমাপ

উত্তরঃ (b) 90°

সমাধানঃ-

\(AB^2\)

\(=2AC^2\)

\(= AC^2 + AC^2\)

\(= AC^2 + BC^2\)

সুতরাং ▲ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ।

---

(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব ৪ মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব

উত্তরঃ (b) 10 মিটার

সমাধানঃ-

\(CE\)

\(=\sqrt{DE^2 + DC^2}\)

\(= \sqrt{6^2 + 8^2}\)

\(= \sqrt{36+64}\)

\(= \sqrt{100} = 10\) মিটার.

---

(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে, রম্বসটির পরিসীমা

উত্তরঃ (c) 52 সেমি

সমাধানঃ-

রম্বসটির পরিসিমা

\(= 4AB\)

\(= 4 \times \sqrt{OB^2 + OA^2}\)

\(= 4 \times \sqrt{(12)^2 + 5^2}\)

\(= 4 \times \sqrt{(144 + 25}\)

\(= 4 \times \sqrt{169}\)

\(= 4 \times 13 = 52\) সেমি.

---

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

উত্তরঃ সত্য

[\((3x)^2 + (4x)^2 = (5x)^2\) ]

(ii) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি হবে।

উত্তরঃ মিথ্যা.

[\(\sqrt{10^2+10^2} = \sqrt{200} \neq 5\)]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের _________ সমান।

উত্তরঃ সমষ্টির

(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য _____ সেমি. ।

উত্তরঃ

\(\sqrt{(4\sqrt2)^2 + (4\sqrt2)^2}\)

\( = \sqrt{32+ 32}\)

\( = \sqrt{64} = 8\) সেমি.

(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB = 12 সেমি, AO = 6.5 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য ______ সেমি. ।

উত্তরঃ

\(BC\)

\(=\sqrt{AC^2 – AB^2}\)

\(=\sqrt{(13)^2 – (12)^2}\)

\(=\sqrt{169 – 144}\)

\(=\sqrt{25} = 5\)

16.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A. )

(i) ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1 ) সেমি., AC = \(2\sqrt{2a}\) সেমি এবং BC = (2a+1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।

সমাধানঃ-

\(AB^2 + AC^2\)

\(= (2a-1)^2 + 4.2a\)

\(= (2a – 1)^2 + 4.2a.1\)

\(= (2a+1)^2\)

\(=BC^2\)

সুতরাং,

• ▲ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC = 90°

---

(ii) পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে ∠POQ = 90°, OP = 6 সেমি. এবং OR = 8 সেমি.। যদি PR = 24 সেমি. এবং ∠QPR = 90° হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ-

▲POQ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(PQ^2\)

\(= OP^2 + OQ^2\)

\(= 6^2 + 8^2\)

\(= 36 + 64\)

\(=100\)

বা, \(PQ = 10\)

আবার, ▲PRQ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

\(QR^2 = PR^2 + PQ^2\)

বা, \(QR^2 = (24)^2 + (10)^2\)

বা, \(QR^2 = 576 + 100\)

বা, \(QR^2 = 676\)

বা, \(QR = 26\)

---

(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি । OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ-

O বিন্দু দিয়ে AD ও BC এর সমান্তরাল EF অঙ্কন করেছি।

এখন, সমকোণী ▲AOE, ▲BOE, ▲COF, ▲DOF থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

• \(AO^2 = OE^2 + AE^2\) —-(i)
• \(OB^2 = OE^2 + BE^2\) ——(ii)
• \(CO^2 = CF^2 + OF^2\) —(iii)
• \(OD^2 = OF^2 + DE^2\) —(iv)

(i) ও (iii) যোগ করে পাই,

\(AO^2 + OC^2\)

\(= OE^2 + AE^2 + CF^2 + OF^2\)

\(= OE^2 + DF^2 + BE^2 + OF^2\) [∵ AE=DF এবং BE=CF]

\(= OE^2 + BE^2 + DF^2 + OF^2\)

\(= OB^2 + OD^2\)

অতএব,

\(AO^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2\)

বা, \(OC^2 = OB^2 + OD^2 – AO^2)\)

বা, \(OC^2 = 6^2 + 8^2 – 5^2)\)

বা, \(OC^2 = 36 + 64 – 25)\)

বা, \(OC^2 = 75\)

বা, \(OC = 5\sqrt3\) সেমি.

---

(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি এবং AD = 4 সেমি হয়, তাহলে ∠BAC-এর পরিমাপ করা লিখি।

সমাধানঃ-

▲ABD থেকে পাই,

\(AB^2\)

\(= BD^2 + AD^2\)

\(= 8^2 + 4^2\)

\(= 64 + 16\)

\(= 80\)

আবার, ▲ADC থেকে পাই,

\(AC^2\)

\(= 4^2 + 2^2 \)

\(= 16 + 4 \)

\(= 20 \)

অতএব,

\(AB^2 + AC^2\)

= \(80 + 20\)

\(= 100\)

\(= 10^2\)

\(= (8+2)^2\)

\(= (BD+DC)^2\)

\(= BC^2\)

সুতরাং, ▲ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ।

অতএব, ∠BAC = 90°

---

(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB = 3 সেমি., BC = 4 সেমি AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়।

সমাধানঃ-

▲ABC ~ ▲BDC

অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান করে পাই,

\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}\)

বা, \(BD = \frac{AB \times BC}{AC}\)

বা, \(BD = \frac{3 \times 4}{5}\)

বা, \(BD = 2.4\) সেমি.

---

Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-

অধ্যায়	সমাধান
1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি 1.1
	কষে দেখি 1.2
	কষে দেখি 1.3
	কষে দেখি 1.4
	কষে দেখি 1.5
2. সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি 2
3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি 3.1
	কষে দেখি 3.2
4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি 4
5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion)	কষে দেখি 5.1
	কষে দেখি 5.2
	কষে দেখি 5.3
6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি 6.1
	কষে দেখি 6.2
7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি 7.1
	কষে দেখি 7.2
	কষে দেখি 7.3
8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি 8
9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd).	কষে দেখি 9.1
	কষে দেখি 9.2
	কষে দেখি 9.3
10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি 10
11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন	কষে দেখি 11
12. গোলক (Sphere)	কষে দেখি 12
13. ভেদ (Variation)	কষে দেখি 13
14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি 14
15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি 15.1
	কষে দেখি 15.2
16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি 16
17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি 17
18. সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি 18.1
	কষে দেখি 18.2
	কষে দেখি 18.3
	কষে দেখি 18.4
19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি 19
20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle)	কষে দেখি 20
21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional)	কষে দেখি 21
22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি 22
23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি 23.1
	কষে দেখি 23.2
	কষে দেখি 23.3
24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle)	কষে দেখি 24
25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances)	কষে দেখি 25
26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি 26.1
	কষে দেখি 26.2
	কষে দেখি 26.3
	কষে দেখি 26.4

Request For Share
সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….

---

এই কষে দেখি 22 Class 10|Koshe Dekhi 22 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।

---

এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।

---