শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ; কষে দেখি 1.5
কষে দেখি 1.5 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 1.5 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 1.5, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর প্রথম অধ্যায় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর পঞ্চম এবং শেষ অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 1.5 Class 10 এর অংকগুলি করার জন্যে নিম্নলিখিত বিষয়গুলি তোমাদের জানতে হবে।
আবার
এবং
আগামিতে এই কষে দেখি 1.5 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 1.5 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 1.5 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 1.5|Koshe Dekhi 1.5
সমাধানঃ-
1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) 2x2 + 7x + 3 = 0
সমাধানঃ-
| \(b^2 – 4ac\) |
| = 72 – 4.2.3 |
| = 49 – 24 |
| = 5>0 |
| সুতরাং বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান। |
(ii) 3x2 – 2\(\sqrt{6}\) x + 2 = 0
সমাধানঃ-
| \(b^2 – 4ac\) |
| = (-2√6)2 – 4.3.2 |
| = 24 – 24 |
| = 0 |
| সুতরাং বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান। |
(iii) 2x2 – 7x + 9 = 0
সমাধানঃ-
| \(b^2 – 4ac\) |
| = (-7)2 – 4.2.9 |
| = 49 – 72 |
| = – 23 < 0 |
| সুতরাং কোনো বাস্তব বীজ নেই । |
(iv) \(\frac{2}{5}\)x2 – \(\frac{2}{3}\)x + 1 = 0
সমাধানঃ-
| \(b^2 – 4ac\) |
| = \((-\frac{2}{3})^2 – 4\times \frac{2}{5}\times 1\) |
| = \(\frac{4}{9} – \frac{8}{5}\) |
| = \(\frac{20-72}{45}\) |
| = \(- \frac{52}{45}\) < 0 |
| সুতরাং কোনো বাস্তব বীজ নেই । |
2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
[বাস্তব বীজ থাকার জন্যে নিরূপক b2 – 4ac = 0 হতে হবে। ]
(i) 49x2 + kx + 1 = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| k2 – 4.49.1 = 0 |
| বা, k2 = 196 |
| বা, k = ±14 |
- সুতরাং, k = ±14 এর জন্যে 49x2 + kx + 1 = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
(ii) 3x2 – 5x + 2k = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| (-5)2 – 4.3.2k = 0 |
| বা, 24k = 25 |
| বা, k = \(\frac{25}{24}\) |
- সুতরাং, k = \(\frac{25}{24}\) এর জন্যে 3x2 – 5x + 2k = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
(iii) 9x2 – 24x + k = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| (-24)2 – 4.9.k = 0 |
| বা, 36k = 576 |
| বা, k = 16 |
- সুতরাং, k = 16 এর জন্যে 9x2 – 24x + k = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
(iv) 2x2 + 3x + k = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| 32 – 4.2.k = 0 |
| বা, 8k = 9 |
| বা, k = \(\frac{9}{8}\) |
- সুতরাং, k = \(\frac{9}{8}\) এর জন্যে 2x2 + 3x + k = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
(v) x2 – 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| {-2(5+2k)}2 – 4.1.3(7+10k) = 0 |
| বা, 4(25 + 20k + 4k2) – 12(7 + 10k) = 0 |
| বা, 100 + 80k + 16k2 – 84 – 120k = 0 |
| বা, 16k2 – 40k + 16 = 0 |
| বা, 2k2 – 5k + 2 = 0 |
| বা, 2k2 – 4k – k + 2 = 0 |
| বা, 2k(k – 2) – 1(k – 2) = 0 |
| বা, (k – 2)(2k – 1) = 0 |
| বা, k = 2 ও \(\frac{1}{2}\) |
- সুতরাং, k = 2 ও \(\frac{1}{2}\) এর জন্যে x2 – 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
(vi) (3k + 1)x2 + 2(k + 1)x + k = 0
সমাধানঃ-
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| {2(k + 1)}2 – 4(3k + 1)k = 0 |
| বা, 4(k2 + 2k + 1) – 4k(3k + 1) = 0 |
| বা, 4k2 + 8k + 4 – 12k2 – 4k = 0 |
| বা, -8k2 + 4k + 4 = 0 |
| বা, 2k2 – k – 1 = 0 |
| বা, 2k2 – 2k + k – 1 = 0 |
| বা, 2k(k – 1) + 1(k – 1) = 0 |
| বা, (k – 1)(2k + 1) = 0 |
| বা, k = 1 ও -\(\frac{1}{2}\) |
- সুতরাং, k = 1 ও -\(\frac{1}{2}\) এর জন্যে (3k + 1)x2 + 2(k + 1)x + k = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে।
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—
যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) সেই সমীকরণ টি,
\(x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\ = 0)
(i) 4, 2
সমাধানঃ-
নির্ণেয় সমীকরণ,
| x2 – (4 + 2)x + 4×2 = 0 |
| বা, x2 – 6x + 8 = 0 |
(ii) – 4, – 3
সমাধানঃ-
নির্ণেয় সমীকরণ,
| x2 – (-4 – 3)x + (-4)×(-3) = 0 |
| বা, x2 + 7x + 12 = 0 |
(iii) – 4, 3
সমাধানঃ-
নির্ণেয় সমীকরণ,
| x2 – (-4 + 3)x + (-4)×3 = 0 |
| বা, x2 + x – 12 = 0 |
(iv) 5, – 3
সমাধানঃ-
নির্ণেয় সমীকরণ,
| x2 – (5 – 3)x + 5×(-3) = 0 |
| বা, x2 – 2x – 15 = 0 |
4. m-এর মান কত হলে, 4x2 + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
সমাধানঃ-
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে, অর্থাৎ বীজদ্বয়ের গুনফল = 1
| \(\frac{m + 7}{4} = 1\) |
| বা, m + 7 = 4 |
| বা, m = – 3 |
5. (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b=a+c
সমাধানঃ-
সমীকরণের বীজদ্বয় সমান। অর্থাৎ, নিরূপক শূন্য হবে।
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| (c – a)2 – 4(b – c)(a – b) = 0 |
| বা, c2 – 2ac + a2 – 4(ab – ac – b2 + bc) = 0 |
| বা, c2 – 2ac + a2 – 4ab + 4ac + 4b2 – 4bc = 0 |
| বা, c2 + 2ac + a2 – 4ab + 4b2 – 4bc = 0 |
| বা, c2 + a2 + (-2b)2 + 2a(-2b) + 2ac + 2(-2b)c = 0 |
| বা, (c + a – 2b)2 = 0 |
| বা, c + a – 2b = 0 |
| বা, c + a = 2b |
6. (a2+b2)x2 – 2(ac+bd)x+ (c2+d2) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
সমাধানঃ-
সমীকরণের বীজদ্বয় সমান। অর্থাৎ, নিরূপক শূন্য হবে।
| নিরূপক b2 – 4ac = 0 করে পাই, |
| {-2(ac + bd)}2 – 4(a2 + b2)(c2 + d2) = 0 |
| বা, 4(a2c2 + 2abcd + b2d2) – 4(a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2) = 0 |
| বা, 4a2c2 + 8abcd + 4b2d2 – 4a2c2 – 4b2c2 – 4a2d2 – 4b2d2 = 0 |
| বা, 8abcd – 4b2c2 – 4a2d2 = 0 |
| বা, b2c2 – 2.bc.ad + a2d2 = 0 |
| বা, (bc – ad)2 = 0 |
| বা, bc – ad = 0 |
| বা, bc = ad |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) |
7. প্রমাণ করি যে, 2(a2+b2)x2 + 2(a+b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a\(\neq\)b হয়।
সমাধানঃ-
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবেনা যদি নিরূপক b2 – 4ac<0 হয়।
| {2(a + b)}2 – 4.2(a2 + b2).1 |
| = 4(a2 + 2ab + b2) – 8(a2 + b2) |
| = 4a2 + 8ab + 4b2 – 8a2 – 8b2 |
| = -4a2 + 8ab – 4b2 |
| = -4(a2 – 2ab + b2) |
| = -4(a – b)2 |
| এখন -4(a – b)2 < 0 হবে যখন (a – b)2 \(\neq\) 0 অর্থাৎ a \(\neq\) b হয়। |
8. 5x2+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,
| \(\alpha + \beta\) | = \(-\frac{2}{5}\) |
| \(\alpha\beta\) | = \(-\frac{3}{5}\) |
(i) \(\alpha^2 + \beta^2\)
সমাধানঃ-
| \(\alpha^2 + \beta^2\) |
| = \((\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\) |
| = \((-\frac{2}{5})^2 – 2(-\frac{3}{5})\) |
| = \(\frac{4}{25} + \frac{6}{5} \) |
| = \(\frac{4 + 30}{25}\) |
| = \(\frac{34}{25}\) |
(ii) \(\alpha^3 + \beta^3\)
সমাধানঃ-
| \(\alpha^3 + \beta^3\) |
| = \((\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) |
| = \((-\frac{2}{5})^3 – 3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})\) |
| = \(-\frac{8}{125} – \frac{18}{25}\) |
| = \(-\frac{8 + 90}{125}\) |
| = \(-\frac{98}{125}\) |
(iii) \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) |
| = \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}\) |
| = \(\frac{2}{3}\) |
(iv) \(\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}\)
-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}\) |
| = \(\frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{(\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{(-\frac{2}{5})^3 – 3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})}{(-\frac{3}{5})}\) |
| = \(\frac{-\frac{8}{125} – \frac{18}{25}}{(-\frac{3}{5})}\) |
| = \(\frac{-\frac{98}{125}}{(-\frac{3}{5})}\) |
| = \(\frac{98}{125} \times \frac{5}{3}\) |
| = \(\frac{98}{75}\) |
9. ax2+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b2 = 9ac.
সমাধানঃ-
ধরি, একটি বীজ \(\alpha\), তাহলে অপর বীজটি হলো \(2\alpha\).
| বীজদ্বয়ের যোগফল, |
| \(\alpha + 2\alpha = -\frac{b}{a}\) বা, \(3\alpha = -\frac{b}{a} \) বা, \(\alpha = – \frac{b}{3a}\) —–(i) |
আবার,
| বীজদ্বয়ের গুণফল, |
| \(2\alpha^2 = \frac{c}{a}\) |
| (i) নং থেকে \(\alpha\) এর মান বসিয়ে পাই, |
| \(2(\frac{b}{3a})^2 = \frac{c}{a}\) |
| বা, \(2\frac{b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}\) |
| বা, \(2b^2 = 9ac\) |
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x2 + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধানঃ-
ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
| \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) |
| = \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{-p}{1}\) |
| = – p |
আবার,
| \(\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta}\) |
| = \(\frac{1}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{1}{1}\) |
| = 1 |
নির্ণেয় সমীকরণটি হলো-
\(x^2 – (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})x + (\frac{1}{\alpha\beta}) = 0\)
বা, \(x^2 + px + 1 = 0\)
11. x2 + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
| \(\alpha^2 + \beta^2\) |
| = \((\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\) |
| = (-1)2 – 2 |
| = – 1 |
আবার,
| \(\alpha^2 \times \beta^2\) |
| = \((\alpha\beta)^2\) |
| = (1)2 = 1 |
নির্ণেয় সমীকরণটি হলো-
\(x^2 – (\alpha^2 + \beta^2)x + (\alpha\beta)^2 = 0\)
বা, \(x^2 + x + 1 = 0 \)
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) x2 – 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
উত্তরঃ- (c) 6
(ii) x2 – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল – 2 হলে, k-এর মান
উত্তরঃ- (c) 8
| x2 – 3x + k = 10 |
| বা, x2 – 3x + k – 10 = 0 |
শর্তে , k – 10 = -2 বা, k = 8
(iii) ax2 + bx + c = 0 (a\(\neq\)0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b2 – 4ac হবে
উত্তরঃ- (a) > 0
(iv) ax2 + bx + c = 0 (a \(\neq0\)) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
উত্তরঃ- (d) \(c = \frac{b^2}{4a}\)
(v) 3x2 + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে, (\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\)) -এর মান
উত্তরঃ- (c) -4
| \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) |
| = \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) |
| = \(\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}\) |
| = – 4 |
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) x2 + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
উত্তরঃ- মিথ্যা।
নিরূপক 1 – 4 = – 3 <0
(ii) x2 – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
উত্তরঃ- সত্য
নিরূপক 1 – 8 = -7 <0
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) 7x2 – 12x +18= 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত …………………
উত্তরঃ- \(\frac{12}{7} : \frac{18}{7}\) = 2 : 3
(ii) ax2 + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = ……………..
উত্তরঃ- \(\frac{c}{a}=1\) বা, c = a
(iii) ax2 + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c = ………….
উত্তরঃ- একটি বীজ \(\alpha\) হলে অপরটি হবে \(-\frac{1}{\alpha}\)
অতএব
\(\alpha\times(-\frac{1}{\alpha}) = \frac{c}{a}\)
বা, -1 = \(\frac{c}{a}\)
বা, c = – a
বা, c + a = 0
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধানঃ-
নির্ণেয় সমীকরণটি হলো-
\(x^2 – 14x + 24 = 0\)
(ii) kx2+2x+3k=0 (k≠0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি ।
সমাধানঃ-
শর্তে,
\(-\frac{2}{k} = \frac{3k}{k}\)
বা, k = -\(\frac{2}{3}\)
(iii) x2-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে, \((\alpha – \beta)\)-এর মান লিখি।
সমাধানঃ-
| \((\alpha – \beta)^2\) |
| = \((\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta\) |
| = \((22)^2 – 4\times 105\) |
| = 64 |
| অতএব, |
| \((\alpha – \beta)^2\) = 64 |
| বা, \((\alpha – \beta)\) = ±8 |
(iv) x2-x=k(2x-1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি ।
সমাধানঃ-
| x2-x=k(2x-1) |
| বা, x2-x – k(2x-1) = 0 |
| বা, x2 – (2k + 1)x + k = 0 |
বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য। অর্থাৎ,
2k + 1 = 0
বা, k = – \(\frac{1}{2}\)
(v) x2+bx+12=0 এবং x2+bx+q= 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।
সমাধানঃ-
x2+bx+12=0 সমীকরণের একটি বীজ 2.
অর্থাৎ
| 22+2b+12=0 |
| বা, b = -8 ——-(i) |
আবার, x2+bx+q= 0 সমীকরণের একটি বীজ হলো 2। অর্থাৎ,
| 22+2b+q= 0 |
| বা, 4 + 2(-8) + q = 0 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই, ] |
| বা, q = 12 |
| একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যায়ের বাকি কষে দেখি – | |
|---|---|
 | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
এই কষে দেখি 1.5 Class 10|Koshe Dekhi 1.5 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।