শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – অনুপাত ও সমানুপাত ; কষে দেখি 5.3
কষে দেখি 5.3 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 5.3 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 5.3, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর পাঁচ নম্বর অধ্যায় অনুপাত ও সমানুপাত এর তৃতীয় অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 5.3 Class 10 এর অংকগুলি করার জন্যে তোমাদের কিছু প্রক্রিয়া সম্পর্কে জেনে নিতে হবে –
একান্তর প্রক্রিয়া কি?
যে কোনো সমানুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদ পরস্পর স্থান বিনিময় করলেও পদ চারটি সমানুপাতী থাকে। সমানুপাতের এই ধর্মকে একান্তর প্রক্রিয়া বলে।
বিপরীত বা ব্যস্ত প্রক্রিয়া কি?
যে কোনো দুটি অনুপাত সমান হলে তাদের বিপরীত বা ব্যস্ত অনুপাত দুটিও সমান হবে। সমানুপাতের এই ধর্মকে বিপরীত বা ব্যস্ত প্রক্রিয়া বলে।
যোগ প্রক্রিয়া কি?
a : b : : c : d হলে a + b : b : : c + d : d হবে।
ভাগ প্রক্রিয়া কি?
a : b : : c : d হলে a – b : b : : c – d : d হবে।
যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া কি?
a : b : : c : d হলে a + b : a – b : : c + d : c – d হবে।
আগামিতে এই কষে দেখি 5.3 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 5.3 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 5.3 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 5.3 Class 10|Koshe Dekhi 5.3 Class 10
1. a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(i)\((a^2 + b^2) : (a^2 – b^2) = (ac + bd) : (ac – bd) \)
সমাধানঃ-
| a : b = c : d |
| বা, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) |
| বা, \(\frac{a^2}{b^2} = \frac{ac}{bd}\) [উভয় পক্ষকে \(\frac{a}{b}\) দ্বারা গুণ করে পাই] |
| বা, \(\frac{a^2}{b^2} = \frac{ac}{bd}\) |
| বা, \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{ac+bd}{ac-bd}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থে পাই] |
| বা, \((a^2 + b^2) : (a^2 – b^2) = (ac + bd) : (ac – bd) \) |
(ii) \((a^2 + ab + b^2) : (a^2 – ab + b^2) =(c^2 + cd + d^2) : (c^2 – cd + d^2)\)
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে,
| a : b = c : d |
| বা, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) —-(i) |
| প্রদত্ত অনুপাতের বিপরীত অনুপাত হবে, |
| \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\) —–(ii) |
(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,
| \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}\) |
| বা, \(\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{c^2+d^2}{cd}\) |
| বা, \(\frac{a^2+b^2+ab}{a^2+b^2-ab}= \frac{c^2+d^2+cd}{c^2+d^2-cd}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে পাই] |
| বা, \((a^2 + ab + b^2) : (a^2 – ab + b^2) =(c^2 + cd + d^2) : (c^2 – cd + d^2)\) |
(iii) \(\sqrt{a^2 + c^2} : \sqrt{b^2 + d^2} = (pa + qc) : (pb + qd)\)
সমাধানঃ-
2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) \(\frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} + \frac{z^3}{c^2} = \frac{(x + y + z)^3}{(a + b + c)^2}\)
সমাধানঃ-
| x : a = y : b = z : c |
| বা, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) |
এখন ধরি,
| \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} = k\) |
| অতএব, |
| \(x = ak, y = bk, z = ck\) |
বামপক্ষ,
| \(\frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} + \frac{z^3}{c^2}\) |
| = \(\frac{(ak)^3}{a^2} + \frac{(bk)^3}{b^2} + \frac{(ck)^3}{c^2}\) |
| = \(\frac{(ak)^3}{a^2} + \frac{(bk)^3}{b^2} + \frac{(ck)^3}{c^2}\) |
| = \(\frac{a^3k^3}{a^2} + \frac{b^3k^3}{b^2} + \frac{c^3k^3}{c^2}\) |
| = \(ak^3 + bk^3 + ck^3\) |
| = \(k^3(a + b + c)\) |
ডানপক্ষ,
| \(\frac{(x + y + z)^3}{(a + b + c)^2}\) |
| = \(\frac{(ak + bk + ck)^3}{(a + b + c)^2}\) |
| = \(\frac{k^3(a + b + c)^3}{(a + b + c)^2}\) |
| = \(k^3(a+b+c)\) |
বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
অতএব,
\(\frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} + \frac{z^3}{c^2} = \frac{(x + y + z)^3}{(a + b + c)^2}\)
(ii)\(\frac{x^3 + y^3 + z^3}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{xyz}{abc}\)
সমাধানঃ-
| x : a = y : b = z : c |
| বা, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) |
এখন ধরি,
| \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} = k\) |
| অতএব, |
| \(x = ak, y = bk, z = ck\) |
বামপক্ষ,
| \(\frac{x^3 + y^3 + z^3}{a^3 + b^3 + c^3}\) |
| = \(\frac{(ak)^3 + (bk)^3 + (ck)^3}{a^3 + b^3 + c^3}\) |
| = \(\frac{a^3k^3 + b^3k^3 + c^3k^3}{a^3 + b^3 + c^3}\) |
| = \(\frac{k^3(a^3 + b^3 + c^3)}{a^3 + b^3 + c^3}\) |
| = \(k^3\) |
ডানপক্ষ,
| \(\frac{xyz}{abc}\) |
| = \(\frac{ak\times bk\times ck}{abc}\) |
| = \(\frac{abck^3}{abc}\) |
| = \(k^3\) |
অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(iii) \((a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2\)
সমাধানঃ-
| x : a = y : b = z : c |
| বা, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) |
| বা, \(\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz}\) |
| বা, \(\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz} = \frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ——(i) |
আবার,
| x : a = y : b = z : c |
| বা, \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) |
| বা, \(\frac{ax}{a^2}=\frac{by}{b^2}=\frac{cz}{c^2}\) |
| বা, \(\frac{ax}{a^2}=\frac{by}{b^2}=\frac{cz}{c^2} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ——(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
| \(\frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) |
| বা, \((x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) = (ax+by+cz)^2\) |
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত =
\(\frac{5a – 7c – 13e}{5d – 7d – 13f}\)
সমাধানঃ-
| \(a : b = c : d = e : f \) |
| বা, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) |
| বা, \(\frac{5a}{5b} = \frac{7c}{7d} = \frac{13e}{13f}\) |
| বা, \(\frac{5a}{5b} = \frac{7c}{7d} = \frac{13e}{13f} = \frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\) |
(ii) \((a^2 + c^2 + e^2)(b^2 + d^2 + f^2) = (ab + cd + ef)^2\)
সমাধানঃ-
| a : b = c : d = e : f |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\) |
| বা, \(\frac{a^2}{ab}=\frac{c^2}{cd}=\frac{e^2}{ef}\) |
| বা, \(\frac{a^2}{ab}=\frac{c^2}{cd}=\frac{e^2}{ef} = \frac{a^2+c^2+e^2}{ab+cd+ef}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ——(i) |
আবার,
| a : b = c : d = e : f |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\) |
| বা, \(\frac{ab}{b^2}=\frac{cd}{d^2}=\frac{ef}{f^2}\) |
| বা, \(\frac{ab}{b^2}=\frac{cd}{d^2}=\frac{ef}{f^2} = \frac{ab+cd+ef}{b^2+d^2+f^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ——(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
| \(\frac{a^2+c^2+e^2}{ab+cd+ef} = \frac{ab+cd+ef}{b^2+d^2+f^2}\) |
| বা, \((a^2+c^2+e^2)(b^2+d^2+f^2) = (ab+cd+ef)^2\) |
4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) \((\frac{a + b}{b + c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}\)
সমাধানঃ-
| \(a : b = b : c\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c} = \frac{a+b}{b+c}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \((\frac{a}{b})^2=(\frac{b}{c})^2 =( \frac{a+b}{b+c})^2\) |
| বা, \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2} =( \frac{a+b}{b+c})^2\) ————(i) |
আবার,
| \(a : b = b : c\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) |
| বা, \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\) |
| বা, \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ——–(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
\((\frac{a + b}{b + c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}\)
(ii) \(a^2b^2c^2(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}) = a^3 + b^3 + c^3\)
সমাধানঃ-
| \(a : b = b : c\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) |
| বা, \(b^2 = ac\) |
| \(a^2b^2c^2(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3})\) |
| = \(a^2b^2c^2\frac{(b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{a^3b^3c^3})\) |
| = \(\frac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{abc}\) |
| = \(\frac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{b.b^2}\) [যেহেতু, \(b^2 = ac\)] |
| = \(\frac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{b^3}\) |
| = \(\frac{b^3c^3}{b^3} + \frac{a^3c^3}{b^3} + \frac{a^3b^3}{b^3}\) |
| = \(c^3 + c^3(\frac{a}{b})^3 + a^3\) |
| = \(c^3 + c^3(\frac{b}{c})^3 + a^3\) [যেহেতু, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)] |
| = \(c^3 + b^3 + a^3\) |
(iii) \(\frac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + ca)^3} = 1\)
সমাধানঃ-
| \(a : b = b : c\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) |
| বা, \(b^2 = ac\) |
| \(\frac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + ca)^3}\) |
| = \(\frac{abc(a + b + c)^3}{(ab + bc + b^2)^3}\) [যেহেতু, \(b^2 = ac\)] |
| = \(\frac{abc(a + b + c)^3}{b^3(a + c + b)^3}\) |
| = \(\frac{abc}{b^3}\) |
| = \(\frac{abc}{b.b^2}\) |
| = \(\frac{abc}{b.ac}\) [যেহেতু, \(b^2 = ac\)] |
| = 1 |
5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতি হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) \((a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2\)
সমাধানঃ-
| a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতি |
| ⇒ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) |
| ⇒ \(\frac{a^2}{ab}=\frac{b^2}{bc}=\frac{c^2}{cd}\) |
| ⇒ \(\frac{a^2}{ab}=\frac{b^2}{bc}=\frac{c^2}{cd} = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ————-(i) |
আবার,
| a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতি |
| ⇒ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) |
| ⇒ \(\frac{ab}{b^2}=\frac{bc}{c^2}=\frac{cd}{d^2}\) |
| ⇒ \(\frac{ab}{b^2}=\frac{bc}{c^2}=\frac{cd}{d^2}\) = \(\frac{ab+bc+cd}{b^2+c^2+d^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] ————-(ii) |
(i) ও (ii) সমান করে পাই,
| \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+cd} = \frac{ab+bc+cd}{b^2+c^2+d^2}\) |
| বা, \((a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2\) |
(ii) \((b – c)^2 + (c – a)^2 + (b – d)^2 = (a – d)^2\)
সমাধানঃ-
| a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতি | ||
| ⇒ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) | ||
| ⇒\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) ⇒ \(b^2=ac\) | ⇒\(\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) ⇒\(c^2=bd\) | ⇒\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ⇒ \(ad=bc\) |
| \((b – c)^2 + (c – a)^2 + (b – d)^2\) |
| = \(b^2-2bc+c^2+c^2-2a+a^2+b^2-2bd+d^2\) |
| = \(2b^2+2c^2+a^2+d^2-2bc-2ac-2bd\) |
| = \(2b^2+2c^2+a^2+d^2-2ad-2b^2-2c^2\) [∵ \(b^2=ac\), \(c^2=bd\), \(ad=bc\)] |
| = \(a^2-2ad+d^2\) |
| = \((a-d)^2\) |
6.
(i) যদি \(\frac{m}{a} = \frac{n}{b}\) হয়, তবে দেখাই যে,
\((m^2 + n^2)(a^2 + b^2) = (am + bn)^2\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{m}{a} = \frac{n}{b}\) |
| ⇒ \(\frac{am}{a^2} = \frac{bn}{b^2}\) |
| ⇒ \(\frac{am}{a^2} = \frac{bn}{b^2} = \frac{am+bn}{a^2+b^2}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] —————(i) |
আবার,
| \(\frac{m}{a} = \frac{n}{b}\) |
| ⇒ \(\frac{m^2}{am} = \frac{n^2}{bn}\) |
| ⇒ \(\frac{m^2}{am} = \frac{n^2}{bn} = \frac{m^2+n^2}{am+bn}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] —————(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
| \(\frac{am+bn}{a^2+b^2}=\frac{m^2+n^2}{am+bn}\) |
| বা, \((m^2 + n^2)(a^2 + b^2) = (am + bn)^2\) |
(ii) যদি \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\) হয়, তবে দেখাই যে,
\((a + b)(a^2 + b^2)x^3 = (x + y)(x^2 + y^2)a^3\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\) |
| ⇒ \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k\)(ধরি) |
| ⇒ \(x = ak \) এবং \(y = bk\) |
বামপক্ষ,
| \((a + b)(a^2 + b^2)x^3\) |
| = \((a+b)(a^2+b^2)(ak)^3\) |
| = \( (a+b)(a^2+b^2)a^3k^3\) |
ডানপক্ষ,
| \((x + y)(x^2 + y^2)a^3\) |
| = \((ak + bk)(a^2k^2 + b^2k^2)a^3\) |
| = \(k(a+b)k^2(a^2+b^2)a^3\) |
| = \((a+b)(a^2+b^2)a^3k^3\) |
| = বামপক্ষ |
(iii) যদি \(\frac{x}{lm – n^2} = \frac{y}{mn – l^2} = \frac{z}{nl – m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে,
\(lx + my + nz = 0\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{lm – n^2} = \frac{y}{mn – l^2} = \frac{z}{nl – m^2} = k\)(ধরি) |
| ⇒ \(x=k(lm-n^2)\), \(y = k(mn-l^2)\) এবং \(z = k(nl-m^2)\) |
এখন,
| \(lx + my + nz\) |
| = \(lk(lm-n^2) + mk(mn-l^2) + nk(nl-m^2)\) |
| = \(k(l^2m-n^2l) + k(m^2n-l^2m) + k(n^2l-m^2n)\) |
| = \(k(l^2m-n^2l + m^2n-l^2m + n^2l-m^2n)\) |
| = \(k\times 0\) = 0 |
(iv) \(\frac{x}{b+c-a} = \frac{y}{c+a-b} = \frac{z}{a+b-c}\) হলে, দেখাই যে,
\((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z = 0\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{b+c-a} = \frac{y}{c+a-b} = \frac{z}{a+b-c} = k\)(ধরি) |
| ⇒ \(x=k(b+c-a), y=k(c+a-b), z=k(a+b-c)\) |
এখন,
| \((b-c)x+(c-a)y+(a-b)z\) |
| = \((b-c)k(b+c-a)+(c-a)k(c+a-b)+(a-b)k(a+b-c))\) |
| = \(k[(b-c)(b+c)-a(b-c)+(c-a)(c+a)-b(c-a)+(a-b)(a+b)-c(a-b)]\) |
| = \(k[b^2-c^2-ab+ac+c^2-a^2-bc+ab+a^2-b^2-ac+bc]\) |
| = \(k \times 0\) = 0 |
(v) \(\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2}\) হলে, দেখাই যে,
\(\frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2} = \frac{4a}{a^2 + 4}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2}\) |
| বা, \(\frac{x^2}{y^2} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}\) |
| বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{(a+2)^2-(a-2)^2}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{a^2+4a+4+a^2-4a+4}{a^2+4a+4-a^2+4a-4}\) |
| বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(a^2+4)}{8a}\) |
| বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{(a^2+4)}{4a}\) |
| বা, \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{4a}{(a^2+4)}\) |
(vi) \(x = \frac{8ab}{a + b}\) হলে,
\((\frac{x+4a}{x-4a} + \frac{x+4b}{x-4b})\) -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
| \(x = \frac{8ab}{a + b}\) |
| বা, \(\frac{x}{4a} = \frac{2b}{a + b}\) |
| বা, \(\frac{x+4a}{x-4a} = \frac{2b+a+b}{2b-a – b}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x+4a}{x-4a} = \frac{3b+a}{b-a}\) ————–(i) |
আবার,
| \(x = \frac{8ab}{a + b}\) |
| বা, \(\frac{x}{4b} = \frac{2a}{a + b}\) |
| বা, \(\frac{x+4b}{x-4b} = \frac{2a+a+b}{2a-a – b}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x+4b}{x-4b} = \frac{3a+b}{a-b}\) |
| বা, \(\frac{x+4b}{x-4b} = -\frac{3a+b}{b-a}\) ————–(ii) |
(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,
| \(\frac{x+4a}{x-4a} + \frac{x+4b}{x-4b}\) |
| = \(\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a} \) |
| = \(\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\) |
| = \(\frac{2b-2a}{b-a}\) |
| = \(\frac{2(b-a)}{b-a}\) = 2 |
7.
(i) \(\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}\) হলে,দেখাই যে,
\(\frac{a+b+c}{c} = 2\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}\) |
| বা, \(\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = \frac{a+b+c}{3+4+7}\) |
| বা, \(\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = \frac{a+b+c}{14}\) |
শেষের দুটি অনুপাত সমান করে পাই,
| \(\frac{c}{7} = \frac{a+b+c}{14}\) |
| বা, \(\frac{a+b+c}{c}=\frac{14}{7}\) |
| বা, \(\frac{a+b+c}{c}=2\) |
(ii) \(\frac{a}{q-r}= \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q}\) হলে, দেখাই যে,
\(a+b+c = 0 = pa + qb + rc\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a}{q-r}= \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q}\) |
| বা, \(\frac{a}{q-r}= \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q} = \frac{a+b+c}{q-r+r-p+p-q}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{a}{q-r}= \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q} = \frac{a+b+c}{0}\) |
| শেষের দুটি অনুপাত সমান করে পাই, |
| \(\frac{c}{p-q}= \frac{a+b+c}{0}\) |
| বা, \(a+b+c=0\) |
আবার,
| \(\frac{a}{q-r}= \frac{b}{r-p} = \frac{c}{p-q}\) |
| বা, \(\frac{pa}{p(q-r)}= \frac{qb}{q(r-p)} = \frac{rc}{r(p-q)}\) |
| বা, \(\frac{pa}{pq-pr}= \frac{qb}{qr-pq} = \frac{rc}{pr-qr}\) |
| বা, \(\frac{pa}{pq-pr}= \frac{qb}{qr-pq} = \frac{rc}{pr-qr} = \frac{pa+qb+rc}{pq-pr+qr-pq+pr-qr}\) |
| বা, \(\frac{pa}{pq-pr}= \frac{qb}{qr-pq} = \frac{rc}{pr-qr)} = \frac{pa+qb+rc}{0}\) |
| শেষের দুটি অনুপাত সমান করে পাই, |
| \(\frac{rc}{pr-qr)} = \frac{pa+qb+rc}{0}\) |
| \(pa+qb+rc=0\) |
(iii) \(\frac{ax + by}{a} = \frac{bx – ay}{b}\) হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান ।
সমাধানঃ-
| \(\frac{ax + by}{a} = \frac{bx – ay}{b}\) |
| বা, \(\frac{a^2x + aby}{a^2} = \frac{b^x – aby}{b^2}\) |
| বা, \(\frac{a^2x + aby}{a^2} = \frac{b^2x – aby}{b^2} = \frac{a^2x+aby+b^2x-aby}{a^2+b^2}\) |
| বা, \(\frac{a^2x + aby}{a^2} = \frac{b^2x – aby}{b^2} = \frac{x(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\) |
| বা, \(\frac{ax + by}{a} = \frac{bx – ay}{b} =x\) |
8.
(i) যদি \(\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে, \(c = a\) অথবা a+b+c+ d = 0
সমাধানঃ-
| \(\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}=k\)(ধরি) |
| বা, \(a+b=k(b+c)\) এবং \(c+d=k(d+a)\) |
এখন,
| \(a+b+c+d = k(b+c)+k(d+a)\) |
| বা, \(a+b+c+d = k(b+c+d+a)\) |
| বা, \(k(a+b+c+d)-(b+c+d+a)=0\) |
| বা, \((k-1)(a+b+c+d)=0\) |
| অতএব, k = 1 এবং \(a+b+c+d = 0\) |
| \(k = 1\) থেকে পাই, |
| \(\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}=1\) |
| অতএব, |
| \(frac{c+d}{d+a} = 1\) |
| বা, \(c+d=d+a\) |
| বা, \(c=a\) |
(ii) যদি \(\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}\) হয়, দেখাই যে,
\(\frac{a}{y+z-x} = \frac{b}{z+x-y} = \frac{c}{x+y-z}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}\) |
| বা, \(\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b} = \frac{x+y+z}{b+c+c+a+a+b}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b} = \frac{x+y+z}{2(a+b+c)}\) |
| প্রথম ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই, |
| \( \frac{x+y+z}{2(a+b+c)}=\frac{x}{b+c}\) |
| বা, \( \frac{x+y+z}{2(a+b+c)}=\frac{2x}{2(b+c)}\) |
| বা, \( \frac{x+y+z}{2(a+b+c)}=\frac{2x}{2(b+c)}=\frac{x+y+z-2x}{2(a+b+c)-2(b+c)}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \( \frac{x+y+z}{2(a+b+c)}=\frac{y+z-x}{2a}\) |
| বা, \( \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{y+z-x}{a}\) |
| বা, \(\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{a}{y+z-x}\) |
| একইরকম ভাবে দ্বিতীয় ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই, |
| \(\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{b}{x+z-y}\) |
এবং
| তৃতীয় ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই, |
| \(\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{c}{x+y-z}\) |
অতএব,
| \(\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{x+z-y}=\frac{c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\) |
| বা, \(\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{x+z-y}=\frac{c}{x+y-z}\) |
(iii) \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}\) হলে, দেখাই যে,
\(\frac{x+y+z}{a+b+c} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}\) |
| বা, \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}=\frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}=\frac{2(x+y+z)}{2(a+b+c)}\) |
| বা, \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}\) ————-(i) |
(i) নং সমানুপাতের প্রথম ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই,
| \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}\) |
| বা, \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{x+y+z-(x+y)}{a+b+c-(3a-b)}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{z}{c-2a+2b}\) ——–(ii) |
একইরকমভাবে দ্বিতীয় ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই,
| \(\frac{y+z}{3b-c} = \frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{x}{a-2b+2c}\) ——–(iii) |
আবার, তৃতীয় ও শেষ অনুপাত সমান করে পাই,
| \(\frac{z+x}{3c-a} = \frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{y}{b+2a-2c}\) ——–(iv) |
(i),(ii),(iii),(iv) থেকে পাই,
| \(\frac{x+y}{3a-b} = \frac{y+z}{3b-c} = \frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y+z)}{(a+b+c)} = \frac{x}{a-2b+2c} = \frac{y}{b+2a-2c} =\frac{z}{c-2a+2b}\) |
| বা, \(\frac{x}{a-2b+2c} = \frac{y}{b+2a-2c} =\frac{z}{c-2a+2b}\) |
| বা, \(\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} = \frac{by}{b^2+2ab-2bc} =\frac{cz}{c^2-2ac+2bc}\) |
| বা, \(\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} = \frac{by}{b^2+2ab-2bc} =\frac{cz}{c^2-2ac+2bc} = \frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+b^2+2ab-2bc+c^2-2ac+2bc}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x}{a-2b+2c} = \frac{y}{b+2a-2c} =\frac{z}{c-2a+2b} = \frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) ————(v) |
(i) ও (v) নং থেকে পাই,
| \(\frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\) |
(iv)\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) হলে, দেখাই যে,
\(\frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}=k\)(ধরি) |
| ⇒ \(x = ak, y = bk, z = ck\) |
| \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}\) |
| = \(\frac{(ak)^2-bk.ck}{a^2-bc}\) |
| = \(\frac{a^2k^2-bck^2}{a^2-bc}\) |
| = \(\frac{k^2(a^2-bc)}{a^2-bc}\) |
| =\(k^2\) ——–(i) |
| \(\frac{y^2-zx}{b^2-ca}\) |
| = \(\frac{(bk)^2-ck.ak}{b^2-ca}\) |
| = \(\frac{b^2k^2-cak^2}{b^2-ca}\) |
| = \(\frac{k^2(b^2-ca)}{b^2-ca}\) |
| =\(k^2\) ————(ii) |
| \(\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\) |
| = \(\frac{(ck)^2-ak.bk}{c^2-ab}\) |
| = \(\frac{c^2k^2-abk^2}{c^2-ab}\) |
| = \(\frac{k^2(c^2-ab)}{c^2-ab}\) |
| =\(k^2\) ————(iii) |
(i), (ii) ও (iii) নং সমান করে পাই,
| \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab} = k^2\) |
| বা, \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc} = \frac{y^2-zx}{b^2-ca} = \frac{z^2-xy}{c^2-ab} \) |
9.
(i) যদি \(\frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}\) হয়, তবে দেখাই যে
\(\frac{x}{y} = \frac{u}{v}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{3x+4y}{3u+4v} = \frac{3x-4y}{3u-4v}\) |
| বা, \(\frac{3x+4y}{3x-4y} = \frac{3u+4v}{3u-4v}\) |
| বা, \(\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y} = \frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\) |
| বা, \(\frac{x}{y}=\frac{u}{v}\) |
(ii) (a+b+c+d): (a+b-c-d)=(a-b+c-d): (a-b-c+d) হলে, প্রমাণ করি যে, a : b = c : d
সমাধানঃ-
| (a+b+c+d): (a+b-c-d)=(a-b+c-d): (a-b-c+d) |
| বা, \(\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}\) |
| বা, \(\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}\) |
| বা, \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\) |
| বা, \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) |
| বা, \(\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\) |
| বা, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) |
| বা, a : b = c : d |
10.
(i) \(\frac{a^2}{b+c} = \frac{b^2}{c+a} = \frac{c^2}{a+b} = 1\) হলে, দেখাই যে,
\(\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 1\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a^2}{b+c} = \frac{b^2}{c+a} = \frac{c^2}{a+b} = 1\) |
| ⇒ \(a^2=b+c, b^2=c+a, c^2=a+b\) |
অতএব,
| \(\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\) |
| = \(\frac{a}{a+a^2} + \frac{b}{b+b^2} + \frac{c}{c+c^2}\) |
| = \(\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+a} + \frac{c}{c+a+b}\) [∵ \(a^2=b+c, b^2=c+a, c^2=a+b\)] |
| = \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\) |
| = 1 |
(ii) \(x^2: (by+cz) = y^2: (cz+ax) = z^2: (ax+by) = 1\) হলে, দেখাই যে,
\(\frac{a}{x+a} + \frac{b}{y+b} + \frac{c}{z+c} = 1\)
সমাধানঃ-
| \(x^2: (by+cz) = y^2: (cz+ax) = z^2: (ax+by) = 1\) |
| ⇒ \(x^2=by+cz, y^2=cz+ax, z^2=ax+by\) |
| \(\frac{a}{x+a} + \frac{b}{y+b} + \frac{c}{z+c}\) |
| = \(\frac{ax}{x^2+ax} + \frac{by}{y^2+by} + \frac{cz}{z^2+cz}\) |
| = \(\frac{ax}{by+cz+ax} + \frac{by}{cz+ax+by} + \frac{cz}{ax+by+cz}\) [∵\(x^2=by+cz, y^2=cz+ax, z^2=ax+by\)] |
| = \(\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}\) |
| = 1 |
11.
(i) \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}\) এবং \(x+y+z \neq 0\) হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত \(\frac{1}{a+b+c}\) -এর সমান।
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}\) |
| বা, \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = \frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = \frac{x+y+z}{x(a+b+c)+y(a+b+c)+z(a+b+c)}\) |
| বা, \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = \frac{x+y+z}{(x+y+z)(a+b+c)}\) |
| বা, \(\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = \frac{1}{(a+b+c)}\) |
(ii) \(\frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c}\) হলে, প্রমাণ করি যে,
\( (a+b+c)(x+y+z) = ax+by+cz\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy} = \frac{a+b+c}{x^2-yz+y^2-zx+z^2-xy}\) [সংযোজন প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy} = \frac{a+b+c}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}\) ———–(i) |
আবার,
| \(\frac{x^2-yz}{a} = \frac{y^2-zx}{b} = \frac{z^2-xy}{c}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy} = \frac{ax+by+cz}{x^3-xyz+y^3-yzx+z^3-xyz}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy} = \frac{ax+by+cz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}\) |
| বা, \(\frac{a}{x^2-yz} = \frac{b}{y^2-zx} = \frac{c}{z^2-xy} = \frac{ax+by+cz}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}\) [∵ \( x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)] —————(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
| \(\frac{a+b+c}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}=\frac{ax+by+cz}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}\) |
| বা, \( (a+b+c)(x+y+z) = ax+by+cz\) |
(iii) \(\frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y}\) হলে, প্রমাণ করি যে,
\(\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\)
সমাধানঃ-
| \(\frac{a}{y+z} = \frac{b}{z+x} = \frac{c}{x+y} = k\) ধরি |
| ⇒ \(a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)\) |
| বা, \(a = ky+kz, b=kz+kx, c=kx+ky\) |
| \(\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}\) |
| = \(\frac{(ky+kz)(kz+kx-kx-ky)}{y^2-z^2}\) |
| = \(\frac{k(y+z)k(z-y)}{y^2-z^2}\) |
| = \(\frac{-k^2(y^2-z^2)}{y^2-z^2}\) |
| = \(-k^2\) |
একিরকমভাবে,
| \(\frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = -k^2\) |
| এবং |
| \(\frac{c(a-b)}{x^2-y^2} = -k^2\) |
সুতরাং,
\(\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} = \frac{b(c-a)}{z^2-x^2} = \frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\)
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী
উত্তরঃ- (a) 8
সমাধানঃ-
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতি \(x\)
| 3 : 4 = 6 : \(x\) |
| বা, \(\frac{3}{4}=\frac{6}{x}\) |
| বা, \(x = \frac{4\times 6}{3}\) |
| বা, \(x = 8\) |
(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী
উত্তরঃ- (c) 18
সমাধানঃ-
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতি \(x\)
| \(8 : 12 = 12 : x\) |
| বা, \(\frac{8}{12}=\frac{12}{x}\) |
| বা, \(x = \frac{12\times 12}{8}\) |
| বা, \(x = 18\) |
(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী
উত্তরঃ-(c) 20
সমাধানঃ-
ধরি, মধ্যসমানুপাতি \(x\)
| \(16 : x = x : 25\) |
| বা, \(\frac{16}{x}=\frac{x}{25}\) |
| বা, \(x^2 = 16\times 25\) |
| বা, \(x = 20\) |
(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং \(a : \frac{27}{64} = \frac{3}{4} : a\) হলে, a-এর মান
উত্তরঃ-(c) \(\frac{9}{16}\)
সমাধানঃ-
| \(a : \frac{27}{64} = \frac{3}{4} : a\) |
| বা, \(\frac{a}{\frac{27}{64}}=\frac{\frac{3}{4}}{a}\) |
| বা, \(\frac{64a}{27}=\frac{3}{4a}\) |
| বা, \(a^2=\frac{3\times 27}{4\times 64}\) |
| বা, \(a = \frac{9}{16}\) |
(v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c হবে
উত্তরঃ- (d) 6:4:3
সমাধানঃ-
| 2a = 3b = 4c |
| বা, \(\frac{2a}{12}=\frac{3b}{12}=\frac{4c}{12}\) |
| বা, \(\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3} = k\) ধরি |
| ⇒ \(a = 6k, b = 4k, c = 3k\) |
| অতএব, |
| a : b : c |
| = \(6k : 4k : 3k \) |
| = \(6 : 4 : 3 \) |
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) ab : c2 , bc : a2 এবং ca : b2-এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1
উত্তরঃ- সত্য
| ab×bc×ca : c2× a2 × b2 |
| = a2b2c2 : a2b2c2 |
| = 1 : 1 |
(ii) x3y, x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী।
উত্তরঃ- সত্য
| \(\frac{x^3y}{x^2y^2}\) |
| = \(\frac{x}{y}\) |
| আবার, |
| \(\frac{x^2y^2}{xy^3}\) |
| = \(\frac{x}{y}\) |
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী
উত্তরঃ-
ধরি, a, b, c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতি,
ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার গুণফল 64
⇒abc = 64 বা, \(ac=\frac{64}{b}\)
আবার,
| \(b^2 = ac\) |
| বা, \(b^2 = \frac{64}{b}\) |
| বা, \(b^3 = 64\) |
| বা, b = 4 |
(ii) a: 2 = b : 5 = c : 8 হলে a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর.
উত্তরঃ-
| a: 2 = b : 5 = c : 8 |
| বা, \(\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = \frac{c}{8}\) |
| বা, \(\frac{a}{2}\times 100 = \frac{b}{5} \times 100 = \frac{c}{8} \times 100\) |
| বা, \(a\times 50 = b \times 20 = c \times\frac{25}{2}\) |
অতএব c এর \(\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}\)%
(iii) (x+2) এবং (x-3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x এর মান
উত্তরঃ-
\((x+2)\) এবং \((x-3)\) এর মধ্য সমানুপাতী \(x\)
| \(\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x-3}\) |
| বা, \(x^2 = (x+2)(x-3)\) |
| বা, \(x^2 = x^2 – 3x + 2x – 6\) |
| বা, \(x = – 6\) |
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a-3b+4c}{p}\) হলে, \(p\)-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \) |
| বা, \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a-3b+4c}{2\times 2 -3\times 3 + 4\times 4} \) |
| বা, \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a-3b+4c}{4 -9 + 16} \) |
| বা, \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{2a-3b+4c}{11} \) |
| ∴ \(p = 11\) |
(ii) \(\frac{3x-5y}{3x+5y} = \frac{1}{2}\) হলে, \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\) -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{3x-5y}{3x+5y} = \frac{1}{2}\) |
| বা, \(\frac{3x+5y}{3x-5y} = \frac{2}{1}\) |
| বা, \(\frac{3x+5y+3x-5y}{3x+5y-3x+5y} = \frac{2+1}{2-1}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{6x}{10y} = \frac{3}{1}\) |
| বা, \(\frac{3x}{5y} = \frac{3}{1}\) |
| বা, \(\frac{x}{y} = \frac{5}{1}\) |
| বা, \(\frac{x^2}{y^2} = \frac{25}{1}\) |
| বা, \(\frac{3x^2}{5y^2} = 15\) |
| বা, \(\frac{3x^2+5y^2}{3x^2-5y^2} = \frac{15+1}{15-1}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{3x^2+5y^2}{3x^2-5y^2} = \frac{16}{14}\) |
| বা, \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2} = \frac{14}{16}\) |
| বা, \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2} = \frac{7}{8}\) |
(ii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, (3ax-by) : (4by – 7ax) কত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 |
| উপরের দুটি অনুপাতের মিশ্র অনুপাত হলো- |
| ax : by = 15 : 28 |
| ⇒ \(\frac{ax}{by} = \frac{15}{28}\) |
| \((3ax-by) : (4by – 7ax)\) |
| = \(\frac{3ax-by}{4by-7ax}\) |
| = \(\frac{\frac{3ax-by}{by}}{\frac{4by-7ax}{by}}\) |
| = \(\frac{3\frac{ax}{by}-1}{4-7\frac{ax}{by}}\) |
| = \(\frac{3\times \frac{15}{28}-1}{4-7\times \frac{15}{28}}\) |
| = \(\frac{\frac{45-28}{28}}{\frac{112-105}{28}}\) |
| = \(\frac{17}{7}\) |
| = 17 : 7 |
(iv) \(x, 12, y, 27\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
\(x, 12, y, 27\) ক্রমিক সমানুপাতী
| \(\frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\) |
| শেষের দুটি অনুপাত থেকে পাই, |
| \(y^2 = 27\times 12\) |
| বা, \(y = 18 \) |
| এখন \(y = 18 \) প্রথম দুটি অনুপাতে বসিয়ে পাই, |
| \(\frac{x}{12}= \frac{12}{18}\) |
| বা, \(x = \frac{12\times 12}{18}\) |
| বা, \(x = 8\) |
(v) \(a : b = 3 : 2\) এবং \(b : c = 3 : 2\) হলে, \(a + b : b + c\) কত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(a : b = 3 : 2\) |
| ⇒ \(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\) |
| বা, \(\frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}\) [যোগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{a+b}{b}=\frac{5}{2}\) ————(i) |
| আবার, |
| \(b : c = 3 : 2\) |
| ⇒ \(\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\) |
| বা, \(\frac{c}{b}=\frac{2}{3}\) |
| বা, \(\frac{b+c}{b}=\frac{3+2}{3}\) [যোগ প্রক্রিয়া থেকে পাই] |
| বা, \(\frac{b+c}{b}=\frac{5}{3}\) |
| বা, \(\frac{b}{b+c}=\frac{3}{5}\) ————-(ii) |
(i) ও (ii) নং গুণ করে পাই,
| \(\frac{a+b}{b} \times \frac{b}{b+c} = \frac{5}{2} \times \frac{3}{5}\) |
| বা, \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{3}{2}\) |
| বা, \(a + b : b + c\)= 3 : 2 |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 5.3 Class 10|Koshe Dekhi 5.3 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।