শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য ; কষে দেখি 7.1
কষে দেখি 7.1 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 7.1 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি , পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর সাত নম্বর অধ্যায়|Chapter 7 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | Theorems Related to Angles In a Circle এর প্রথম অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 7.1 Class 10 এর অংকগুলি করার জন্যে যে উপপাদ্যটি তোমাদের জানতে হবে সেটি হল-
কষে দেখি 7.1 Class 10 এর অংকের জন্যে উপপাদ্য 34
উপপাদ্যঃ 34-
কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ ক্রেন্দস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে-কোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ।
আগামিতে এই কষে দেখি 7.1 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 7.1 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 7.1 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 7.1 Class 10|Koshe Dekhi 7.1 Class 10
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ-
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BAC উপচাপের 360° – ∠BOC কেন্দ্রস্থ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ
⇒ 360° – ∠BOC = 2∠BAC
বা, 2∠BAC = 360° – 100
বা, ∠BAC = \(\frac{260°}{2}=130°\)
এখন
| ▲ABC এর |
|---|
| AB = AC ⇒ ∠ABC = ∠ACB |
| ∴ ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180° |
| বা, ∠ABC + ∠ABC = 180° – 130° |
| বা, 2∠ABC = 50° |
| বা, ∠ABC = 25° |
আবার,
| ▲BOC এর |
|---|
| OB = OC ⇒ ∠OBC = ∠OCB |
| ∴ ∠OCB + ∠OBC + ∠BOC = 180° |
| বা, ∠OBC + ∠OBC = 180° – 100° |
| বা, 2∠OBC = 80° |
| বা, ∠OBC = 40° |
সুতরাং,
- ∠ABC = 25° এবং
- ∠ABO =∠ABC+∠OBC=25°+40° = 65°
2. পাশের চিত্রে
▲ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°; ∠ABC এর A মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
চিত্রে, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABC উপচাপের 360° – ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ 360° – ∠AOC = 2∠ABC
বা, 2∠ABC = 360° – 110°
বা, ∠ABC = \(\frac{250°}{2}=125°\)
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
DP সরলরেখার,
∠BCP + ∠BCD = 180°
বা, ∠BCD = 180° – ∠BCP = 180°-108°=72°
এখন BOD বৃত্তচাপের ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOD = 2∠BCD
বা, ∠BOD = 2×72°=144°
4. পাশের চিত্রে
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধানঃ-
AB উপচাপের ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ
⇒ ∠AOB = 2∠ACB
বা, ∠AOB = 2×35°=70°
অতএব,
∠BOD
= ∠AOD + ∠AOB
= 40° + 70° = 110°
আবার, ∠AOD, ▲AOC এর বহিস্ত কোণ।
⇒ ∠AOD = ∠OAC + ∠OCA
বা, ∠OCA + ∠OCA = ∠AOD [∵OA=OC]
বা, ∠OCA = \(\frac{1}{2}\)∠AOD
বা, ∠OCA = \(\frac{1}{2}\)×40° = 20°
অতএব,
∠BCO = ∠OCA + ∠BCA = 20°+35°=55°
5. পাশের চিত্রের
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধানঃ-
পাশের চিত্রের DC অধিচাপের ∠DOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DBC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠DOC = 2∠DBC ——(i)
আবার, AB অধিচাপের ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠AOB = 2∠ACB —-(ii)
এখন
| ▲BPC এর |
|---|
| ∠APB বহিঃস্থ কোণ |
| ⇒ ∠APB = ∠BCP + ∠PBC |
| বা, ∠APB = ∠BCA + ∠DBC |
| বা, ∠APB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB + \(\frac{1}{2}\)∠DOC [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| বা, ∠AOB + ∠DOC = 2∠APB |
| বা, ∠AOB + ∠DOC = 2×80°=160° |
6. পাশের ছবির
মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) ∠PBQ=∠CAD
(ii) ∠BPC=∠BQD
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) ∠PBQ=∠CAD
(ii) ∠BPC=∠BQD
অঙ্কনঃ
BC এবং DB যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
C কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB অধিচাপের ∠ACB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠APB বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠ACB = 2∠APB ——(1)
আবার,
D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB অধিচাপের ∠ADB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠AQB বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠ADB = 2∠AQB ——(2)
| ▲PBQ এর |
|---|
| ∠PBQ = 180° – (∠APB + ∠AQB) |
| বা, ∠PBQ = 180° – (\(\frac{1}{2}\)∠ACB + \(\frac{1}{2}∠ADB\)) [1 ও 2 নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
| বা, ∠PBQ = 180° – \(\frac{1}{2}\)(180° – 2∠BAC + 180° – 2∠BAD) [∵ ▲ACB এর AC = BC এবং ▲ADB এর AD=BD] |
| বা, ∠PBQ = 180° – \(\frac{1}{2}\)(360° – 2∠BAC – 2∠BAD) |
| বা, ∠PBQ = ∠BAC + ∠BAD = ∠CAD [(i) নং প্রমাণিত] |
আবার,
| ▲PCB ও ▲BDQ এর মধ্যে |
|---|
| PB = BQ [এটা তোমাদের বই প্রয়োগ 6 থেকে পাবে] |
| PC = QD [সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| BC = BD [সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| ⇒ ▲PCB ≅ ▲BDQ |
| ⇒ ∠BPC = ∠BQD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ] (ii) নং প্রমাণিত |
7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°
অঙ্কনঃ
O,B এবং O,C যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOC = 2∠BAC
| ▲BOC এর |
|---|
| ∠BOC + ∠OCB + ∠OBC = 180° |
| বা, ∠BOC + ∠OBC + ∠OBC = 180° [∵ ▲BOC এর OB = OC] |
| বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180° |
| বা, ∠BAC + ∠OBC = 90° |
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ▲BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ধরি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র যথাক্রমে P ও Q
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে ▲BCD সমবাহু ত্রিভুজ
অঙ্কনঃ
PA, PB, BQ, QA এবং PQ যুক্ত করলাম।
9. ▲ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD⊥BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
▲ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD⊥BC
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠BAD = ∠SAC
অঙ্কনঃ
B, S এবং S, C যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
| ▲ADB থেকে পাই, |
|---|
| ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180° |
| বা, ∠BAD + ∠ABD = 90° —-(i) |
আবার,
| ▲ADC থেকে পাই, |
|---|
| ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180° |
| বা, ∠CAD + ∠ACD = 90° —–(ii) |
(i) ও (ii) নং সমান করে পাই,
| ∠BAD + ∠ABD = ∠CAD + ∠ACD |
| বা, ∠BAD + ∠ABS + ∠SBD = ∠DAC + ∠ACS + ∠SCD |
| বা, ∠BAD + ∠ABS + ∠SBD = ∠DAC + ∠ACS + ∠SBD [∵ ▲BSC এর BS=SC] |
| বা, ∠BAD + ∠BAS = ∠DAC + ∠SAC [∵ ▲ASB এর BS=AS এবং ▲ASC এর AS=SC] |
| বা, ∠BAD + ∠BAD + ∠DAS = ∠DAS + ∠SAC + ∠SAC |
| বা, 2∠BAD = 2∠SAC |
| বা, ∠BAD = ∠SAC |
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD+ ∠BOC=2∠BPC
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠AOD+ ∠BOC=2∠BPC
অঙ্কনঃ
AC, BD, AO, OD, OB, OC অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD অধিচাপের ∠AOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACD বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠AOD = 2∠ACD ——–(i)
আবার,
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOC = 2∠BDC ——–(ii)
আবার,
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOC = 2∠BAC ——–(iii)
(ii) ও (iii) নং সমান করে পাই,
∠BDC = ∠BAC ——-(iv)
এখন
(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,
| ∠AOD + ∠BOC |
| = 2(∠ACD + ∠BDC) |
| = 2[180° – (∠DAC+∠ADC) + ∠BDC] |
| = 2{180° – (∠BAC+∠BAD+∠ADC) + ∠BDC} |
| = 2{180° – ∠BAC – (∠BAD + ∠ADC) + ∠BDC} |
| = 2{180° – ∠BAC – (∠BAD + ∠ADC) + ∠BAC} [(iv) নং থেকে পাই, ∠BDC = ∠BAC] |
| = 2{180° – (∠BAD + ∠ADC)} |
| = 2{180° – (180° – ∠APD)} |
| = 2∠APD |
| = 2∠BPC [ ∠APD = বিপ্রতীপ∠BPC] |
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে,
প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ
AO, OD, OB, OC অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC অধিচাপের ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠AOC = 2∠ADC ——–(i)
আবার,
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD অধিচাপের ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAD বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOD = 2∠BAD ——–(ii)
(i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
| ∠AOC – ∠BOD |
| =2(∠ADC – ∠BAD) |
| = 2[∠ADC – {180° – (∠ADP + ∠BPC)}] |
| = 2{∠ADC – (180°-∠ADP) + ∠BPC} |
| = 2(∠ADC – ∠ADC + ∠BPC) |
| = 2∠BPC |
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = ½ ∠BAD
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠CBD + ∠CDB = ½ ∠BAD
অঙ্কনঃ
B, D যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD অধিচাপের 360° – ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ 360° – ∠BAD = 2∠BCD
বা, 360° – 2∠BCD = ∠BAD
বা, 180° – ∠BCD = \(\frac{1}{2}\)∠BAD——–(i)
এখন ▲BCD থেকে পাই,
| ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180° |
| বা, ∠CBD + ∠CDB = 180° – ∠BCD |
| বা, ∠CBD + ∠CDB = \(\frac{1}{2}\)∠BAD [(i) নং থেকে মান বসিয়ে পাই] |
13. ▲ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC
সমাধানঃ-
প্রদত্তঃ
▲ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্যঃ
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ
OB, OC অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
| ▲BDO ও ▲DOC এর মধ্যে |
|---|
| BD = DC [∵ O পরিকেন্দ্র] |
| OB = OC [ বৃত্তের ব্যাসার্ধ] |
| OD সাধারণ বাহু |
| ⇒ ▲BDO ≅ ▲DOC |
| ⇒ ∠BOD = ∠DOC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ ] |
আবার,
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠BOC = 2∠BAC
বা, ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAC
বা, ∠BOD + ∠BOD = 2∠BAC
বা, 2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC
14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) পাশের চিত্রে
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান
উত্তরঃ (d) 20
সমাধানঃ-
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের RQ অধিচাপের ∠ROQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠RSQ বৃত্তস্থ কোণ।
∠ROQ = 2∠RSQ
বা, ∠RSQ = \(\frac{1}{2}\)∠ROQ
বা, ∠RSQ =\(\frac{1}{2}\) (180° – ∠POR)
বা, ∠RSQ = \(\frac{1}{2}\)×40° = 20°
(ii) পাশের চিত্রে
O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান
উত্তরঃ (a) 70
সমাধানঃ-
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR অধিচাপের ∠ROQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠RPQ বৃত্তস্থ কোণ।
∠ROQ = 2∠RPQ
বা, ∠RPQ = \(\frac{1}{2}\)∠ROQ
বা, ∠RPQ =\(\frac{1}{2}\) (360° – ∠POQ – ∠POR)
বা, ∠RPQ =\(\frac{1}{2}\) (360° – 140° – 80°)
বা, ∠RPQ =\(\frac{1}{2}\) (360° – 220°)
বা, ∠RPQ = \(\frac{1}{2}\)×140° = 70°
(iii) পাশের চিত্রে
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান
উত্তরঃ (b) 50
সমাধানঃ-
∠BAO = 50° ⇒ ∠ABO = 50° [▲ABO এর OB=OA]
এখন,
| ∠AOC |
| = 180° – ∠AOB |
| = 180° – (180° – ∠BAO – ∠ABO) |
| = 50° + 50° = 100° |
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC অধিচাপের ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADC বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠AOC = 2∠ADC
বা, ∠ADC = \(\frac{1}{2}\)∠AOC
বা, ∠ADC = 50°
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান
উত্তরঃ (c) 40°
সমাধানঃ-
▲AOB এর OA=OB ⇒ ∠OAB = ∠ABO
অতএব,
∠OAB + ∠ABO + ∠AOB = 180°
বা, ∠AOB = 180° – 50° – 50°
বা, ∠AOB = 80°
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB অধিচাপের ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠AOB = 2∠ACB
বা, ∠ACB = 40°
(v) পাশের চিত্রে
O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান
উত্তরঃ(c) 60°
সমাধানঃ-
▲ROQ এর OR = OQ
⇒ ∠OQR = ∠ORQ = 40°
বা, ∠OQP + ∠PQR = 40°
বা, ∠OPQ + ∠PQR = 40° [▲POQ এর OP=OQ]
বা, ∠PQR = 40° – 10° = 30°
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PR অধিচাপের ∠POR কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠PQR বৃত্তস্থ কোণ।
⇒ ∠POR = 2∠PQR
বা, ∠POR = 60°
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠AOB = 2∠ACD
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে B অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB = 2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
উত্তরঃ সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের
উত্তরঃ অর্ধেক
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠DQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান
উত্তরঃ সমান
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সন্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান
উত্তরঃ 120°
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে
O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40″, ∠ABC = 120, ∠BCO = yo এবং ∠COA = x° হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
360° – \(x\)° = 2 × 120°
বা, \(x\)° = 80°
আবার,
AOCB চতুর্ভুজের
40° + 120° + 80° + \(y\)° = 360°
বা, \(y\)° = 40°
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40° হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
▲BOD ≅ ▲DOC [এটা আমরা আগেই প্রমাণ করেছি]
⇒ ∠BOD = DOC
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC অধিচাপের ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC বৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, ∠BOC = 2∠BAC
বা, 2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC = 40°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক। ∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC অধিচাপের (360° – ∠AOC) কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, (360° – ∠AOC) = 2∠ABC
বা, (360° – ∠AOC) = 2∠AOC[সামান্তরিকের বিপ্রতীপ কোণ সমান]
বা, ∠AOC = 60°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ABC = 120 ; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC অধিচাপের (360° – ∠AOC) কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, (360° – ∠AOC) = 2∠ABC
বা, ∠AOC = 120°
আবার, ▲AOC এবং ▲ABC থেকে পাই,
∠BAO = ∠BCO = 60°[OA=OC & AB = BC]
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত। ∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
∠CBD = 2∠CQD = 140°
এখন,
∠CPD = 180° – ∠CBD [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি 180°]
∠CPD = 180° – 140° = 40°
এই অধ্যায়ের বাকি কষে দেখি-
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 7.1 Class 10|Koshe Dekhi 7.1 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।