শ্রেণী- দশম ; অধ্যায় – কষে দেখি 25 Class 10।ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগঃ উচ্চতা ও দূরত্ব ; কষে দেখি 25
কষে দেখি 25 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 25 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 25, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর 24 নম্বর অধ্যায়|Chapter 25, ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগঃ উচ্চতা ও দূরত্ব | Application Of Trigonometric Ratios: Height & Distance এর অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 25 Class 10 এর অঙ্ক গুলি বোঝার জন্যে যে যে বিষয় জানতে হবে তা আলোচনা করা হলো–
দৃষ্টি রেখা কি?
কোনো পর্যবেক্ষক যখন কোনো বস্তু দেখেন পর্যবেক্ষকের চোখ ও ওই বস্তুর ওপর কোনো বিন্দুর সংযোজক রেখাই হলো দৃষ্টির রেখা। [Line of Sight]
উন্নতি কোণ কি?
যখন পর্যবেক্ষক ভূমিতে দাঁড়িয়ে ভূমি থেকে উপরে অবস্থিত কোনো বস্তু দেখেন, তখন পর্যবেক্ষকের দৃষ্টির রেখা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ করে থাকে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয় এবং উন্নতি কোণের ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষকের মাথা উপরের দিকে উঠে থাকে।
অবনতি কোণ কি?
যখন পর্যবেক্ষক তার অবস্থানের নীচের দিকে অবস্থিত কোনো বস্তু দেখে তখন তার দৃষ্টির রেখা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ করে সেই কোণকে অবনতি কোণ বলা হয় এবং অবনতি কোণের ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষকের মাথা নীচু হয়ে থাকে।
আগামিতে এই কষে দেখি 25 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 25 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 25 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে। |
কষে দেখি 25 Class 10|Koshe Dekhi 25 Class 10
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AC একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের B একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগ C এর উন্নতি কোণ 60°
অতএব, সমকোণী ত্রিভুজ ▲ABC থেকে পাই,
| \(\tan 60^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(\sqrt3 = \frac{AC}{20}\) |
| বা, \(AC = 20\sqrt3\) |
- গাছটির উচ্চতা = 20√3 মিটার.
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
ধরি, সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভ AC এর ছায়া AB এর দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়।
অতএব, সমকোণী ত্রিভুজ ▲ABC এর ,
| \(\tan 30^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(\frac{1}{\sqrt3} = \frac{AC}{9}\) |
| বা, \(AC = \frac{9}{\sqrt3}\) |
| বা, \(AC = 3\sqrt3\) |
- স্তম্ভটির উচ্চতা \(AC = 3\sqrt3\) মিটার.
3. 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, BC = 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি C বিন্দুতে ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়ছে এবং ঘুড়িটি মাঠ থেকে AC উচ্চতায় উড়ছে।
এখন, সমকোণী ▲ABC থেকে পাই,
| \(\sin 60^° = \frac{AC}{BC}\) |
| বা, \(\frac{\sqrt3}{2} = \frac{AC}{150}\) |
| বা, \(AC = 150 \times \frac{\sqrt3}{2}\) |
| বা, \(AC = 75\sqrt3\) |
- ঘুড়িটি মাঠ থেকে \(AC = 75\sqrt3\) মিটার. উঁচুতে রয়েছে।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, তাল গাছটির পাদদেশ B বিন্দুতে এবং C বিন্দুতে খুঁটিটি পুঁতে A বিন্দু পর্যন্ত গিয়ে ∠BAC = 60° এবং AC = 7√3 মিটার.
এখন, সমকোণী ▲ABC থেকে পাই,
| \(\tan 60^° = \frac{BC}{AC}\) |
| বা, \(\sqrt3 = \frac{BC}{7\sqrt3}\) |
| বা, \(BC = 7\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(BC = 21\) |
- নদীটি 21 মিটার চওড়া ।
5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে ৪√3 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AE উচ্চতার টেলিগ্রাফ পোস্টটি মাটি থেকে অর্থাৎ A বিন্দুতে থেকে উপরে D বিন্দুতে মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগটি B বিন্দুতে মাটিতে স্পর্শ করে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে করেছে।
এখন, সমকোণী ▲ABD থেকে পাই,
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(\frac{1}{\sqrt3} = \frac{AD}{8\sqrt3}\) |
| বা, \(AD = 8\) |
| আবার, |
| \(\sin 30^° = \frac{AD}{BD}\) |
| বা, \(\frac{1}{2} = \frac{8}{BD}\) |
| বা, \(BD = 16\) |
| অতএব, পোস্টটির উচ্চতা |
| = AD + DE |
| = AD + BD |
| = 8 + 16 |
| = 24 |
সুতরাং,
- পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার উপরে মচকে ছিল
- পোস্টটির উচ্চতা = 24 মিটার.
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া B বিন্দু থেকে BC = 6 মিটার দূরে C বিন্দুতে একটি মই = CD = CE -এর গোড়া রেখে মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো হয়েছে যা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে এবং প্রথম বাড়ির দেওয়ালে মইটির অগ্রভাগ E বিন্দুতে ঠেকেছে। আবার, একই জায়গায় অর্থাৎ C বিন্দুতে রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো হলে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে এবং দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালে মইটির অগ্রভাগ D বিন্দুতে ঠেকেছে।
এখন, সমকোণী ▲BCE থেকে পাই,
| \(\cos 30^° = \frac{BC}{CE}\) |
| বা, \(\frac{\sqrt3}{2} = \frac{6}{CE}\) |
| বা, \(CE = \frac{6 \times 2}{\sqrt3}\) |
| বা, \(CE = 4\sqrt3\) |
| অতএব, মইটির দৈর্ঘ্য = \(4\sqrt3\) মিটার. |
| আবার, |
| সমকোণী ▲ACD থেকে পাই, |
| \(\cos 60^° = \frac{AC}{CD}\) |
| বা, \(\frac{1}{2} = \frac{AC}{4\sqrt3}\) |
| বা, \(AC = \frac{ 4\sqrt3}{2}\) |
| বা, \(AC =2\sqrt3\) |
| অতএব, দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া 2√3 মিটার. দূরে রয়েছে। |
| আবার, রাস্তাটির দৈর্ঘ্য = AC + BC = \( 2\sqrt3 + 6\) = \(2(3 + \sqrt3)\) মিটার. |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(\sqrt3 = \frac{AD}{2\sqrt3}\) |
| বা, \(AD = 2\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(AD = 6\) |
| অতএব, দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার. উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে |
- (i) মইটির দৈর্ঘ্য = \(4\sqrt3\) মিটার.
- (ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া 2√3 মিটার. দূরে রয়েছে।
- (iii) রাস্তাটির দৈর্ঘ্য \(2(3 + \sqrt3)\) মিটার.
- (iv) দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার. উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দরু সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
[√3 -এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]
সমাধানঃ-
মনে করি, একটি চিমনি AD এর গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দ B এর সাপেক্ষে চিমনির চূড়া D এর উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু B ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখা AB তে অবস্থিত ওই B বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দু C এর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়।
সমকোণী ▲ADC এর,
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AD = \frac{AC}{\sqrt3}\) ——(i) |
আবার, সমকোণী ▲ABD এর,
| \(\tan 60^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = AB\sqrt3\) ——-(ii) |
(i) ও (ii) সমান করে পাই,
| \(\frac{AC}{\sqrt3} = AB\sqrt3 \) |
| বা, \(AC = 3AB\) |
| বা, \(AB + BC = 3AB\) |
| বা, \(2AB = BC\) |
| বা, \(2AB = 24\) |
| বা, \(AB = 12\) |
এখন, \(AB = 12\), (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
| \(AD = 12\sqrt3\) |
| বা, \(AD = 12 \times 1.732\) |
| বা, \(AD = 20.784\) |
সুতরাং,
- চিমনির উচ্চতা \(AD = 20.784\) মিটার.
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ায় দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
[√3= 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]
সমাধানঃ-
মনে করি, সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ABD = 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে ∠ACD = 60° হলে, একটি খুঁটি AD এর ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 3 মিটার কমে যায়।
সমকোণী ▲ABD এর,
| \(\tan 45^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = AB\) ——(i) |
আবার, সমকোণী ▲ACD এর,
| \(\tan 60^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AD = AC\sqrt3\) ——-(ii) |
(i) ও (ii) সমান করে পাই,
| \(AB = AC\sqrt3 \) |
| বা, \(AC + BC = AC\sqrt3\) |
| বা, \(AC(\sqrt3 – 1) = BC\) |
| বা, \(AC = \frac{3}{\sqrt3 – 1}\) |
এখন,বা, \(AC = \frac{3}{\sqrt3 – 1}\), (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
| \(AD = \frac{3}{\sqrt3 – 1} \times \sqrt3\) |
| \(AD = \frac{3\sqrt3 (\sqrt3 + 1)}{3 – 1}\) |
| \(AD = \frac{9 + 3\sqrt3}{2}\) |
| \(AD = \frac{9 + 3\times 1.732}{2}\) |
| \(AD = \frac{9 + 5.196}{2}\) |
| \(AD = \frac{14.196}{2}\) |
| \(AD = 7.098\) |
সুতরাং,
- খুঁটিটির উচ্চতা \(AD = 7.098\) মিটার.
9. 9√3 মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, 9√3 মিটার উঁচু AD একটি তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে DE = AB = 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়।
এখন সমকোণী ▲ABC এর,
| \(\tan 30^° = \frac{CB}{AB}\) |
| বা, \(\frac{1}{\sqrt3} = \frac{CB}{30}\) |
| বা, \(CB = \frac{30}{\sqrt3}\) |
| বা, \(CB = 10\sqrt3\) |
অতএব, চিমনির উচ্চতা
= BE + CB
= AD + CB
= 9√3 + 10√3
= 19√3 মিটার.
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্বে থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটি হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AD একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্বে আছে। অর্থাৎ, AB = 150 মিটার.
এখন,
| সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = AB\tan60^°\) |
| বা, \(AD = 150\sqrt3\) |
| অতএব, লাইট হাউসের উচ্চতা = 150√3 মিটার. |
| আবার, |
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AC = \frac{AD}{\tan30^°}\) |
| বা, \(AC = 150\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(AC = 450\) |
| সুতরাং, দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটি হাউস থেকে 450 মিটার. দূরত্বে রয়েছে। |
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AC একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের C বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে ∠ECD = 60° ও ∠BCD = 30°; বাড়িটির উচ্চতা AC = 16 মিটার.
অতএব, AC = BD = 16 মিটার.
এবং AB || CD
এখন,
| ∠ABC = ∠BCD = 30° [∵ AB || CD] |
| অতএব, |
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan \angle ABC = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(\tan 30^° = \frac{16}{AB}\) |
| বা, \(AB = \frac{16}{\tan 30^°}\) |
| বা, \(AB = 16\sqrt3\) |
| সুতরাং, বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে \(16\sqrt3\) মিটার. দূরে অবস্থিত |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲CDE এর, |
| \(\tan60^° = \frac{DE}{CD}\) |
| বা, \(DE =CD \tan 60^°\) |
| বা, \(DE =AB \tan 60^°\) |
| বা, \(DE =16\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(DE =48\) |
| অতএব, মনুমেন্ট এর উচ্চতা = BD + DE = AC + DE = 16 + 48 = 64 মিটার. |
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি E বিন্দুতে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি D বিন্দুতে অবস্থান করে।
এখন,
| সমকোণী ▲BCE এর, |
| \(\sin60^° = \frac{CE}{BE}\) |
| বা, \(CE = BE\sin 60^°\) |
| বা, \(CE = 250 \times \frac{\sqrt3}{2}\) |
| বা, \(CE = 125\sqrt3\) |
| অতএব, সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি আমার থেকে 125√3 মিটার উপরে থাকবে। |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\sin45^° = \frac{AD}{BD}\) |
| বা, \(AD = BD\sin 45^°\) |
| বা, \(AD = 250 \times \frac{1}{\sqrt2}\) |
| বা, \(AD = 125\sqrt2\) |
| অতএব, সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি আমার থেকে 125√2 মিটার উপরে থাকবে। |
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।
13. উড়ো জাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 545√3 মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, উড়ো জাহাজের C বিন্দুতে একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে A বিন্দুতে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে B বিন্দুতে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটির উচ্চতা CD = 545√3 মিটার.
অতএব, চিত্রানুযায়ী XY || AB
অতএব, ∠XCA = একান্তর ∠CAD = 30°
এবং, ∠YCB = একান্তর ∠CBD = 60°
এখন
| সমকোণী ▲BCD এর, |
| \(\tan \angle CBD = \frac{CD}{BD}\) |
| বা, \(\tan 60^° = \frac{545\sqrt3}{BD}\) |
| বা, \(BD = \frac{545\sqrt3}{\tan60^°}\) |
| বা, \(BD = \frac{545\sqrt3}{\sqrt3}\) |
| বা, \(BD = 545\) |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD}\) |
| বা, \(\tan 30^° = \frac{545\sqrt3}{AD}\) |
| বা, \(AD = \frac{545\sqrt3}{\tan30^°}\) |
| বা, \(AD = 545\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(AD = 1635\) |
| সুতরাং, |
| হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব = AB = AD + BD = 1635 + 545 = 2180 মিটার. |
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, tan 50° = 1.192]
সমাধানঃ-
মনে করি, BC একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে CD = 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার এক স্থান A বিন্দু থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া D ও পাদদেশ C বিন্দুতে উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° ।
এখন,
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan 45^° = \frac{BC}{AB}\) |
| বা, \(AB = \frac{BC}{\tan 45^°}\) |
| বা, \(AB = BC\) —–(i) |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\tan50^° = \frac{BD}{AB}\) |
| বা, \(AB = \frac{BD}{\tan 50^°}\) —-(ii) |
| (i) ও (ii) নং সমান করে পাই, |
| \(BC = \frac{BD}{\tan 50^°}\) |
| বা, \(BC\tan 50^° = BD\) |
| বা, \(1.192.BC = BC + CD\) |
| বা, \(BC(1.192- 1) = 3.3\) |
| বা, \(BC = \frac{3.3}{.192}\) |
| বা, \(BC = 17.187\) |
| বা, \(BC = 17.19\) (প্রায়) |
| অতএব, তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা \(BC = 17.19\) মিটার. |
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, AC ও BD দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ ∠ABC = 60°
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(AB = \frac{AC}{\tan 60^°}\) |
| বা, \(AB = \frac{180}{\sqrt3}\) |
| বা, \(AB = 60\sqrt3\) |
| আবার, সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\tan \angle BAD = \frac{BD}{AB}\) |
| বা, \(\tan \angle BAD = \frac{60}{60\sqrt3}\) |
| বা, \(\tan \angle BAD = \frac{1}{\sqrt3}\) |
| বা, \(\tan \angle BAD = \tan 30^°\) |
| বা, \(\angle BAD = 30^°\) |
| সুতরাং, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ = 30° |
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACD = 45° হলে, সমতলে অবস্থিত AD একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য AC যা হয়, উন্নতি কোণ ∠ABD = 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য AC এর চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। অর্থাৎ, BC = 60 মিটার.
| সমকোণী ▲ADC এর, |
| \(\tan 45^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AD = AC\) ——(i) |
| আবার, সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = \frac{AB}{\sqrt3}\) —-(ii) |
| (i) ও (ii) সমান করে পাই, |
| \(AC = \frac{AB}{\sqrt3}\) |
| বা, \(AC\sqrt3 = AB\) |
| বা, \(AC\sqrt3 = AC + BC\) |
| বা, \(AC(\sqrt3 – 1)= BC\) |
| বা, \(AC = \frac{BC}{\sqrt3 – 1}\) |
| বা, \(AC = \frac{60(\sqrt3 + 1)}{3 – 1}\) |
| বা, \(AC = 30(\sqrt3 + 1)\) |
| বা, \(AC = 81.96\) (প্রায়) |
| অতএব, (i) নং থেকে পাই AD = AC = 81.96(প্রায়) অর্থাৎ, স্তম্ভের উচ্চতা = 81.96 মিটার. (প্রায়) |
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
AD একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় C বিন্দু থেকে চিমনির দিকে B বিন্দু পর্যন্ত 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হলো।
সমকোণী ▲ADC এর,
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AD = \frac{AC}{\sqrt3}\) ——(i) |
আবার, সমকোণী ▲ABD এর,
| \(\tan 60^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = AB\sqrt3\) ——-(ii) |
(i) ও (ii) সমান করে পাই,
| \(\frac{AC}{\sqrt3} = AB\sqrt3 \) |
| বা, \(AC = 3AB\) |
| বা, \(AB + BC = 3AB\) |
| বা, \(2AB = BC\) |
| বা, \(2AB = 50\) |
| বা, \(AB = 25\) |
এখন, \(AB = 25\), (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
| \(AD = 25\sqrt3\) |
- সুতরাং, চিমনির উচ্চতা = 25√3 মিটার.
18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
126 ডেসিমি উঁচু AD একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে C বিন্দু থেকে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ B বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে।
| সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর, |
| \(\sin 30^° = \frac{AC}{BC}\) |
| বা, \(\frac{1}{2} = \frac{AC}{BC}\) |
| বা, \(BC = 2AC\) |
| বা, \(CD = 2AC\) |
| বা, \(CD + AC = 2AC + AC\) |
| বা, \(AD = 3AC\) |
| বা, \(AC = \frac{AD}{3}\) |
| বা, \(AC = \frac{126}{3}\) |
| বা, \(AC = 42\) |
| সুতরাং, খুঁটিটি 42 ডেসিমি. উপরে দুমড়ে গিয়েছিল |
| আবার, |
 |
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(AB = AC\sqrt3\) |
| বা, \(AB = 42\sqrt3\) |
| সুতরাং, খুঁটিটির অগ্রভাগ গোড়া থেকে 42√3 ডেসিমি. দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল |
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, মাঠের মাঝখানে C বিন্দুতে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে A বিন্দুতে ∠ACE = 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে B বিন্দুতে ∠BCF = 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি একই সরলরেখা AB বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে উড়েছে। অর্থাৎ, AE = CD = BF = 50√3 মিটার. এবং AB || EF
অতএব, ∠ECF = একান্তর ∠CAD = 30°
এবং, ∠FCB = একান্তর ∠DBC = 60°
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD}\) |
| বা, \(AD = \frac{CD}{\tan 30^°}\) |
| বা, \(AD = \frac{50\sqrt3}{\tan 30^°}\) |
| বা, \(AD = 50\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(AD = 150\) |
| আবার, সমকোণী ▲BCD এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{CD}{BD}\) |
| বা, \(BD = \frac{CD}{\tan 60^°}\) |
| বা, \(BD = \frac{50\sqrt3}{\sqrt3}\) |
| বা, \(BD = 50\) |
| অর্থাৎ, পাখিটি 2 মিনিটে যায় = AB = AD + BD = 150 + 50 = 200 মিটার. |
| সুতরাং, গতিবেগ = \(\frac{200}{2}\) = 100 মিটার/মিনিট. = \frac{100 \times 60}{1000} কিলোমিটার/ঘণ্টা = 6 কিমি/ঘণ্টা |
20. 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ-
মনে করি, CD = 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে EF এর উপর দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে A বিন্দুতে ∠ECA = 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে B বিন্দুতে ∠FCB = 45° অবনতি কোণে দেখলেন।
অতএব, EF || AB
সুতরাং, ∠ECA = একান্তর ∠CAD = 30°
এবং, ∠FCB = একান্তর ∠DBC = 45°
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{CD}{AD}\) |
| বা, \(AD = 5\sqrt3 \times \sqrt3\) |
| বা, \(AD = 15\) |
| আবার, সমকোণী ▲BCD এর, |
| \(\tan 45^° = \frac{CD}{BD}\) |
| বা, \(BD = CD = 5\sqrt3\) |
| অতএব, ইঞ্জিনটি 2 সেকেন্ডে পথ অতিক্রম করেছে |
| = AB = AD + DB = 15 + 5√3 |
| সুতরাং, ইঞ্জিনের গতিবেগ = \(\frac{15+5\sqrt3}{2}\) = 11.83 মিটার/সেকেন্ড (প্রায়) |
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে AD একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের A প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে B বিন্দু থেকে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে C বিন্দু থেকে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়।
| সমকোণী ▲ABD এর, |
| \(\tan 45^° = \frac{AD}{AB}\) |
| বা, \(AD = AB\) —–(i) |
| আবার, সমকোণী ▲ADC এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{AC}\) |
| বা, \(AD = \frac{AC}{\sqrt3}\) —-(ii) |
| (i) ও (ii) নং সমান করে পাই, |
| \(AB = \frac{AC}{\sqrt3}\) |
| বা, \(AB\sqrt3 = AC\) |
| বা, \(AB\sqrt3 = AB + BC\) |
| বা, \(AB(\sqrt3-1) = BC\) |
| বা, \(AB = \frac{BC}{\sqrt3 – 1}\) |
| বা, \(AB = \frac{400(\sqrt3 + 1)}{3 – 1}\) |
| বা, \(AB = 200(\sqrt3 + 1)\) |
| (i) নং থেকে পাই, |
| AD = AB = 200(√3 + 1) |
| সুতরাং, সেতুটির দৈর্ঘ্য = 200(√3 + 1) মিটার. |
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত AD = 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত BC একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ C ও অগ্রভাগ B যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়।
অতএব, AE || CD এবং AE = CD
অতএব, ∠ACD = একান্তর ∠EAC = 30°
| সমকোণী ▲ADC এর, |
| \(\tan 30^° = \frac{AD}{DC}\) |
| বা, \(DC = AD \sqrt3\) |
| বা, \(DC = 15\sqrt3\) |
| অতএব, ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব = 15√3 মিটার. |
| সমকোণী ▲AEB এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{BE}{AE}\) |
| বা, \(BE = AE\sqrt3\) |
| বা, \(BE = DC\sqrt3\) |
| বা, \(BE = 15 \sqrt \times \sqrt3\) |
| বা, \(BE = 45\) |
| অতএব, চিমনির উচ্চতা = BC = BE + EC = 45 + 15 = 60 মিটার. |
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি,
(i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত।
সমাধানঃ-
একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের যা উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে A ও B বিন্দুতে অবস্থিত। অবনতি কোণ যথাক্রমে ∠ECA = 60° ও ∠BCF = 30° এবং EF || AB
অতএব, ∠ECA = একান্তর ∠CAD = 60°
এবং ∠BCF = একান্তর ∠CBD = 30°
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{CD}{AD}\) |
| বা, \(CD = AD\sqrt3 \) —–(i) |
| আবার, সমকোণী ▲BCD এর |
| \(\tan 30^° = \frac{CD}{BD}\) |
| বা, \(CD = \frac{BD}{\sqrt3}\) —-(ii) |
| (i) ও (ii) সমান করে পাই, |
| \(AD\sqrt3 = \frac{BD}{\sqrt3}\) |
| বা, \(3AD = BD\) |
| বা, \(3AD + AD = BD + AD\) |
| বা, \(4AD = AB\) |
| বা, \(AD = \frac{AB}{4}\) |
| বা, \(AD = \frac{1000}{4}\) [∵ দুটি কিলোমিটার ফলকের মধ্যে দূরত্ব = 1000 মিটার. ] |
| বা, \(AD = 250\) |
| এখন, (i) নং এ AD এর মান বসিয়ে পাই, |
| \(CD = 250\sqrt3\) |
| সুতরাং, উড়োজাহাজের উচ্চতা = 250√3 মিটার. |
(ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।
সমাধানঃ-
একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের যা উড়োজাহাজের একই পাশে D ও B বিন্দুতে অবস্থিত। অবনতি কোণ যথাক্রমে ∠ECD = 60° ও ∠ECB = 30° এবং EC || AB
অতএব, ∠ECD = একান্তর ∠CDA = 60°
এবং ∠BCF = একান্তর ∠CBA
| সমকোণী ▲ACD এর, |
| \(\tan 60^° = \frac{AC}{AD}\) |
| বা, \(AC = AD\sqrt3 \) —–(i) |
| আবার, সমকোণী ▲BAC এর |
| \(\tan 30^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(AC = \frac{AB}{\sqrt3}\) —-(ii) |
| (i) ও (ii) সমান করে পাই, |
| \(AD\sqrt3 = \frac{AB}{\sqrt3}\) |
| বা, \(3AD = AB\) |
| বা, \(3AD = AD + BD\) |
| বা, \(2AD = BD\) |
| বা, \(AD = \frac{BD}{2}\) |
| বা, \(AD = \frac{1000}{2}\) [∵ দুটি কিলোমিটার ফলকের মধ্যে দূরত্ব = 1000 মিটার. ] |
| বা, \(AD = 500\) |
| এখন, (i) নং এ AD এর মান বসিয়ে পাই, |
| \(AC = 500\sqrt3\) |
| সুতরাং, উড়োজাহাজের উচ্চতা = 500√3 মিটার. |
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা
উত্তরঃ (b) 10√3 মিটার
সমাধানঃ-
| \(\tan 60^° = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(AC = AB\tan60^°\) |
| বা, \(AC = 10\sqrt3\) |
(ii)
\(\theta\)- এর মান
উত্তরঃ (a) 30°
সমাধানঃ-
| \(\tan \theta = \frac{5}{5\sqrt3}\) |
| বা, \(\tan \theta = \frac{1}{\sqrt3}\) |
| বা, \(\tan \theta = \tan 30^°\) |
| বা, \(\theta = 30^°\) |
(iii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হলো,
উত্তরঃ (c) 45°
সমাধানঃ-
| \(\tan \angle ACD = \frac{AD}{DC}\) |
| বা, \(\tan \angle ACD = 1\) |
| বা, \(\tan \angle ACD = \tan 45^°\) |
| বা, \(\angle ACD = 45^°\) |
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা 100√3 মিটার। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ
উত্তরঃ (c) 60°
সমাধানঃ-
| \(\tan \angle ABC = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \frac{100\sqrt3}{100}\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \sqrt3\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \tan 60^°\) |
| বা, \(\angle ABC= 60^°\) |
(v) একটি পোস্টের ভূমিতলে ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
উত্তরঃ (a) 30°
সমাধানঃ-
| \(\tan \angle ABC = \frac{AC}{AB}\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \frac{AC}{\sqrt3AC}\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \frac{1}{\sqrt3}\) |
| বা, \(\tan \angle ABC= \tan 30^°\) |
| বা, \(\angle ABC= 30^°\) |
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) ▲ABC এর ∠B=90°, AB=BC হলে, ∠C=60°.
উত্তরঃ মিথ্যা।
সমাধানঃ-
| \(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC}\) |
| বা, \(\tan \angle ACB = 1\) |
| বা, \(\tan \angle ACB = \tan 45^°\) |
| বা, \(\angle ACB = \tan 45^°\) |
ii) PQ একটি বাড়ির উচ্চতা, QR ভূমি। P বিন্দু থেকে R বিন্দুর P অবনতি কোণ ∠SPR; সুতরাং, ∠SPR = ∠PRQ.
উত্তরঃ সত্য।
C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য _______পায়। (হ্রাস/বৃদ্ধি)
উত্তরঃ হ্রাস।
সমাধানঃ-
(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, একটি পোস্টের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য____ হবে।
উত্তরঃ সমান
সমাধানঃ-
| \(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC}\) |
| বা, \(\tan 45^° = \frac{AB}{BC}\) |
| বা, \(\frac{AB}{BC} = 1\) |
| বা, \(AB = BC\) |
(iii) যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45°-এর _______ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য স্তম্ভের উচ্চতা কম।
উত্তরঃ বেশি ।
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
| সমকোণী ▲ACB এর, |
| \(\sin 60^° = \frac{AC}{BC}\) |
| বা, \(\frac{\sqrt3}{2} = \frac{AC}{20\sqrt3}\) |
| বা, \(AC = \frac{20\sqrt3 \times \sqrt3}{2}\) |
| বা, \(AC = 30\) |
- সুতরাং, ঘুড়িটি মাটি থেকে 30 মিটার. উচ্চতায় আছে
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB=50√3 মিটার হলে, ∠C এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\sin \angle ACB = \frac{AB}{AC}\) |
| বা, \(\sin \angle C = \frac{50\sqrt3}{100}\) |
| বা, \(\sin \angle C = \frac{\sqrt3}{2}\) |
| বা, \(\sin \angle C = \sin 60^°\) |
| বা, \(\angle C = 60^°\) |
(iii) ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান। গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণ করেছে হিসাব করি।
সমাধানঃ-
মনে করি, গাছটি A বিন্দুতে ভেঙ্গে গিয়ে গাছটির অগ্রভাগ মাটিতে C বিন্দুতে ভুমি স্পর্শ করেছে এবং AB = BC
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC}\) |
| বা, \(\tan \angle ACB = 1\) |
| বা, \(\tan \angle ACB = \tan 45^°\) |
| বা, \(\angle ACB = 45^°\) |
- সুতরাং, গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে 45° কোণ করেছে
(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজ ∠B=90°, ABর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB: BC: BD = √3:1:1, ∠ACD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
মনে করি,
| AB = \(\frac{\sqrt3 x}{\sqrt3 + 2}\) |
| BC = \(\frac{x}{\sqrt3 + 2}\) |
| BD = \(\frac{x}{\sqrt3 + 2}\) |
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC}\) |
| বা, \(\tan \angle ACB = \frac{\frac{\sqrt3 x}{\sqrt3 + 2}}{\frac{x}{\sqrt3 + 2}}\) |
| \(\tan \angle ACB = \sqrt3\) |
| \(\tan \angle ACB = \tan 60^°\) |
| \(\angle ACB = 60^°\) |
| আবার, সমকোণী ▲BCD এর |
| \(\tan \angle BCD = \frac{BD}{BC}\) |
| বা, \(\tan \angle BCD = \frac{\frac{x}{\sqrt3 + 2}}{\frac{x}{\sqrt3 + 2}}\) |
| \(\tan \angle BCD = 1\) |
| \(\tan \angle BCD = \tan 45^°\) |
| \(\angle BCD = 45^°\) |
| অতএব, |
| \(\angle ACD\) |
| \(= \angle ACB – \angle BCD\) |
| = 60° – 45° |
| = 15° |
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3: 1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| সমকোণী ▲ABC এর, |
| \(\cot \angle ABC = \frac{AB}{AC}\) |
| বা, \(\cot \angle ABC = \frac{\sqrt3}{1}\) |
| বা, \(\cot \angle ABC = \cot 30^°\) |
| বা, \(\angle ABC = 30^°\) |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 25 Class 10|Koshe Dekhi 25 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।