Class- 10; অধ্যায় – একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ; কষে দেখি 1.1
কষে দেখি 1.1 Class 10 অংকের সূচিপত্র:-
কষে দেখি 1.1 Class 10 এর অংকের সমাধান গুলি ভালোভাবে বোঝার জন্যে কিছু উপদেশঃ
এই কষে দেখি 1.1, পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ | WBBSE এর অন্তর্গত দশম শ্রেণি|Class 10 এর প্রথম অধ্যায় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর প্রথম অনুশীলনী।
এই কষে দেখি 1.1 Class 10 এর অংক গুলি করতে গেলে তোমাদের জানতে হবে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে!
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে?
যে সমীকরণকে ax + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, তাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
আগামিতে এই কষে দেখি 1.1 Class 10 এর অংক গুলির সমাধানের প্রয়োজন হলে কি করবে?
| কষে দেখি 1.1 Class 10 এর এই কষে দেওয়া অংক গুলি তোমাদের যদি আগামিতে আবার প্রয়োজন হয় তাহলে তোমরা Google এ গিয়ে Search করবে- কষে দেখি 1.1 Class 10 তারপর  এই চিহ্ন দেখে Click করলে আবার তোমরা এখানে এসে যাবে।  |
কষে দেখি 1.1|Koshe Dekhi 1.1
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
সমাধানঃ-
| (i) x2 – 7x + 2 | এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা |
| (ii) 7x5 – x(x + 2) | এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়। |
| (iii) 2x (x + 5) + 1 | এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা । |
| (iv) 2x-1 | এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়। |
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি a2x+bx+ c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a \(\neq\) 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) x – 1 + \(\frac{1}{x}\) = 6, (x\(\neq\)0)
সমাধানঃ-
- এই সমীকরণটিকে a2x+bx+ c = 0 আকারে লেখা যাবে। কারণ-
| x – 1 + \(\frac{1}{x}\) = 6 |
| বা, x2 – x + 1 = 6x |
| বা, x2 – 7x + 1 = 0 |
(ii) x + \(\frac{3}{x}\) = x2, (x\(\neq\)0)
সমাধানঃ-
- এই সমীকরণটিকে a2x+bx+ c = 0 আকারে লেখা যাবে না। কারণ-
| x + \(\frac{3}{x}\) = x2 |
| বা, x2 + 3 = x3 |
| বা, x3 – x2 – 3 = 0 |
(iii) \(x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0\)
সমাধানঃ-
- এই সমীকরণটিকে a2x+bx+ c = 0 আকারে লেখা যাবে না। কারণ- এই সমীকরণে \(\sqrt{}\) আছে।
(iv) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
সমাধানঃ-
- এই সমীকরণটিকে a2x+bx+ c = 0 আকারে লেখা যাবে না। কারণ-
| (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 |
| বা, x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4 |
| উভয় দিকে একই সমীকরণ। |
3. x6 – x3 – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| x6 – x3 – 2 = 0 |
| বা, \((x^3)^2 – x^3 – 2\) = 0 |
| বা, a2 – a – 2 = 0 [ যেখানে a = x3 ] |
| সুতরাং এই সমীকরণ টি x3 চলের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। |
4.
(i) (a-2)x2+3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
- আমরা জেনেছি a2x+bx+ c = 0, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হয় যখন a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a \(\neq\) 0 হয়।
অতএব (a-2)x2+3x + 5 = 0 সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যখন-
a – 2 = 0 বা, a = 2 হবে।
(ii) \(\frac{x}{4-x} = \frac{1}{3x}\) , (x ≠ 0, x ≠ 4)-কে ax2+bx+c=0 (a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ-
| \(\frac{x}{4-x} = \frac{1}{3x}\) |
| বা, 3x2 = 4 – x |
| বা, 3x2 + x – 4 = 0 |
- x -এর সহগ = 1
(iii) 3x2 +7x+23 = (x+4) (x + 3)+2-কে ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
সমাধানঃ-
| 3x2 +7x+23 = (x+4) (x + 3)+2 |
| বা, 3x2 +7x+23 = x2 + 7x + 12 + 2 |
| বা, 3x2 +7x+23 – x2 – 7x – 12 – 2 = 0 |
| বা, 2x2 + 9 = 0 |
(iv) (x+2)3 = x(x2-1) সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x2 , x ও x0-এর সহগ লিখি।
সমাধানঃ-
| (x+2)3 = x(x2-1) |
| বা, x3 + 3.x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 – x |
| বা, 6x2 + 12x + 8 + x = 0 |
| বা, 6x2 + 13x + 8 = 0 |
অতএব,
| x2 -এর সহগ | 6 |
| x -এর সহগ | 13 |
| x0 -এর সহগ | 8 |
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধানঃ-
ধরি, একটি অংশ = x
তাহলে অপর অংশ হবে 42 – x
শর্তে,
| x2 = 42 – x |
| বা, x2 + x – 42 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + x – 42 = 0
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধানঃ-
ধরি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার প্রথম সংখ্যাটি 2x + 1,
তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি হবে 2x + 3
শর্তে,
| (2x + 1)(2x + 3) = 143 |
| বা, 4x2 + 8x + 3 = 143 |
| বা, 4x2 + 8x – 140 = 0 |
| বা, x2 + 2x – 35 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + 2x – 35 = 0
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধানঃ-
ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যার প্রথম সংখ্যাটি x, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি হবে x + 1
শর্তে,
| x2 + (x + 1)2 = 313 |
| বা, x2 + x2 + 2x + 1 – 313 = 0 |
| বা, 2x2 + 2x – 312 = 0 |
| বা, x2 + x – 156 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + x – 156 = 0
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধানঃ-
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য = x + 3 মিটার।
শর্তে,
| x2 + (x + 3)2 = 152 |
| বা, x2 + x2 + 6x + 9 – 225 = 0 |
| বা, 2x2 + 6x – 216 = 0 |
| বা, x2 + 3x – 108 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + 3x – 108 = 0
(ii) এক ব্যক্তি 8০ টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধানঃ-
ধরি, ওই ব্যাক্তি 80 টাকায় x কেজি চিনি ক্রয় করেছেন।
| 1 কেজি চিনির মূল্য | = \(\frac{80}{x}\) টাকা |
| 80 টাকায় 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পাওয়ার পর 1 কেজি চিনির মূল্য | = \(\frac{80}{x + 4}\) টাকা |
শর্তে,
| \(\frac{80}{x + 4}\) = \(\frac{80}{x}\) – 1 |
| বা, \(\frac{80}{x + 4}\) = \(\frac{80 – x}{x}\) |
| বা, 80x = 80x + 320 – x2 – 4x |
| বা, x2 + 4x – 320 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + 4x – 320 = 0
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
সমাধানঃ-
ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা.
| প্রথম ক্ষেত্রে প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে সময় লাগে | = \(\frac{300}{x}\) ঘণ্টা |
| দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সময় লাগে | = \(\frac{300}{x + 5}\) ঘণ্টা |
শর্তে,
| \(\frac{300}{x} = \frac{300}{x + 5} + 2\) |
| বা, \(\frac{300}{x} = \frac{300 + 2x + 10}{x + 5}\) |
| বা, 300x + 1500 = 310x + 2x2 |
| বা, 2x2 + 310x – 300x – 1500 = 0 |
| বা, 2x2 + 10x – 1500 = 0 |
| বা, x2 + 5x – 750 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + 5x – 750 = 0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
সমাধানঃ-
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = x টাকা ।
লাভ = 336 – x টাকা
শতকরা লাভ
= \(\frac{336-x}{x}\times 100\)
= \(\frac{33600 – 100x}{x}\) টাকা
[ যেহেতু শতকরা লাভ = \(\frac{লাভ}{ক্রয়মূল্য}\times 100\) টাকা ]
শর্তে,
| \(\frac{33600 – 100x}{x} = x \) |
| বা, 33600 – 100x = x2 |
| বা, x2 + 100x – 33600 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 + 100x – 33600 = 0
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধানঃ-
ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা.
| স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যেতে সময় লাগে | = \(\frac{21}{x + 2}\) ঘণ্টা |
| স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি আসতে সময় লাগে | = \(\frac{21}{x – 2}\) ঘণ্টা |
শর্তে,
| \(\frac{21}{x + 2} + \frac{21}{x – 2} = 10\) |
| বা, \(21(\frac{x – 2 + x + 2}{x^2 – 4}) = 10\) |
| বা, 21 × 2x = 10(x2 – 4) |
| বা, 10x2 – 40 = 42x |
| বা, 10x2 – 42x – 40 = 0 |
| বা, 5x2 – 21x – 20 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – 5x2 – 21x – 20 = 0
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধানঃ-
ধরি, মহিম একা কাজটি করে x ঘণ্টায়, তাহলে মজিদ কাজটি করবে x + 3 ঘণ্টায়।
এখন,
| মহিম 1 ঘণ্টায় করে | = \(\frac{1}{x}\) অংশ |
| মজিদ 1 ঘণ্টায় করে | = \(\frac{1}{x + 3}\) অংশ |
অতএব, মহিম ও মজিদ একত্রে 1 ঘণ্টায় করে
= \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}\)
= \(\frac{x + 3 + x}{x(x + 3)}\)
= \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\) অংশ
সুতরাং মহিম ও মজিদ একত্রে 1 অংশ কাজ করে
= \(\frac{x^2 + 3x}{2x + 3}\) ঘণ্টায়
শর্তে,
| \(\frac{x^2 + 3x}{2x + 3}\) = 2 |
| বা, x2 + 3x = 4x + 6 |
| বা, x2 + 3x – 4x – 6 = 0 |
| বা, x2 – x – 6 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 – x – 6 = 0
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধানঃ-
ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অংক = x, তাহলে একক স্থানীয় অংকটি হবে x + 6
সংখ্যা টি হবে
= 10x + x + 6
= 11x + 6
শর্তে,
| x(x + 6) = 11x + 6 – 12 |
| বা, x2 + 6x – 11x -6 + 12 = 0 |
| বা, x2 – 5x + 6 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – x2 – 5x + 6 = 0
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধানঃ-
ধরি, চারিপাশের সমান চওড়া রাস্তাটি x মিটার চওড়া।
এখন চারিপাশের সমান চওড়া রাস্তাটির ক্ষেত্রফল
= রাস্তা সমেত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল – আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= (45 + 2x)(40 + 2x) – 45×40
= 45×40 + 80x + 90x + 4x2 – 45×40
= 4x2 + 170x বর্গ মিটার.
শর্তে,
| 4x2 + 170x = 450 |
| বা, 2x2 + 85x – 225 = 0 |
- নির্ণেয় সমীকরণ – 2x2 + 85x – 225 = 0
| একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যায়ের বাকি কষে দেখি – | |
|---|---|
 | কষে দেখি 1.2 |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
Class 10 WBBSE এর বাকি অধ্যায়ের সমাধান-
| অধ্যায় | সমাধান |
| 1. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable) | কষে দেখি 1.1 |
| কষে দেখি 1.2 | |
| কষে দেখি 1.3 | |
| কষে দেখি 1.4 | |
| কষে দেখি 1.5 | |
| 2. সরল সুদকষা (Simple Interest) | কষে দেখি 2 |
| 3. বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle) | কষে দেখি 3.1 |
| কষে দেখি 3.2 | |
| 4. আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid) | কষে দেখি 4 |
| 5. অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion) | কষে দেখি 5.1 |
| কষে দেখি 5.2 | |
| কষে দেখি 5.3 | |
| 6. চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease) | কষে দেখি 6.1 |
| কষে দেখি 6.2 | |
| 7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle) | কষে দেখি 7.1 |
| কষে দেখি 7.2 | |
| কষে দেখি 7.3 | |
| 8. লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder) | কষে দেখি 8 |
| 9. দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd). | কষে দেখি 9.1 |
| কষে দেখি 9.2 | |
| কষে দেখি 9.3 | |
| 10. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) | কষে দেখি 10 |
| 11. সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন | কষে দেখি 11 |
| 12. গোলক (Sphere) | কষে দেখি 12 |
| 13. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 |
| 14. অংশীদারি কারবার (Partnership Business) | কষে দেখি 14 |
| 15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle) | কষে দেখি 15.1 |
| কষে দেখি 15.2 | |
| 16. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone) | কষে দেখি 16 |
| 17. সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle) | কষে দেখি 17 |
| 18. সদৃশতা (Similarity) | কষে দেখি 18.1 |
| কষে দেখি 18.2 | |
| কষে দেখি 18.3 | |
| কষে দেখি 18.4 | |
| 19. বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects) | কষে দেখি 19 |
| 20. ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা (Trigonometry: Concept of Measurment of Angle) | কষে দেখি 20 |
| 21. সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction: Determination of Mean Proportional) | কষে দেখি 21 |
| 22. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) | কষে দেখি 22 |
| 23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities) | কষে দেখি 23.1 |
| কষে দেখি 23.2 | |
| কষে দেখি 23.3 | |
| 24. পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle) | কষে দেখি 24 |
| 25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios : Heights & Distances) | কষে দেখি 25 |
| 26. রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics: Mean, Median, Ogive, Mode) | কষে দেখি 26.1 |
| কষে দেখি 26.2 | |
| কষে দেখি 26.3 | |
| কষে দেখি 26.4 |
| Request For Share |
|---|
| সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্দুদের সাথে share করবে। নিজে শেখো ও অপরকে শিখতে সাহায্য করো। Let’s Study Together………….  |
এই কষে দেখি 1.1 Class 10|Koshe Dekhi 1.1 Class 10 এর সমাধান গুলি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধুদের সাথে share করবে এবং wbstudyhub.in এই ওয়েবসাইট কে বুকমার্ক করে রাখবে যাতে যে কোনো অধ্যায়ের অংক আটকালে তোমরা তা এখানে এসে দেখে নিতে পারবে।
এখানে তোমরা তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 এ কি কি পড়ানো হয়, মানে তোমাদের দশম শ্রেণীতে| Class 10 সিলেবাসে কি আছে তা জানার জন্যে তোমরা তোমাদের শ্রেণীর সিলেবাস এখানে দেখে নিতে পারবে ।